Zad_opt
.pdf22 |
|
ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ |
|||
Отсюда расстояние х равно |
a fок |
|
|
|
|
|
x = |
= 83,1 см. |
|
|
|
|
a − fоб |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Следовательно, чтобы четко видеть предмет, необходимо |
|||||
отодвинуть |
окуляр |
от |
объектива |
на |
расстояние |
l = x − fоб = 13, 1 см. |
|
|
|
|
|
Ответ: а) |
fоб = 75 см, fок = 5 см; |
|
|
||
б) |
l =13,1 см |
|
|
|
|
Задача 1.2.10. Зрительная труба Кеплера состоит из двух собирающих линз − объектива и окуляра (рис. 1.16). Найти увеличение Г, даваемое трубой при установке на бесконечность, если диаметр D оправы объектива и диаметр d изображения оправы, которое дает окуляр,
соотносятся как d = 0,05 D.
Рис. 1.16. Оптическая схема трубы Кеплера |
Решение |
|
||||
При |
установке |
трубы |
||||
|
|
|
||||
задний фокус объектива |
Fоб |
Кеплера |
на бесконечность |
|||
′ |
совпадает с |
передним |
фокусом |
окуляра Fок. Согласно (1.25) увеличение трубы равно
Г= fоб . fок
Как видно из рис. 1.16,
Г = Dd = 20.
Ответ: Γ = 20.
Задача 1.2.11. Две тонкие линзы из стекла с показателем преломления n = 1,5 и радиусами кривизны сферических поверхностей Rоб = 1 см и Rок = 5 см используются в качестве соответственно объектива и окуляра микроскопа, дающего увеличение Γ = 50. После изменения расстояния между объективом и окуляром на l увеличение стало равным Γ′ = 60 . Определить расстояние l .
Гл. 1. Геометрическая оптика и простые оптические системы |
23 |
Решение
При наблюдении с помощью микроскопа малоразмерных объектов предмет AB располагают вблизи переднего фокуса объектива Fоб (рис. 1.17). Объектив дает
увеличенное |
действительное |
|
перевернутое |
изображение |
|
′ ′ |
|
фокуса окуляра |
A B вблизи |
||
Fок. В свою очередь окуляр пе- |
||
реводит A |
′ ′ |
в увеличенное |
B |
мнимое изображение А В , ко- |
|
|
торое находится на расстоянии |
Рис. 1.17. Ход лучей в микроскопе |
|
наилучшего зрения от окуляра |
||
|
(глаза): O′B = L0 = 25 см. Рас-
стояние Х между точками Fоб′ и Fок называют оптической длиной
микроскопа. При расчетах принимается, что расстояние от предмета АВ до объектива приближенно равно фокусному расстоянию объектива fоб, а расстояние от изображения A′B′ до окуляра равно фокусному расстоянию окуляра fок.
Из подобия треугольников AOB и OA′B′следует, что даваемое объективом увеличение равно
|
′ ′ |
|
fоб + X |
|
|
Гоб ≈ |
A B |
≈ |
=1+ X Φоб , |
(1.26) |
|
AB |
|
||||
|
|
fоб |
|
где Φоб =1 fоб – оптическая сила объектива.
Из подобия треугольников A′O′B′ и A*O′B* находим увеличение, даваемое окуляром:
Г |
|
= |
B*A* |
= |
L0 |
≈ |
L0 |
= L Φ |
|
. |
|
′ ′ |
′ ′ |
|
|
||||||
|
ок |
|
|
|
0 |
ок |
|
|||
|
|
|
B A |
|
O B |
|
fок |
|
|
Следовательно, исходное увеличение Г микроскопа равно
Г = Гоб Гок = (1+ X Φоб) L0 Φок .
При изменении расстояния между объективом и окуляром на l увеличение микроскопа становится равным
Г′ =[1+ (X + l) Φоб] L0 Φок = Г+ l L0 Φоб Φок .
24 ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Таким образом, |
Γ′−Γ |
|
|
|
|||
l = |
|
|
. |
(1.27) |
|||
|
|
|
|
|
|||
L |
Ф |
об |
Ф |
|
|||
0 |
|
|
ок |
|
Согласно (1.19), оптические силы каждой из тонких линз равны соответственно
Фоб = |
2 |
(n − n0 ) |
|
(1.28) |
||
|
Rоб |
|||||
и |
|
|
||||
|
(n − n0 ) |
|
|
|
||
Фок = |
2 |
. |
(1.29) |
|||
|
|
|||||
|
|
|
Rок |
|
С учетом (1.27)−(1.29) окончательно получаем:
l ≈ (Γ′−Γ)RобRок = 2 см. 4L0 (n − n0 )2
Ответ: l = 2 см.
Задача 1.2.12. Найти с помощью геометрических построений положения фокусов и главных плоскостей для толстой выпукловогнутой линзы толщиной d = 4 см с показателем преломления n = 1,5, если оптические силы преломляющих поверхностей линзы в воздухе равныΦ1 =50 дптр, Φ2 = −50 дптр (рис. 1.18, а).
Решение
Так как по условию Φ1 = −Φ2 , то в соответствии с (1.5)
R1 = R2 = |
|
n −1 |
=1 см, а в соответствии с (1.6) f1 = f2′ = − |
n0 |
= 2 см, |
|||
|
Φ |
|
Ф |
|||||
|
n0 |
1 |
|
|
1 |
|
||
f1′= f2 = |
= |
3 см. Положение фокусов сферических преломляю- |
||||||
Ф |
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
щих поверхностей 1 и 2 показано на рис. 1.18 а.
Положение переднего F и заднего F′ фокусов линзы найдем с помощью лучей, падающих на линзу параллельно главной оптической оси ОО′. Положение главных плоскостей Н и Н′ будем искать, исходя из того, что они − сопряженные, а коэффициент поперечного увеличения для них равен 1.
Гл. 1. Геометрическая оптика и простые оптические системы |
25 |
Рис.1.18. а – оптическая схема толстой выпукло-вогнутой линзы; б – ход лучей через толстую выпукловогнутую линзу
а
б
Направим луч 1 (рис. 1.18 б) параллельно главной оптической оси. После преломления на поверхности 2 он переходит в луч 1', который как бы выходит из фокуса F2. Параллельно лучу 1' построим луч 2′, который пересекает оптическую ось в фокусе F′1 и после преломления на поверхности 1 переходит в луч 2″, параллельный оптической оси. Так как лучи 1' и 2' − параллельные, поэтому
а) луч 1″ пересекается с лучом 2″ в фокальной плоскости F1, а с главной оптической осью – в фокусе F линзы;
б) луч 2 (а точнее − его продолжение) пересекается с оптической осью в фокусе F′, с продолжением луча 1 − в фокальной плоскости F′2, а с продолжением луча 2″ − в главной плоскости Н′. Таким образом, плоскости Н′ и F′2 совпадают. Совпадают и плоскости Н и F1, поскольку им принадлежит точка пересечения продолжения луча 1 и луча 1″.
Для иллюстрации возможности использования других лучей, на рис. 1.18б показан ход луча 3.
Относительно вершины О1 координаты найденных точек F, H, H′ и F′ равны соответственно − 3,5 см, − 2 см, + 2 см и + 3,5 см. Эти результаты подтверждаются расчетами по соответствующим формулам.
26 |
ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ |
Задача 1.2.13. Найти с помощью геометрических построений положение точки S*, сопряженной с точкой S, если для оптической системы в воздухе заданы положения главной оптической оси ОО', передней главной плоскости Н и сопряженных точек Р и Р* (рис. 1.19 а).
Решение
Поскольку среда по обе стороны от оптической системы одна и та же (воздух), то узловые точки совпадают с главными.
а |
б |
Рис.1.19. Положения главной оптической оси ОО', передней главной плоскости Н, точки S и сопряженных точек Р и Р*(а); построения для нахождения положения точки S*, сопряженной с точкой S (б)
Направим из точки Р два луча: луч 1 − в направлении на главную точку Н, в которой главная плоскость Н пересекается с осью ОО', а луч 2 − параллельно оси ОО'. Проведем через точку Р* луч 1′, параллельный лучу 1. Луч 1′ пересечет ось ОО' в узловой точке N′ (она же − главная точка Н′, лежащая в главной плоскости Н′). Луч 2 после пересечения с плоскостью H ′ пойдет как луч 2′ в направлении на точку Р*. Точка пересечения луча 2′ с осью ОО' совпадает с фокусом F′. Чтобы найти положение фокуса F , направим из точки Р* луч 3 параллельно оси ОО' до пересечения с главной плоскостью Н. Тогда луч 3′ , направленный на точку Р, пересечет ось ОО' в фокусе F системы.
Найдем положение точки S*, сопряженной с точкой S. Луч 4, выходящий из точки S параллельно оси ОО', после пересечения с плоскостью H' изменит направление и пойдет через фокус F' (луч 4'). Луч 5, выходящий из точки S в направлении на главную точку Н (она же − узловая точка N), позволяет построить параллельный ему луч 5', выходящий из главной точки Н′ (она же − узловая точка N′). Лучи 4' и 5' пересекаются в точке S*.
Гл. 1. Геометрическая оптика и простые оптические системы |
27 |
Задача 1.2.14. С помощью построений найти положение изображения S′ точки S, если для оптической системы задано относительное расположение точки S, фокусов F' и F, а также плоскостей
Н и Н' (рис. 1.20).
Рис.1.20. Построение изображения S' точки S
Решение
Чтобы найти положение изображения S' точки S построим два вспомогательных луча, исходящих из точки S: луч 1, проходящий через фокус F, после пересечения с плоскостью Н будет параллелен оси ОО' (луч 1'); луч 2, параллельный оси ОО', после пересечения с плоскостью H' изменит свое направление так (луч 2'), что продолжение луча 2' пересекает ось ОО' в фокусе F'. Точка пересечения лучей 1' и 2' дает искомое положение изображения S'.
Задача 1.2.15. Центрированная оптическая система состоит из двух тонких линз с фокусными расстояниями f1 и f2; расстояние между линзами равно d. Найти положение и фокусное расстояние f тонкой линзы, которая при любом положении объекта будет обеспечивать такое же поперечное увеличение, как и система из двух линз.
Решение
Согласно (1.17) оптическая сила Ф системы из двух тонких линз в воздухе равна
Φ = Φ + Φ |
2 |
−d Φ Φ |
2 |
= |
1 |
+ |
1 |
− |
d |
. |
|
|
|
||||||||
1 |
1 |
|
f1 |
|
f2 |
|
f1 f2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Изобразим эту систему (рис. 1.21), задав положения главных плоскостей (Н и Н') и фокусов (F и F′). Как видно из рисунка,
28 |
ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ |
Рис.1.21. Схематическое представление оптической системы из двух тонких линз
поперечное увеличение, даваемое оптической системой, равно Г = SS′ = xf = x 1Φ ,
где S − поперечный размер объекта, а S′ − поперечный размер изображения. Поэтому, если взять тонкую линзу с фокусным расстоянием
f= Φ1 = f1 + f2 − d
ипоместить ее в передней главной плоскости Н оптической системы, то она будет обеспечивать такое же поперечное увеличение,
как и система из двух линз. В соответствии с (1.14) главная плоскость Н находится от первой линзы на расстоянииf1 f2
|
|
|
|
Φ2 |
|
|
|
d f |
|
|
|
||||
|
|
|
l = |
d |
= |
|
|
|
. |
||||||
|
|
f |
+ f |
|
− d |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Φ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
Ответ: f = |
1 |
= |
|
f1 |
f2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Φ |
f |
+ f |
2 |
− d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 1.2.16. На сколько радиус кривизны R1 выпуклой поверхности выпукло-вогнутой стеклянной (n = 1,5) линзы толщиной d = 3 см должен быть больше радиуса кривизны R2 вогнутой поверхности, чтобы в воздухе линза была телескопической?
Решение
Толстая выпукло-вогнутая стеклянная линза в воздухе будет телескопической при условии:
Φ = Φ1 + Φ2 − dn Φ1 Φ2 = 0 ,
Гл. 1. Геометрическая оптика и простые оптические системы |
29 |
где Φ1 и Φ2 – оптические силы сферических поверхностей линзы,
d – толщина линзы, n – показатель преломления материала, из которого сделана линза.
Поскольку Φ = |
n −1 |
|
и |
Φ |
2 |
= |
1− n |
, то, решая уравнение, по- |
|||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
R1 |
|
|
|
R2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
лучим |
R = R |
− R |
|
= |
d (n −1) |
=1 см. |
|
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: На 1 см.
Задача 1.2.17. Телескопическая система образована двумя стеклянными шарами, расстояние между центрами которых равно L = 9 см. Радиус большого шара равен R1 = 5 см. Найти радиус R2
малого шара и увеличение системы, если объективом служит большой шар. Показатель преломления стекла n = 1,5.
Решение
Система из двух шаров будет телескопической, если задний фокус первого шара совпадает с передним фокусом второго.
Согласно (1.16) оптическая сила шара (как толстой линзы) рав-
на
Φ = Φ1 +Φ2 − 2nR Φ1 Φ2 ,
где Ф1 и Ф2 − оптические силы преломляющих поверхностей:
Ф = |
n −1 |
|
; Ф |
2 |
= |
1− n |
= |
n −1 |
|
= Ф . |
|||||||
R |
−R |
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
1 |
||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(n −1) |
|
2R(n −1)2 |
2(n −1) |
|
||||||||||||
Φ = |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
|
|
R |
|
|
|
nR2 |
|
nR |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В соответствии с (1.17) и (1.6) расстояния от каждой из вершин сферической поверхности до ближайшего фокуса равны соответственно:
x |
= − |
2R1 |
Φ1 + |
1 |
= |
|
nR1 |
|
1− |
2R1 |
|
n −1 |
|
= |
R1(2 − n) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
n |
Φ Φ |
|
2(n − |
|
|
|
|
|
|
|
2(n −1) |
||||
|
|
|
1) |
n R |
|
|||||||||||
и |
|
|
|
x = |
R2 (2 − n) |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
2(n −1) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, расстояние L между центрами шаров равно
30 ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
L = R |
+ x |
+ x + R = |
n(R1 + R2 ) |
. |
|||
|
|||||||
1 |
1 |
2 |
2 |
|
2(n −1) |
||
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда радиус малого шара равен |
|
|
|
|
|||
R = |
2L(n −1) |
− R =1 см, |
|||||
|
|||||||
2 |
|
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аискомое увеличение телескопической системы:
Г= f1 f2 = R1 R2 = 5 .
Ответ: R2 =1 см, Γ=5 .
1.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.3.1. Для трёхгранной призмы с преломляющим углом θ = 60° угол наименьшего отклонения луча в воздухе ϕmin = 37°. Найти угол наименьшего отклонения для этой призмы в воде.
Ответ: 8,7°.
Задача 1.3.2. С помощью построений найти ход луча 1 после отражения в вогнутом сферическом зеркале (рис.1.22; F – фокус, ОО' – оптическая ось).
Рис. 1.22. Направление луча 1 при падениинавогнутоесферическое зеркало
Задача 1.3.3. С помощью построений найти положение сферического зеркала и его фокуса, если Р и Р' – сопряженные точки, а ОО' – оптическая ось (рис.1.23).
Задача 1.3.4. Луч света падает из воздуха на сферическую поверхность стекла (рис. 1.24, точками отмечены положения фокусов F и F′). Найти с помощью построений преломленный луч.
Рис. 1.23. К задаче 1.3.3 |
Рис. 1.24. К задаче 1.3.4 |
Гл. 1. Геометрическая оптика и простые оптические системы |
31 |
Задача 1.3.5. Изображение предмета, находящегося перед выпуклой поверхностью стеклянной выпукло-плоской линзы толщиной d= 9 см, образуется на плоской поверхности линзы. Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы R = 2,5 см. Найти поперечное увеличение V.
Ответ: V =1− d (nRn −1) = −0,2.
Задача 1.3.6. Найти построением положение тонкой линзы в однородной среде и ее фокусов, если известны положения сопряженных точек S и S′ относительно оптической оси ОО′ (рис.1.25).
Задача 1.3.7. Построить продолжение луча 2 за рассеивающей тонкой линзой в однородной среде, если известны положение линзы и ход луча 1 (рис.1.26).
Рис.1.25. Положение сопряженных точек S и S' относительно оси OO' тонкой линзы
Рис.1.26. Направления лучей 1 и 2 относительно тонкой рассеивающей линзы
Задача 1.3.8. Центрированная система из трех тонких линз находится в воздухе (рис.1.27). Найти: а) положение заднего фокуса системы и б) расстояние от первой линзы до точки на оси слева от системы, при котором эта точка и ее изображение расположены симметрично относительно системы.
Рис.1.27. Центрированная система из трех тонких линз
Ответ: а) справа от третьей линзы на расстоянии 3,3 см;
б) 17 см.
Задача 1.3.9. Зрительная труба с фокусным расстоянием объектива f = 50 см установлена на бесконечность. На какое расстояние ∆l надо передвинуть окуляр трубы, чтобы ясно видеть предметы на расстоянии 50 м?
Ответ: ∆l = 0,5 см.