MMATHAN05
.pdfТаким образом, |
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1 |
(sin x + 2 cos x) − |
3 |
(cos x − 2 sin x) |
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sin x − cos x |
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− |
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dx = |
||||||||||||||
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dx = |
5 |
5 |
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|||||||||
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sin x + 2 cos x |
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sin x + 2 cos x |
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= |
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1 |
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1 + 3 |
cos x − 2 sin x |
dx = |
|
x |
|
3 |
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|
d(sin x + 2 cos x) |
= |
|||||||
−5 |
sin x + 2 cos x |
−5 |
− 5 |
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|
sin x + 2 cos x |
||||||||||||||||
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= −x5 − 35 ln | sin x + 2 cos x| + C.
9. In = |
sinn x dx = |
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u = sinn−1 x, |
du = (n − 1) sinn−2 x cos x dx, |
" = |
|||||
= ! dv = sin x dx, |
v = |
− |
cos x |
||||
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= − cos x sinn−1 x + (n − 1) |
cos2 x sinn−2 x dx = |
|
|||||
= − cos x sinn−1 x + (n − 1) |
|
(sinn−2 x − sinn x) dx. |
Получили уравнение относительно In :
In = − cos x sinn−1 x + (n − 1)In−2 − (n − 1)In.
Откуда |
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1 |
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n − 1 |
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|||||
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I = |
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cos x sinn−1 x + |
I |
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. |
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(3.5) |
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n−2 |
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||||||||||||||||||
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n |
|
−n |
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n |
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|||||||||||||
Применяя последовательно (3.4), вычислим интеграл |
sin6 x dx. |
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I6 = |
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1 |
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5 |
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||||
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sin6 x dx = − |
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cos x sin5 x + |
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I4 |
= |
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6 |
6 |
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1 |
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5 |
1 |
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3 |
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= |
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||||||||||||
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= − |
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cos x sin5 x + |
|
− |
|
cos x sin3 x + |
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I2 |
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||||||||||||||||||||
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6 |
6 |
4 |
4 |
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1 |
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5 |
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15 |
1 |
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1 |
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= |
||||
= − |
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cos x sin5 x − |
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|
cos x sin3 x + |
|
− |
|
cos x sin x + |
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I0 |
||||||||||||||||||||||
6 |
24 |
24 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
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131 |
= −16 cos x sin5 x − 245 cos x sin3 x − 165 cos x sin x + 165 x + C.
10. Kn = |
cosn x = |
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dx |
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= |
cos |
2 x + sin2 x |
dx = Kn−2 + |
sin2 x |
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||||||||
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dx = |
||||||||
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|
cosn x |
cosn x |
|||||||||||
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= u = |
sin x, |
du = cos x dx |
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||||||||
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|
sin x |
|
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1 |
|
|
= |
||||||
|
dv = |
|
dx, v = |
|
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|
|||||||
|
cosn x |
(n |
− |
1) cosn−1 x |
|
||||||||||
|
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|
= Kn−2 + |
|
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|
sin x |
|
|
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|
|
|
|
|
|
− |
|
1 |
|
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|
|
dx |
|
|
. |
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||||||||||||||||||||||||
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(n − 1) cosn−1 x |
n − 1 |
cosn−2 x |
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Получили уравнение |
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|||||||||||
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Kn = Kn−2 + |
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sin x |
|
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− |
|
1 |
|
|
Kn−2. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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(n − 1) cosn−1 x |
n − 1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Откуда |
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sin x |
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n − 2 |
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|||||||||||||||||||
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|
Kn = |
|
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|
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|
|
|
|
|
+ |
|
|
Kn−2. |
|
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|
(3.6) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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n |
1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
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(n − 1) cos − |
|
|
x |
|
n − 1 |
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K7 = |
|
dx |
|
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sin x |
|
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5 |
|
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||||||||||||||||||||||||
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dx = |
|
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|
+ |
|
|
K5 |
= |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
cos7 x |
6 cos6 x |
6 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
= |
|
|
|
sin x |
+ |
|
|
5 |
|
|
sin x |
+ |
|
3 |
K3 = |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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6 cos6 x |
6 |
4 cos4 x |
|
4 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
5 sin x |
|
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15 |
|
|
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|
sin x |
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 cos6 x |
24 |
cos4 x |
24 |
2 cos2 x |
2 |
cos x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
sin x |
5 |
|
|
|
sin x |
15 |
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
tg |
x |
π |
|
+ C. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
6 cos6 x + |
|
24 cos4 x |
+ 48 cos2 x + |
48 ln |
2 + |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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132
Задачи для самостоятельной работы
1.sin5 x cos5 x dx.
3. |
|
sin3 x . |
|
|
|
dx |
|
5. |
|
dx |
|
|
. |
||
sin x cos4 x |
|||
7. |
|
sin(x + a) cos(x + b) . |
|
|
|
dx |
sin3 x
2.cos4 x dx.
dx
4. sin4 x cos4 x .
6.cos x cos 2x cos 3x dx.
sin x
8.sin x − 3 cos x .
9. Вывести формулу понижения для интеграла Kn = |
|
|
|
cosn x dx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(n > 2) и с ее помощью вычислить |
cos8 x dx. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. Вывести формулу понижения для интеграла |
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In = |
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dx |
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|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sinn x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(n > 2) и с ее помощью вычислить |
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|
dx |
|
dx. |
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
|
− |
cos 2x |
+ |
cos3 2x |
− |
cos5 2x |
+C. 2. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
− |
|
|
1 |
|
|
|
+C. 3. − |
|
|
cos x |
|
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
64 |
|
|
|
96 |
|
320 |
|
3 cos3 x |
cos x |
2 sin2 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
|
1 |
ln |
tg |
x |
|
+ C. 4. |
|
8 ctg 2x |
|
8 |
ctg 32x + C. 5. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
1 |
|
+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
x− |
|
sin 2x |
− sin 4x |
+ |
|
sin 6x |
|
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ ln |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 cos3 x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
24 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(x + a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C. |
8. |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
ln |
|
sin x |
|
|
|
|
3 cos x |
|
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b) |
cos(x + b) |
|
|
|
|
10 |
|
|
10 |
| |
− |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cos(a |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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| |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
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1 |
|
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|
|
|
|
|
|
n |
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|
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1 |
|
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|
|
|
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|
|
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1 |
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|
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|||||||||||||
C. 9. Kn |
|
|
= |
|
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|
sin x cosn−1 x + |
|
|
|
− |
|
|
|
|
Kn |
− |
2, K8 |
|
|
= |
|
|
|
|
sin x cos7 x + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
8 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
sin x cos5 x + |
|
|
|
sin x cos3 x + |
35 |
|
|
sin x cos x + |
|
|
|
x |
+ C. 10. In = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
48 |
|
192 |
|
128 |
|
|
128 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
n − 2 |
I |
n−2, |
I |
= |
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
3 |
|
cos x |
+ |
|
|
3 |
ln |
tg |
x |
|
+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
(n − 1) sinn−1 x |
|
−4 sin4 x |
− |
|
|
8 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n − 1 |
5 |
|
|
|
|
8 sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ C. |
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|||||
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133 |
Занятие 11. Интегрирование тригонометрических функций
Задание
Найти интегралы.
1. |
|
8 − 4 sin x + 7 cos x . |
|||
|
|
dx |
|
||
3. |
|
sin2 x + tg 2x . |
|||
|
|
dx |
|||
5. |
|
sin2 x − cos2 x |
dx |
||
sin6 x + cos6 x . |
|||||
|
|
sin 2x |
|||
7. |
|
|
dx. |
||
21 + 16 cos x − 4 sin2 x |
2. |
|
cos x + 2 sin x + 3 . |
||
|
|
dx |
|
|
4. |
|
sin4 x + cos4 x . |
||
|
|
dx |
||
6. |
|
dx |
||
|
. |
|||
(2 − sin x) cos x |
sin x
8.√2 + sin x + cos x dx.
Интегралы вида R(sin x, cos x) dx, где R — рациональная
функция, приводятся к интегрированию рациональных функций с x
помощью универсальной подстановки tg 2 = t, при этом
|
|
|
|
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|
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|
2 sin |
|
x |
cos |
x |
|
|
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|
|
|
2 tg |
x |
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|||||
sin x = 2 sin |
x |
cos |
x |
= |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
= |
|
|
2 |
|
|
|
= |
|
|
, |
|
|||||||||||||||
2 |
2 |
cos2 |
x |
|
+ sin2 |
x |
1 + tg 2 |
x |
1 + t |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 |
x |
− sin2 |
|
x |
1 − tg |
2 |
x |
|
|
|
1 − t2 |
|
|||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
x |
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
cos x = cos2 |
|
− |
sin2 |
2 |
2 |
2 |
|
= |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
1 + t2 |
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
+ sin |
|
|
|
|
|
1 + tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x = 2 arctg t, |
dx = |
|
|
2 dt |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 + t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведем случаи, когда подынтегральная функция приводится к рациональной дроби более простым способом.
134
I. Подынтегральная функция — четная относительно обоих аргументов, т.е.
R(− sin x, − cos x) ≡ R(sin x, cos x).
Тогда применяется подстановка tg x = t.
II. Подынтегральная функция — нечетная относительно sin x, т.е.
R(− sin x, cos x) ≡ −R(sin x, cos x).
Применяется подстановка cos x = t.
III. Подынтегральная функция — нечетная относительно cos x,
т.е.
R(sin x, − cos x) ≡ −R(sin x, cos x).
Применяется подстановка sin x = t.
Решения
1. Вычислим |
dx |
|
|
. |
|
8 − 4 sin x + 7 cos x |
Подынтегральная функция не удовлетворяет ни одному из
случаев I-III. Поэтому применяем универсальную подстановку x
tg 2 = t. Имеем
|
|
8 − 4 sin x + 7 cos x = |
(1 + t2) |
8 |
|
|
|
|
8t |
+ 7(1 − t2) = |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + t2 |
|
|
1 + t2 |
|
|
|||||||||||
= 2 |
|
dt |
= 2 |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
= |
|
|
1 |
|
1 |
|
dt = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
||||||||||||||||||||||||
t2 − 8t + 15 |
(t − 5)(t − 3) |
t − 5 |
t − 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
tg |
x |
− |
5 |
+ C. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
= ln |
|
t |
− |
|
|
+ C = ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
− |
3 |
|
|
|
tg |
2 |
|
− |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Вычислим |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|||||
|
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|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
cos x + 2 sin x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
135 |
|
Применяя универсальную подстановку tg |
x |
= t, получаем |
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
2 dt |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||
|
cos x + 2 sin x + 3 |
(1 + t2) |
1 − t2 |
+ |
|
4t |
+ 3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 + t2 |
1 + t2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= |
|
dt |
|
= |
|
dt |
|
= |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
t2 + 2t + 2 |
(t + 1)2 + 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
= arctg (t + 1) + C = arctg tg |
x |
+ 1 + C. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
3. |
Вычислим |
dx |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
sin2 x + tg 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как R(− sin x, − cos x) ≡ R(sin x, cos x), то полагаем tg x = t.
Тогда |
|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
tg x = t, |
x = arctg x, |
dx = |
|
dt |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 + t2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= 1 + t2, |
|
sin2 x = tg 2x · cos2 x = |
|
|
|
t2 |
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
1 + t2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin2 x + tg 2x = |
2 |
|
|
dtt2 |
|
|
|
2 |
|
= |
|
|
2t2 |
+ t4 |
= |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
(1 + t ) |
|
|
|
|
|
+ t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
dt = |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t2(t2 + 2) |
2 |
t2 |
t2 + 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
t |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
tg x |
|
||||||||||||||
= |
|
|
− |
|
− √ |
|
arctg √ |
|
+ C = |
− |
|
ctg x − |
2√ |
|
arctg |
√ |
|
|
+ C. |
||||||||||||||||||||||
2 |
t |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
2 |
2 |
dx
4. Вычислим sin4 x + cos4 x . Применяя формулы
sin2 x = |
1 − cos 2x |
, |
cos2 x = |
1 + cos 2x |
, |
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
136
имеем |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
sin4 x + cos4 x = |
1 |
|
|
cos 2x |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
cos 2x |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + cos2 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
(2 + 2 cos2 2x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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и |
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sin4 x + cos4 x = 2 |
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1 + cos2 |
2x . |
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dx |
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dx |
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1 |
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Полагая R(sin 2x, cos 2x) = |
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, замечаем, что подын- |
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1 + cos2 2x |
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тегральная функция четная относительно аргументов sin 2x и |
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cos 2x. Поэтому сделаем замену tg 2x = t. |
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sin4 x + cos4 x = 2 |
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1 + cos2 |
2x = |
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(1 + t2) |
1 + |
1 |
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= |
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dx |
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dx |
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dt |
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= |
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= √2 arctg √2 + C = √2 arctg |
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1 + t2 |
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t2 + 2 |
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√2 |
+ C. |
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dt |
1 |
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t |
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1 |
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tg |
2x |
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sin2 x − cos2 x |
dx |
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5. Вычислим sin6 x + cos6 x . |
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Преобразуя подынтегральную функцию, имеем |
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|
sin6 x + cos6 x = |
1 |
((1 − cos 2x)3 + (1 + cos 2x)3) = |
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8 |
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1 |
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= |
|
(1 − 3 cos 2x + 3 cos2 2x − cos2 x+ |
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8 |
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1 |
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+1 + 3 cos 2x + 3 cos2 2x + cos2 x) = |
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(1 + 3 cos2 2x), |
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4 |
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sin2 x − cos2 x |
dx = |
− |
4 |
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|
cos 2x |
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|
dx. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
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|
1 + 3 cos2 2x |
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|
sin6 x + cos6 x |
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||||||||||||||||||||||||||||||
Так как подынтегральная функция нечетная относительно cos 2x, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
то, полагая sin 2x = t, получаем |
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||||||||||||||||||||||||||
|
sin2 x − cos2 x |
dx = |
|
− |
4 |
|
|
|
|
|
|
cos 2x |
|
|
|
dx = |
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
d sin 2x |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 + 3 cos2 2x |
|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin6 x + cos6 x |
|
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|
4 − 3 sin2 2x |
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|
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137 |
|
|
= 2 |
|
|
3t2 − 4 = 2 |
|
|
(√3t − 2)(√3t + 2) = |
|
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|||||||||||||||||||||
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|
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|
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|
dt |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
√ |
|
t − 2 |
|
|
|||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
dt = |
|
|
ln |
3 |
+ C = |
|||||||||||||||||||
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|
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|
|||||||||||
|
2 |
√3t |
− |
2 − √3t + 2 |
|
|
|
2√3 |
|
|
√3t + 2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|||
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12 − √3 sin 2x
=2√3 ln 2 + √3 sin 2x + C.
6. |
Вычислим |
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dx |
|
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|
. |
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|||||
|
(2 − sin x) cos x |
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|
Подынтегральная функция нечетная относительно cos x. Пола- |
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|
гая sin x = t, находим |
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|||||||||||
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dx |
|
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|
= |
|
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|
cos x dx |
|
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|
= |
|
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dt |
, |
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(2 − sin x) cos x |
(2 − sin x)(1 − sin2 x) |
(t − 2)(t2 − 1) |
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|
1 |
|
|
|
|
|
= |
|
A |
+ |
|
|
B |
|
|
|
+ |
|
|
C |
|
, |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
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|
(t − 2)(t2 |
− 1) |
t |
− 2 |
|
t + 1 |
|
t − 1 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
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|
A(t2 − 1) + B(t − 2)(t − 1) + C(t − 2)(t + 1) = 1, |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
t = 2, 3A = 1, A = |
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = |
−1, 6B = 1, B = |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = 1, −2C = 1, C = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
= |
|
1 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
1 |
dt = |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(2 − sin x) cos x |
3(t − 2) |
6(t + 1) |
|
2(t − 1) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= |
|
ln |t − |
2| |
+ |
|
ln |t + 1| − |
|
|
ln |t − |
|
1| + C = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
6 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
ln |
(sin x + 1)(sin x |
|
|
|
2)2 |
|
+ C. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
(sin x |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
− |
1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
Вычислим |
|
|
|
|
|
|
|
sin 2x |
|
|
|
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|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
21 + 16 cos x − 4 sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
138 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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Подынтегральная функция нечетная относительно sin x. Полагаем cos x = t.
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sin 2x |
= |
|
|
|
|
|
|
|
2 cos x sin x dx |
|
= |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
21 + 16 cos x − 4 sin2 x |
21 + 16 cos x − 4(1 − cos2 x) |
||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
2t dt |
= |
|
|
1 |
|
|
(8t + 16) − 16 |
|
dt = |
|
|||||||
|
− |
|
|
4t2 + 16t + 17 |
− |
4 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4t2 + 16t + 17 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(4t4 + 16t + 17) |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|||||||
|
= − |
|
|
|
|
d |
|
|
= 4 |
|
|
|
|
= |
|
||||||||||
|
4 |
|
4t2 + 16t + 17 |
|
|
4t2 + 16t + 17 |
|
||||||||||||||||||
|
|
= − |
1 |
ln(4t2 + 16t + 17) + 4 |
|
|
|
dt |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
(2t + 4)2 + 1 |
|
|
=−14 ln(4 cos2 x + 16 cos x + 17) + 2 arctg (2 cos x + 4) + C.
sin x
8.Вычислим √2 + sin x + cos x dx.
Представим числитель sin x в виде линейной комбинации знаменателя √2 + sin x + cos x, его производной и константы, т. е.
sin x = A(√2 + sin x + cos x) + B(cos x − sin x) + C.
Приравняв коэффициенты перед sin x, cos x и свободные коэффициенты, получаем систему для нахождения коэффициентов A,
B и C |
|
|
|
A + B = 0, |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
A − B = 1, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
√2 A + C = 0, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||
откуда A = |
|
, B = − |
|
, C = |
−√ |
|
. Поэтому |
|||||
2 |
2 |
|||||||||||
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|||
|
|
|
√ |
|
+ sin x + cos x dx = |
|||||||
|
|
|
2 |
139
|
|
|
|
1 |
|
|
√ |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
2 + sin x + cos x) − |
|
(cos x − sin x) − √ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
2 |
dx = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
+ sin x + cos x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
√ |
|
|
+ sin x + cos x) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|||||||||||||||||||
= |
|
|
dx − |
|
|
|
|
|
|
d(√ |
|
+ sin x + cos x |
− √ |
|
|
|
√ |
|
+ sin x + cos x |
= |
|||||||||||||||
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= 2 |
− |
2 ln |√2 + sin x + cos x| − |
√2 |
|
|
√2 + sin x + cos x . |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
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|
Последний интеграл обычно вычисляют с помощью универсаль- x
ной подстановки tg 2 . Но в данном случае его можно вычислить проще. Действительно,
√2 + sin x + cos x = √2 |
1 + cos x − 4 |
|
= 2√2 cos2 |
|
2 − |
8 |
, |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
π |
|
|||
√2 |
|
√2 + sin x + cos x |
= 4 |
|
x |
|
|
|
π |
|
|
= 2 tg |
2 |
− 8 |
+ C. |
|||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
π |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Окончательно получаем |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ sin x + cos x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= |
|
− |
|
ln |√2 + sin x + cos x| − |
|
tg |
|
|
− |
|
+ C. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
8 |
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|
Задачи для самостоятельной работы
1. |
|
2 sin x − cos x + 5 . |
||
|
|
dx |
||
3. |
|
sin2 x |
||
|
dx. |
|||
1 + sin2 x |
||||
5. |
|
sin x dx |
||
|
. |
|||
sin3 x + cos3 x |
2. |
|
dx |
||
|
|
. |
||
(2 + cos x) sin x |
||||
4. |
|
a2 sin2 x + b2 cos2 x . |
||
|
|
dx |
||
6. |
|
sin2 x − cos2 x |
dx |
|
sin4 x + cos4 x . |
140