Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Zad_opt

.pdf

Скачиваний:

211

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

3.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2519 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

182 ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Если ω< ωp , то проницаемость ε = c2k 2 ω2 < 0 , а следовательно,

k = −ik′′ и волна в плазму не проходит (отражается). В области прозрачности ( ω > ωp ) фазовая скорость

υ = nc > c

(поскольку n <1 ), а групповая скорость

u =

dω

= cn ,

или

u υ = c2 .

Так как в общем случае:

то

ck = ωn(ω),

cdk = dω n(ω)+ ωdn(ω)

n + ω

dω

или

u = υ

ω dn

n dω

Если закон дисперсии задан в виде: υ = υ(λ), то

u = υ− λ ddλυ

– формула Рэлея.

(8.18)

(8.19)

(8.20)

(8.21)

8.2. Задачи с решениями

Задача 8.2.1. Определить показатель преломления углекислоты при нормальных условиях. Поляризуемость молекулы СО2 рав-

на β = 3,3 10−29 м3.

Решение

Показатель преломления n и диэлектрическая проницаемость ε связаны соотношением (8.4):

Гл 8. Дисперсия света. Фазовая и групповая скорости

183

n = ε .

В свою очередь

ε=1+ χ ,

адиэлектрическая восприимчивость χ пропорциональна концентрации N молекул газа:

χ = N β ,

где β – поляризуемость одной молекулы. Таким образом,

n = 1+ Nβ .

При нормальных условиях концентрация молекул СО2 равна

N = 2,687 1025 м–3, поэтому

n = 1 + 2,687 1025 3,3 10− 29 = 1,00044 . Ответ: 1,00044.

Задача 8.2.2. При нормальных условиях плотность газообразного водорода ρг = 0,0000896 гсм3 , а его показатель преломления nг =1,000138 . Определить плотность жидкого водорода ρж, если его показатель преломления nж =1,107 .

Решение

Поскольку в области прозрачности удельная рефракция вещества практически не зависит от плотности, то в соответствии с

(8.13):

−1

+ 2

ρг

ρж

Отсюда получаем

+ 2

−1

+ 2

или

184	ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
((1,000138)2 + 2)	((1,1107)2 −1)		= 0,07 г cм3 .
ρж = ((1,000138)2 −1)		0,0000896
	((1,1107)2 + 2)

Ответ: ρж = 0,07 г/см3.

Задача 8.2.3. Концентрация электронов на Солнце на расстоянии r = 0,06R от границы фотосферы ( R = 6,95 108 м – радиус

Солнца) примерно равна N = 2 1014 м–3. Найти максимальную длину волн, которые могут достигать Земли из этой области Солнца.

Решение

В соответствии с (8.15) граница области прозрачности плазмы может быть найдена из условия:

				2
			ε(ω)=1−	ωp		≥ 0 ,
			ε(ω)=1−	2		≥ 0 ,
				ω
где	ω2p =	Ne2	– плазменная			частота, e =1,6 10−19 Кл,
где	ω2p =	ε0m	– плазменная			частота, e =1,6 10−19 Кл,
		ε0m
ε0 = 0,885 10−11			Ф м, m = 0,9 10−30 кг.
	Таким образом,
			ω≥ ωp =		Ne2		,
или			ω≥ ωp =		ε0m		,
					ε0m

λ≤ 2πc ≈ 2,3 м.

ωp

Ответ: 2,3 м.

Задача 8.2.4. Исследования прохождения плоской электромагнитной волны частотой ν =8 МГц через плоский однородный слой

плазмы с концентрацией свободных электронов N =1012 м–3 показали, что при увеличении толщины слоя d в ηd = 2 раза энергетический коэффициент пропускания τ изменяется в ητ =10 раз. Пре-

небрегая отражением волны на границах, найти толщину d слоя плазмы.

Решение

Гл 8. Дисперсия света. Фазовая и групповая скорости

185

В соответствии с законом Бугера (8.8):

I (d )= I0e−αd

			I (η d )			= I	0	e−αηd d ,
	ω				d		0
	ω
где α =	2 с n′′ – коэффициент поглощения.
По условию задачи:					I (d )
					I (d )		= η .
					I (η	d )	= η .
					I (η	d )		τ
					d
При	концентрации		свободных					электронов N =1012 м–3 плаз-
менная частота равна:
	ωp =	e		N = 56,7				N = 56,7 106 с–1.
	ωp =			N = 56,7				N = 56,7 106 с–1.
		ε0m

Так как частота волны ω= 2πv = 50,3 106 с–1, то диэлектрическая проницаемость плазмы на этой частоте, согласно (8.15), равна

	ε =1−			ω2p		= −0,272 < 0 ,
	ε =1−				2	= −0,272 < 0 ,
				ω
следовательно, n′ = 0,	′′	=		ε
	′′
	n
Таким образом,			lnηr			ln10
	d =		lnηr		=	ln10	≈13,5 м.
	d =		ηd α		=	ω	≈13,5 м.
			ηd α			ω
Ответ: d ≈13,5 м.						2 c n′′
Ответ: d ≈13,5 м.

Задача 8.2.5. Импульсное излучение от одного из пульсаров на частоте v1 =80 МГц достигает Земли на t = 7 с позже, чем им-

пульс на частоте v2 = 2000 МГц. Оценить расстояние L до пульса-

ра, если средняя концентрация электронов в межзвездном пространстве N ≈ 0,05 см–3.

Решение

В соответствии с (8.18) в области прозрачности плазмы ( ω> ωp = 56,7 N ≈ 2,0 кГц) групповая скорость излучения в межзвездном пространстве равна:

186

ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

u = c n(ω),

где n2 =1−(vp v)2 .

Следовательно, задержка

t между импульсами:

t = t1

−t2 = L

L 1

−

а расстояние до пульсара:

L =

−

Так как v1 ,v2 >> vp , то

n ≈1−

v2p

≈

v2p

2v2

2v2v2

L =

≈ 7

м ≈ 700 св. лет.

v2 − v2

Ответ: L ≈ 7 1018 м ≈ 700 св. лет.

Задача 8.2.6. Найти зависимости фазовой υ(λ) и групповой u(λ) скоростей от длины волны для следующих законов дисперсии:

а) ω2 = gk (для гравитационных поверхностных волн на глубокой воде, g – ускорение свободного падения);

б) ω2 = σρ k3 (для капиллярных волн, σ – коэффициент поверх-

ностного натяжения, ρ – плотность жидкости);

в)

ω =

(для волн де Бройля, ħ – постоянная Планка, т –

масса частицы).

Решение

а) υ =

ω =

gλ

;

2π

u =

λ ;

d k d ω

2ω g

2π

Гл 8. Дисперсия света. Фазовая и групповая скорости

187

т.е. групповая скорость в два раза меньше фазовой: u = υ2 .

б) υ = ω2

σ k3

σ k =

2π

;

ρ k 2

k 2

ρ λ

u =

d ω

3 σ k 2

k =

σ 2π

d k

2 ρ ω

2 ρ σ

ρ λ

Следовательно, u = 32 υ.

в) υ = ωk = 2=m k = 2=m 2λπ = 2mhλ ; u = m= k = mhλ .

Таким образом, u = 2υ.

Ответ:

а) υ =

gλ

, u =

λ ;

2π

б) υ =

σ 2π

; u =

σ 2π

;

ρ λ

в) υ =

;

u =

2mλ

mλ

Задача 8.2.7. Найти групповую скорость и рентгеновского излучения в среде, если предельный угол полного внутреннего отражения для границы "среда – воздух" равен θкр.

Решение

Для рентгеновского излучения ( ω>> ω0 >> Γ ) применима формула (8.14):

ω2 n2 =1− ω2p .

В области прозрачности среды ( ω> ωp ):

n <1 ,

поэтому фазовая скорость

188	ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Рис. 8.3. К вопросу об изгибе луча света вблизи поверхности Земли

Ответ: u = c sinθкр .

v = nc > c ,

а групповая скорость равна u = c n ,

поскольку согласно (8.19): u v = c2 .

Для границы «воздух–среда» по закону преломления:

nвозд sinθкр = n sin π2 ,

а так как nвозд ≈1 , то n ≈ sinθкр и, следовательно:

u = c sinθкр .

Задача 8.2.8. Световой луч распространяется параллельно поверхности Земли. Считая воздух неподвижным, найти отклонение луча h на пути L =1 км, если давление воздуха p0 =1атм, темпе-

ратура T = 300 К, а коэффициент преломления воздуха в этих усло-

виях n =1+ 3 10−4 .

Решение

В оптически неоднородной среде n = n(r) луч света не прямо-

линеен и изгибается в область с бóльшим значением показателем преломления. Радиус кривизны Rкр луча в такой среде обратно

пропорционален градиенту показателя преломления:

1	=	n	(8.22)


Rкр		n

Для воздуха показатель преломления (см. Задачу 8.1):

n(h)=1+ N (h)β , 2

где N – концентрация молекул воздуха на высоте h от поверхности Земли, β – поляризуемость воздуха в расчете на одну молекулу. В соответствии с барометрической формулой:

Гл 8. Дисперсия света. Фазовая и групповая скорости

189

μgh

N (h)= N (0)e− RT ,

где

– молярная

масса

воздуха,

N (0)=

Учитывая, что

28 10−3 10 103

μ = 28 г моль , μgh

≈

≈ 0,11, а по условию зада-

βp0

8,3 300

чи

= 3 10−4 , можем записать:

2kT

μgh

n(h)=1+

−

β p

μgh

≈1+

−

2 kT

μg β p

RT 2 kT

В соответствии с (8.22) радиус кривизны светового луча на высоте h:

βp0

2kT

R =

≈

2kT

≈

≈ 30

106 м > R ,

β0

p0 μg

μg

кр

2 kT RT

где RЗ ≈ 6,4 106 м – радиус Земли.

При прохождении светом расстояния L =1 км его отклонение по направлению к поверхности Земли (см. рис. 8.3) составит:

h = R	(1−cosθ)≈ R	θ2	=	L2	=	106	≈1,7 см.
		2		2R		2 30 106
кр	кр

Ответ: h = 1,7 см.

Задача 8.2.9. Показатель преломления некоторой прозрачной

среды вблизи частоты ω* изменяется по закону n(ω)= n −								A	,
среды вблизи частоты ω* изменяется по закону n(ω)= n −								ω−ω	,
							0	ω−ω
								0
где	n	=1,5 ,	ω = 4 1014	с–1,	A = const ,	ω< ω	. Через слой такого
	0		0			0

вещества толщиной l = 3 см проходит короткий световой импульс,

*	Δω	*	Δω
спектральный состав ( ω −	2	, ω +	2	) которого достаточно

190 ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

узок: Δω<< ω* −ω0 . Оценить время τ прохождения импульса че-

рез слой, если	ω* −ω0	≈1012 с–1 и		n(ω* )− n0		= 0,01 .
рез слой, если	ω* −ω0	≈1012 с–1 и		n(ω* )− n0		= 0,01 .
Решение
Так как искомое время				l
		τ =		l	,
		τ =	u		,
			u

где и – групповая скорость света в среде, то воспользуемся форму-

лой (8.20):

u =	c		.
	* d n
	n + ω
		d ω

Используя данные из условия задачи, получим:

d n	≈	n0 − n*	=	0,01	=10−14	с,
d ω		ω* −ω
			1012
		0

ω* ≈ ω0 = 4 1014 с–1.

В этом приближении групповая скорость равна:

u =	3 108	=	3 108 м	,

	+ 4 1014 10−14		5,5 с
1,5

а искомое время прохождения импульса через слой:

τ = 0,03 5,5 = 5,5 10−10 с. 3 108

Ответ: τ = 5,5 10−10 c .

Задача 8.2.10. Плазма заполняет полупространство x > 0 , в котором концентрация электронов нарастает по закону N (x)= μx ( μ = const ). Электромагнитный волновой пакет со средней часто-

той ω* падает нормально на границу x = 0 , проходит в плазму и возвращается через некоторое время τ. Найти это время.

Решение

В соответствии с (8.15) глубина х проникновения пакета в плазму определяется значением критической концентрации электронов Nкр, при которой ω* = ωр:

Гл 8. Дисперсия света. Фазовая и групповая скорости

191

μ x e2

= ω*

ωp

ε0m

откуда

ε0mω2 .

x =

μe2

Поскольку

d x

d t =

а для плазмы:

u = c n = c 1−

μe2

x ,

ε0mω

то для искомого времени τ получаем:

mω2

dt =

τ = 2 ∫

∫

−

μe

μe2

ε0mω

Ответ: τ =

4 ε0mω2

μe2 .

8.3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 8.3.1. Найти показатель преломления атмосферы на поверхности Венеры. Атмосфера Венеры состоит из углекислого газа, поляризуемость молекул которого равна 3,3 10−29 м3. Давление на Венере 100 атм, температура 500°С.

Ответ: ≈ 1,015.

Задача 8.3.2. Определить число N1 свободных электронов (в расчете на атом) в пленке серебра, если она прозрачна для ультрафиолета, начиная с энергии 5 эВ. Плотность серебра 10,5 г см−3, атомная масса 108 г/моль.

Ответ: N1≈ 1/6.

Задача 8.3.3. Для радиоволн с частотой 10 МГц показатель преломления ионосферы равен 0,9. Найти фазовую υ и групповую

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2519 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.11.201874.61 Кб6Zadania_po_psihologii_FDiNO_2_kurs_itogo.docx
#
27.03.2015102.4 Кб35zadanie_1.1-_2012_god.doc
#
27.03.20152.79 Mб12Zadanie_MA9_102012.pdf
#
25.11.201857.43 Кб23Zadaniya-10-11_klassov.docx
#
27.03.201547.81 Кб5zadls_4.pdf
#
27.03.20153.51 Mб211Zad_opt.pdf
#
27.03.2015947.01 Кб41zaharov.pdf
#
27.03.2015291.33 Кб3zanatiya_zaoch_istoriki_vesna.doc
#
27.03.2015290.82 Кб4zanatiya_zaoch_istoriki_vesna.doc
#
27.03.2015231.42 Кб3zanatiya_zaoch_kulturologi_vesna.doc
#
03.12.201836.7 Кб5Zapadno-Sibirsky_ek_rayon[1].docx