Тема 2. Классическое определение вероятности

Если все элементарные исходы испытания являются равновозможными и их число конечно, то вероятность наступления события А в результате этого испытания равна отношению числа N(A) благоприятствующих событию А исходов к общему числу N всех элементарных исходов испытания: P(A) = .

Для применения данного классического определения вероятности необходимо вычислить значения N и N(A). Для того чтобы иметь некоторые стандартные приемы при расчетах по схеме классической вероятности, приведем некоторые сведения из комбинаторики – раздела математики, посвященного решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами.

При решении задач комбинаторики используются следующие правила.

Правило умножения. Пусть необходимо выполнить одно за другим какие-то k действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, после чего второе действие можно выполнить n₂ способами, и так до k – го действия, которое можно выполнить n_k способами, то все k действий вместе могут быть выполнены n₁ × n₂ × … × n_k способами.

Правило сложения. Пусть какие-то k действий взаимно исключают друг друга. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, второе действие – n₂ способами, и так до k – го действия, которое можно выполнить n_k способами, то какое-либо одно из них можно выполнить n₁ + n₂ + … + n_k способами.

Перестановкой из n элементов называется набор из n элементов, расположенный в определенном порядке. Две перестановки из n элементов отличаются друг от друга только порядком своих элементов. Число перестановок из n элементов равно

P_n = n! = 1·2·3·…·(n – 2)·(n – 1)·n .

По определению полагается P₀ = 0! = 1.

Размещением из n элементов по k называется упорядоченный набор из k элементов, выбранных из данных n элементов (k £ n). Два размещения из n элементов по k отличаются друг от друга либо порядком, либо составом своих элементов. Число всех возможных размещений из n по k равно .

Число всевозможных перестановок из n элементов по k, в которых элементы могут повторяться, равно n^k .

Сочетанием из n элементов по k называется неупорядоченный набор из k элементов, выбранных из данных n элементов (k £ n). Два сочетания отличаются друг от друга только составом своих элементов. Число сочетаний из n элементов по k равно

Приведенные выше сведения из комбинаторики представлены в следующей схеме.

Классическая схема подсчета вероятностей пригодна для решения многих практических задач. Рассмотрим, например, некоторое множество из n элементов, среди которых по некоторому признаку выделено подмножество из n₁ элементов (n₁  n), которые назовем “отмеченными”. Это могут быть изделия (годные и бракованные), семена (всхожие и нет) и т. п. Из этого множества элементов наугад без возвращения извлекаются k элементов. Тогда вероятность того, что в выборке будет ровноk₁ “отмеченных” элементов (k₁  k) определяется по формуле гипергеометрических вероятностей: .