Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский Государственный Университет Экономики И Управления

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

Теория.docx

Скачиваний:

Добавлен:

31.03.2015

Размер:

367.67 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Тема 3. Геометрическое определение вероятности

Предположим, что пространство элементарных исходов W, соответствующее рассматриваемому испытанию, бесконечно и несчетно, а его элементы являются равновозможными. Пусть множество  представляет собой некоторую область в n-мерном пространстве, имеющую конечную меру m(W): ,m(W) < . Под мерой m(А) множества А понимается его длина в одномерном случае (n = 1), т.е. если множество на прямой; площадь множества в двумерном случае (n = 2), т.е. если оно на плоскости; объем – в трехмерном случае (n = 3), т.е. если множество в пространстве и т. д. Тогда, согласно геометрическому определению вероятности, вероятность события А равна отношению меры m(А) множества А к мере m(W) всего пространства элементарных исходов:

Тема 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теоремы сложения вероятностей:

Если события А и В несовместны, то .
Если события А и В совместны, то .
Если события попарно несовместны, то

Если события не являются попарно несовместными, то

Теоремы умножения вероятностей:

Если события А и В независимы, то P(AB) = P(A)  P(B).
Если события А и В зависимы, то .
Если события взаимно независимы (независимы в совокупности), то

Если события не являются взаимно независимыми, то

Тема 5. Формулы полной вероятности и байеса

Предположим, что в результате испытания событие А может произойти вместе с одним из попарно несовместных событий H₁, H₂, …, H_n, составляющих полную группу. Тогда вероятность события А можно найти с помощью формулы полной вероятности

Поскольку заранее неизвестно, какое из событий H₁, H₂, …, H_n наступит в результате испытания, их часто называют гипотезами. Необходимым (но не достаточным) условием того, что H₁, H₂, …, H_n образуют полную группу попарно несовместных событий, является выполнение равенства:

Пусть до испытания известны априорные (доопытные) вероятности гипотез Р(Н₁), Р(Н₂), …, Р(Н_n). После испытания становится известно, что произошло некоторое событие А. Каковы теперь апостериорные (послеопытные) вероятности гипотез при условии, что событие А произошло? Ответ дается формулой Байеса

i = 1, 2, …., n,

где вероятность события А определяется формулой полной вероятности.

Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после поступления новой информации относительно осуществления того или иного события. Апостериорные вероятности, как и априорные, удовлетворяют соотношению

Тема 6. Схема бернулли. Предельные теоремы в схеме бернулли

Если производятся испытания, при которых вероятность появления некоторого события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А. Наступление события А при испытании часто называют “успехом”, в противном случае говорят о “неудаче”. Вероятности этих исходов обозначают p и q = 1 – p (0 £ p, q £ 1) соответственно. Если независимые испытания проводятся в одних и тех же условиях, то вероятность “успеха” в каждом испытании одна и та же. Описанная выше последовательность независимых испытаний с двумя исходами (“успехом” и “неудачей”) и постоянной вероятностью “успеха” в каждом испытании называется схемой Бернулли.

В схеме Бернулли основной интерес представляет вероятность P_n(k) того, что в n независимых испытаниях будет ровно k “успехов”. Если вероятность “успеха” в каждом испытании равна р, то вероятность P_n(k) определяется формулой Бернулли: (k = 0, 1, …, n; q = 1 – p), (6.1), где – число сочетаний изn по k.

Из формулы Бернулли (6.1) вытекает формула для вероятности P_n(k₁; k₂) того, что в n испытаниях событие А наступит не менее не менее k₁, но не более k₂ раз (от k₁ до k₂ раз): P_n(k₁; k₂) = . (6.2)

В качестве частного случая последней формулы получается следующая формула для вероятности того, что в n испытаниях событие А наступит хотя бы один раз: , (6.3) гдеq = 1 – p.

При большом числе испытаний n вычисление вероятностей P_n(k) и P_n(k₁, k₂) по точным формулам (6.1) и (6.2) становится затруднительным. Поэтому возникает задача замены точных формул приближенными, снижающими вычислительные трудности без значительной потери точности вычислений. Предельные теоремы в схеме Бернулли дают такие формулы для приближенного вычисления вероятностей P_n(k) и P_n(k₁, k₂).

Локальная теорема Муавра – Лапласа. Если число испытаний n в схеме Бернулли достаточно велико, а вероятность “успеха” p не близка ни к 0, ни к 1, так что npq ³ 9, то

P_n(k) », (6.4)

_где и _.

При решении задач, требующих применения локальной теоремы Муавра-Лапласа, пользуются специальными таблицами значений функции j(х). Значения этой функции при хÎ[0; 4] приведены в различных таблицах (см., например, в таблицу 1 Приложения 2 в [1] или таблицу 1.1 в [2]). Для отрицательных значений аргумента x пользуются теми же таблицами, поскольку функция j(х) четная, т.е. j( –х) = j(х). С увеличением значений аргумента x функция j(х) ® 0 , так что при x ³ 4 практически значения функции j(х) » 0.

Интегральная теорема Муавра – Лапласа. Если число испытаний n в схеме Бернулли достаточно велико, а вероятность “успеха” p не близка ни к 0, ни к 1, так что npq ³ 9, то

P_n(k₁; k₂) » Ф₀(x₂) – Ф₀(x₁), (6.5)

где и- функция Лапласа.

Функция Ф₀(х) табулирована; значения этой функции при хÎ[0; 5] приведены в различных таблицах (см., например, в таблицу 2 Приложения 2 в [1] или таблицу 1.2 в [2]). Для отрицательных значений аргумента x пользуются теми же таблицами, поскольку функция Ф₀(х) нечетная, т.е. Ф₀( –х) = – Ф₀(х). С увеличением аргумента x функция Ф₀(х) ® 0,5 , так что при x ³ 5 практически значения функции Ф₀(х) » 0,5.

Следствие (Вероятность отклонения относительной частоты (доли) от вероятности “успеха”). Пусть n_n – число «успехов» и n_n/n – относительная частота (доля) “успехов” в n независимых испытаниях с постоянной вероятностью p “успеха” в каждом испытании. Если выполнены условия теорем Муавра – Лапласа, то для любого числа e > 0

, (6.6)

где Ф₀(х) – функция Лапласа.

Теорема Пуассона. Если число испытаний n в схеме Бернулли достаточно велико, а вероятность “успеха” p мала, так что npq £ 9, то для любого фиксированного числа k = 0, 1, …, n

P_n(k) » , (6.7) где l = np.

Заметим, что в данной ситуации нет теоремы, аналогичной интегральной теореме Муавра-Лапласа. Поэтому для нахождения приближенного значения вероятности P_n(k₁; k₂) необходимо суммировать вероятности P_n(k), определяемые по теореме Пуассона:

(6.8)

Функция P(k; l) = , присутствующая в формулах (6.7) и (6.8), табулирована, её значения приведены в различных таблицах (см., например, в таблицу 3 Приложения 2 в [1] или таблицу 6 в [2]).