Zad_opt
.pdf212 |
ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ |
Гл 10. Поляризация света. Интерференция поляризованных пучков |
211 |
Глава 10
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ПУЧКОВ
10.1.Теоретическое введение
Ввакууме или в однородной изотропной среде (без дисперсии) могут распространяться плоские монохроматические световые волны, уравнения которых имеют вид:
E(r, t )= Е0 cos (ωt −kr + ϕ),
H (r, t )= H0 cos (ωt −kr + ϕ).
Векторы напряженности E и H электрического и магнитного полей взаимно ортогональны (рис. 10.1) и лежат в плоскости волново-
го фронта. Волновой вектор k = 2λπek ( λ – длина волны) перпен-
дикулярен фронту волны и указывает направление распространения волны с фазовой скоростью (2.17):
ω
v = k ek ,
которая зависит от свойств среды: υ= ω k = c ε , где с – скорость |
|
света |
в вакууме, ε – диэлектрическая проницаемость среды, |
n = |
ε – показатель преломления. Плоскость, в которой лежат век- |
торы E и k , называют плоскостью поляризации волны (она перпендикулярна вектору H ).
В простейшем случае, когда в любой точке волнового поля ориентация вектора
|
|
амплитуды Е0 со временем |
не |
меняется, |
|||||
|
|
волна |
называется линейно поляризованной |
||||||
|
|
(или |
плоско-поляризованной). |
Если |
такую |
||||
|
|
волну с интенсивностью I0 = |
ε |
0 |
εE2 |
υ (см. |
|||
|
|
|
|
0 |
|||||
Рис. 10.1. |
Ориентация |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
(2.25)) пропустить через идеальный (без по- |
|||||||||
векторов |
E,H,k в |
терь на отражение и поглощение света) по- |
|||||||
световой волне |
|||||||||
ляризатор (поляроид), то получим |
волну, |
||||||||
|
|
ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
поляризованную в плоскости пропускания. Интенсивность I , в соответствии с законом Малюса, равна
I( θ) = I0cos2θ, |
(10.1) |
где θ – угол между плоскостью поляризации волны и плоскостью пропускания поляризатора (рис. 10.2). Заметим, что сумма интенсивностей
I (θ) и I (θ± π2) прошедшего через
поляроид света при двух взаимно перпендикулярных ориентациях поляроида равна интенсивности I0 па-
дающего на поляроид света.
В общем случае полностью поляризованной волны световой вектор (как и вектор H ) в любой точке волнового поля вращается с
угловой скоростью ω в плоскости волнового фронта, а его конец описывает эллипс (так называемый эллипс поляризации). В зависимости от направления вращения светового вектора различают волны с левой и правой поляризацией ( E вращается соответственно против часовой стрелки и по часовой стрелке, если смотреть навстречу волне).
Выберем декартову систему координат так, чтобы волновой вектор был направлен вдоль оси Oz : k ={0, 0, k}. В этом случае в любой плоскости z = const (плоскость волнового фронта) компоненты вектора E будут изменяться во времени по закону:
Ex = Ex0cosωt, |
(10.2) |
|
Ey = Ey0cos( ωt + ϕ), |
||
|
причем ϕ(t)=const.
В соответствии с (10.2) уравнение траектории движения конца вектора E в плоскости волнового фронта имеет вид:
x 2 |
|
y 2 |
xy |
cosϕ = sin2ϕ , |
(10.3) |
||||
|
|
|
+ |
|
|
− 2 |
|
||
|
|
ab |
|||||||
a |
b |
|
|
|
где введены обозначения: x = Ex , y = Ey , a = Ex0 , b = Ey0 . Уравнение (10.3) описывает эллипс (см. рис. 10.3), главные оси
которого (Ox′ и Oy′) ориентированы под углом θ0 к осям декарто-
Гл 10. Поляризация света. Интерференция поляризованных пучков |
213 |
вой системы координат (Ox и Oy). Если ϕ = 0 или ϕ = π, то эллипс вырождается в отрезок прямой (линейная поляризация): плоскость поляризации такой волны ориентирована под углом α к оси 0x:
tg α = ± |
b |
. |
(10.4) |
|
|||
|
a |
|
Если ϕ = ±π/2 и a = b, уравнение (10.3) описывает окружность
(круговая поляризация).
Рис. 10.3. Траектория движения конца вектора Е в волне с эллиптической поляризацией
В полярной системе координат (x = r cosθ, y = r sinθ) уравнение (10.3) имеет вид:
|
r |
2 cosθ 2 |
sinθ 2 |
|
sin2θ |
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
+ |
|
|
− |
|
cosϕ |
= sin |
|
ϕ. |
(10.5) |
|||
|
a |
|
ab |
|
|||||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если продифференцировать обе части (10.5) по θ и учесть, что |
|||||||||||||||
в направлении главных осей эллипса поляризации (θо и |
θо + π/2) |
||||||||||||||
производная |
∂r |
= 0 , то получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∂θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg2θ0 = |
2ab |
|
cosϕ, |
|
|
|
|
(10.6) |
||||
или |
|
|
a2 −b2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
tg2θ0 = tg2α cosϕ. |
|
|
|
|
(10.7) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Гл 10. Поляризация света. Интерференция поляризованных пучков |
215 |
фаз ϕ = ±π2 + πn ( n = 0,±1,±2…), то ее называют «четвертьволновой» (или «пластинкой λ4 »); если ϕ = π± 2πn , то пластику называют «полуволновой» (или «пластинкой λ2 »).
|
Y |
|
|
(о) |
b |
Оптическая |
|
b |
|||
|
ось |
||
|
|
E 0 |
|
Z |
α |
|
|
a (е) |
О |
|
|
a |
|
X
Рис.10.4. Прохождение линейно поляризованного света через кристалл
Если пренебречь потерями, имеющими место при прохождении света через реальную пластинку, то интенсивность волны на выходе из пластинки будет равна интенсивности падающей на пластинку волны, так как обыкновенная и необыкновенная волны линейно поляризованы в перпендикулярных направлениях. Если теперь на пути прошедшего через пластинку света поместить поля- роид-анализатор, направление пропускания которого составляет угол θ с осью Ох, то проекции компонент Ex и Ey на это направ-
ление ( Excosθ и Eysinθ соответственно) будут интерферировать.
В результате интенсивность I линейно поляризованного света на выходе из анализатора будет зависеть от углов α и θ и разности фаз
ϕ :
I (α, θ, ϕ)= I0 ×
|
α cos2 |
|
|
|
2sin |
|
ϕ |
|
× cos2 |
θ+ sin2 α sin2 θ + sin 2α sin θcosθ 1− |
2 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
I (α,θ,ϕ)= I0 × |
|
|
|
|
|
|
|
|
× (cos α cos θ + sin α sin θ)2 |
−sin 2α sin 2θsin2 ϕ |
|
. (10.15) |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
216 |
ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ |
На рис. 10.5 пунктирными линиями показаны эллипсы поляризации волны (10.14) при ϕ = π2 для случаев tgα = b a =1 3 (слева)
и tgα = b a = 2 3 (справа). Сплошными линиями показаны графики
зависимости I (θ), соответствующие этим случаям. |
|
Вводя в рассмотрение угол |
|
β = α −θ |
(10.16) |
между направлениями пропускания поляризатора и анализатора, получаем:
|
сos2β−sin 2α sin2 |
(α −β) sin2 |
ϕ |
(10.17) |
|
I (α)= I0 |
2 |
. |
|||
|
|
|
|
|
Рис. 10.5. Эллипсы поляризации волны (пунктир) и угловая зависимость интенсивности I(θ) линейно поляризованного света на выходе из анализатора (сплошные линии)
В частности, если β = 0 (θ = α, т.е. направления пропускания поляризатора и анализатора совпадают), то
|
−sin |
2 |
2α sin |
2 |
ϕ |
, |
(10.18) |
|
I = I0 1 |
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а если β = ± π/2 (θ = α ± π/2, т.е. направления пропускания поляризатора и анализатора взаимно ортогональны), то
I = I0sin2 2α sin2 ϕ . |
(10.19) |
2 |
|
Как и следовало ожидать,
I + I = I0 .
Как видно из рис. 10.6, при заданной разности фаз ϕ для компонент светового вектора Ex и Ey (10.2) интенсивность I мак-
Гл 10. Поляризация света. Интерференция поляризованных пучков |
|
|
217 |
||||||
|
|
симальна, |
а |
I |
− мини- |
||||
|
|
мальна, если |
α |
= |
π/4 |
||||
|
|
(Exo = Eyo ). |
Кроме того, |
||||||
|
|
при α = π/4 интенсивно- |
|||||||
|
|
сти I и I& наиболее |
|||||||
|
|
чувствительны |
к |
значе- |
|||||
|
|
нию |
ϕ |
(на |
рис. |
10.6 |
|||
Рис. 10.6. Зависимости интенсивности I (α) |
ϕ1 = π 3 , |
|
ϕ2 = π 2 |
и |
|||||
ϕ3 = 2π 3 ). |
|
|
|
|
|||||
(нормированной на I0) для значений разно- |
На рис. 10.7 приведе- |
||||||||
сти фаз ϕ: |
π 3 (1), π 2 (2) и 2π 3 (3) |
||||||||
ны |
графики |
соответст- |
|||||||
|
|
||||||||
I (α) и I |
|
вующих |
|
зависимостей |
|||||
(α) в полярных координатах для указанных выше значе- |
ний ϕ (сплошная линия – для скрещенных поляроидов, пунктирная
– для параллельных).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
б |
в |
|
Рис. 10.7. Зависимости |
I (α) (штриховые линии) и I (α) (сплошные линии) в |
||
полярныхкоординатахдляразностейфаз π 3(а) , π 2(б) |
и 2π 3(в) |
Если световая волна – неполяризованная (так называемый естественный свет), то ϕ(t) изменяется во времени случайным образом в интервале от –π до +π. При пропускании естественного света с интенсивностью I0 через поляроид на выходе получим линейно
поляризованный свет с интенсивностью I0 /2.
Степень поляризации света характеризуют параметром:
218 |
ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ |
||
P = |
Iп |
, |
(10.20) |
Iест + Iп |
где Iп – интенсивность полностью поляризованной компоненты световой волны, Iест − интенсивность неполяризованной компоненты.
10.2. Задачи с решениями
Задача 10.2.1. Один поляроид пропускает 30% естественного света. После прохождения света через два таких поляроида интенсивность падает до 9%. Найти угол θ между главными направлениями поляроидов.
Решение
Поскольку идеальный поляроид пропускает 50% естественного света, то в случае использования неидеального поляроида интенсивность линейно поляризованного света на его выходе равна
I1 = 0,5 γ Iест ,
где γ – коэффициент изотропного пропускания материала, из которого изготовлен поляроид. Так как по условию задачи
I1 = 0,3 Iест ,
то γ = 0,6 .
С учетом закона Малюса (10.1) интенсивность света на выходе второго поляроида равна
I2 = γ I1cos2θ,
где θ – угол между главными направлениями поляроидов, а по условию задачи
I2 = 0,09 Iест .
Таким образом, получаем
cos2θ = 0,5 ,
а искомый угол θ между главными направлениями поляроидов равен 45°.
Ответ: θ = 45°.
Задача 10.2.2. Смесь естественного света с линейно поляризованным анализируется с помощью николя (поляризационная призма). Определить степень поляризации света Р, если при повороте анализатора на угол α=60° из положения, соответствующего мак-
Гл 10. Поляризация света. Интерференция поляризованных пучков |
219 |
симуму пропускания, интенсивность света за николем уменьшается в η = 2 раза.
Решение
С учетом свойств идеального поляризатора и закона Малюса (10.2) интенсивность света за николем равна
I (θ)= 0,5 Iест + Iл cos2θ ,
где Iест и Iл – интенсивности соответственно неполяризованной и линейно поляризованной компонент, θ – угол между плоскостью поляризации линейно поляризованной компоненты и главным направлением николя.
Следовательно:
Imax ≡ I (θ = 0)= 0,5 Iест + Iл ,
Iα ≡ I (θ = α)= 0,5 Iест + Iл cos2α
где α – угол, на который поворачивают анализатор. Так как по условию задачи
где η = 2 , то |
Imax = η Iα , |
|
|||
|
2 (1−ηcos2α) |
|
|||
|
Iест |
= |
|
=1 |
|
|
|
|
|
||
|
Iл |
|
η−1 |
|
и, в соответствии с (10.20), степень поляризации света:
P = |
Iл |
= 0,5 . |
Iест + Iл |
Ответ: Р = 0,5.
Задача 10.2.3. Некогерентная смесь линейно поляризованного света и света, поляризованного по кругу, рассматривается через поляроид. При повороте поляроида из положения, соответствующего максимуму интенсивности прошедшего света, на угол α = 30° интенсивность света уменьшается на 20%. Найти отношение интенсивностей Iк и Iл соответственно циркулярно и линейно поляризованных компонент.
Решение
С учетом свойств идеального поляризатора и закона Малюса (10.1) интенсивность света за поляроидом равна
I (θ)= 0,5 Iк + Iл cos2θ ,