- •Первообразная. Неопределенный интеграл
- •Определение и основные свойства неопределенного интеграла
- •Первообразная
- •Интеграл!неопределенный
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Таблица основных неопределенных интегралов
- •Основные методы интегрирования
- •Метод подстановки
- •Интегрирование по частям
- •Классы функций, интегрируемых в элементарных функциях
- •Интегрирование рациональных дробей с вещественными коэффициентами
- •Интегрирование квадратичных иррациональностей
- •Интегрирование дифференциального бинома
- •Интегрирование некоторых тригонометрических выражений
- •Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях
- •Определенный интеграл
- •Интегрируемость
- •Интегральные суммы
- •Геометрический смысл интегральных сумм
- •Интегрируемость
- •Суммы Дарбу
- •Определение
- •Основные свойства сумм Дарбу
- •Критерий интегрируемости. Классы интегрируемых функций.
- •Критерий Дарбу интегрируемости
- •Классы интегрируемых функций
- •Свойства определенного интеграла
- •Линейность и аддитивность
- •Оценки интегралов
- •Теоремы о среднем значении
- •Интеграл с переменным верхним пределом
- •Интегрирование по частям и формула Тейлора
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Критерий Лебега интегрируемости функции
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Длина дуги кривой
- •Понятие кривой
- •Длина дуги кривой. Спрямляемые кривые
- •Площадь плоской фигуры
- •Определение площади
- •Площадь криволинейной трапеции
- •Площадь криволинейного сектора
- •Объем тела в пространстве
- •Кубируемость
- •Объем тела вращения
- •Работа силы вдоль кривой
- •Функции многих переменных
- •Функция многих переменных. Ее предел
- •Предел функции многих переменных
- •Повторные пределы
- •Непрерывность функции многих переменных
- •Понятие непрерывности
- •Основные свойства непрерывных функций
- •Дифференцируемость функции многих переменных
- •Частные производные
- •Дифференцируемость функции многих переменных
- •Дифференциал
- •Достаточное условие дифференцируемости
- •Дифференцируемость сложной функции
- •Инвариантность формы первого дифференциала
- •Производная по направлению. Градиент
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Формула Тейлора
- •Экстремум функции многих переменных
- •Необходимое условие экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Случай двух переменных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции
- •Неявные функции
- •Существование и дифференцируемость неявной функции
- •Понятие о неявной функции
- •Неявная функция одной переменной
- •Неявная функция многих переменных
- •Неявные функции, заданные системой уравнений
- •Теорема об однозначной разрешимости системы уравнений
- •Взаимно - однозначное отображение в Rn
- •Условный экстремум
- •Постановка вопроса
- •Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Достаточные условия
- •Пример
Глава 11. |
Функции многих переменных |
|
|
|
|
|
|
37 |
|||||||||
8y 6= 0 |
lim f(x; y) = y |
|
1 |
) |
lim lim f(x; y) = |
|
1: Аналогично, lim lim f(x; y) = 1: |
||||||||||
x |
! |
0 |
|
y |
! |
0 x |
! |
0 |
x |
! |
0 y |
! |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 11.7. f(x; y) = x sin(1=x) + y ; M0 = 0: x + y
lim lim |
x sin(1=x) + y |
= lim 1 = 1; |
lim f(x; y) = sin |
|
1 |
|||||
x + y |
x |
|||||||||
y!0 x!0 |
y!0 |
y!0 |
||||||||
Теорема 11.5. Пусть f определена в (M0; 1; 2) è |
|
|
||||||||
1) |
9 |
кратный предел |
lim f(x; y) = b; |
|
|
|||||
|
|
|
(x;y) |
! |
M0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) |
|
|
|
|
|
lim f(x; y) = '(x): |
|
|
||
|
8 x : 0 < jx x0j < 1 9 y!y0 |
|
|
|
Тогда повторный предел lim '(x) существует и равен
x!x0
) lim lim f(x; y) не существует.
x!0 y!0
b.
JИз условия 1) следует, что
8 " > 0 9 = (") > 0 : 8 (x; y) 2 0 < jx x0j < ; 0 < jy y0j < )
|
|
|
|
|
|
jf(x; y) bj < ": |
(11.7) |
|
|
Зафиксируем в (??) x 2 O (x0) и устремим y ! y0: Тогда поскольку, в силу условия 2), f(x; y) ! |
|||||
'(x), òî j'(x) bj " 8 x 2 O (x0): Это означает, что '(x) ! b; x ! x0: I |
|
||||||
Следствие. |
Если дополнительно к условиям Теоремы ?? потребовать |
существование |
|||||
lim |
f(x; y) |
|
(y); |
то оба повторных предела существуют и равны. |
|
||
x |
! |
x0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
11.3Непрерывность функции многих переменных
11.3.1Понятие непрерывности
Пусть функция f определена на M Rn; a 2 M è a предельная точка M.
Определение 11.19. Функция f называется непрерывной в точке a тогда и только тогда, когда
lim f(x) = f(a):
x!a
Функция f непрерывна на M тогда и только тогда, когда f непрерывна в каждой точке M.
Пример 11.8. |
|
|
|
|
|
f(x; y) = ( |
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; x2 + y2 6= 0; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
x = y = 0: |
|||||||||
lim |
|
f(x; y) = |
|
k |
= 0; åñëè k = 0 |
) |
f разрывна в точке O: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
0 |
1 + k2 |
||||||||||||||||||||
y=kx |
! |
|
6 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 11.9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
; x2 + y2 6= 0; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x; y) = |
x4 + y2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
0; |
|
|
x = y = 0: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kx3 |
|
8 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
f(x; y) = lim |
|
|
= 0 |
k: Кроме того, lim f(x; y) = 0: Таким образом, предел |
|||||||||||||||
0 |
|
+ k2x2 |
|||||||||||||||||||
y=kx |
! |
x |
! |
0 x4 |
|
|
|
|
|
|
|
x=0;y |
! |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f по любой прямой существует и равен 0. Тем не менее, предел lim f(x; y) не существует, ибо
(x;y)!0
lim f(x; y) = 1=2:
y=x2!0
11.3.2 Основные свойства непрерывных функций
1) Арифметические свойства
Те же, что и в случае n = 1 (ñì. ï. 4.1.2).
Глава 11. Функции многих переменных |
38 |
2) Непрерывность сложной функции
Определение 11.20. Пусть на N Rk определены функции:
x1 = '1(t1; t2; : : : ; tk);
: : :
xn = 'n(t1; t2; : : : ; tk);
причем (x1; : : : ; xn) 2 M Rn 8 (t1; t2; : : : ; tk) 2 N; то есть на N задана вектор функция (t) с областью определения N и областью значений M:
Тогда если на M определена функция f(x); то говорят, что на N задана сложная функция f( (t)).
Теорема 11.6. Пусть функции '1; : : : ; 'n непрерывны в точке a = (a1; : : : ; an) 2 N и f непрерывна в точке b = (b1; : : : ; bn); ãäå bi = '(a): Тогда сложная функция f( (t)) непрерывна в точке a.
JПусть t |
m |
! a; m ! 1: Так как непрерывна вm |
|
a, òî x |
m |
= (t |
m |
) ! b; m ! 1: Отсюда, |
||||||
|
|
|
|
точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в силу непрерывности f в точке b, заключаем: f( (t |
)) ! b; m ! 1: I |
|
|
|
|
|
||||||||
3) Устойчивость знака непрерывной функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Теорема 11.7. Если f непрерывна в точке a 2 |
Rn è f(a) |
6= |
0; |
òî 9 O(a) |
: |
8 x |
2 |
|||||||
T |
sgn |
f(x) = sgn f(a): |
n = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O(a) D(f) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Доказывается так же, как при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) Теорема о промежуточном значении |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определение |
11.21. Кривой в Rn называется |
множество |
|
= |
f(x1; : : : ; xn) |
: |
x1 |
= |
r1(t); : : : ; xn = rn(t); t 2 [0; 1]; g ãäå ri непрерывны на [0; 1]: Вектор-функция r(t) = (r1(t); : : : ; rn(t)) называется параметризацией, точки a = r(0) и b = r(1) началом и концом кривой .
Определение 11.22. Множество M Rn называется линейно связным тогда и только тогда, когда 8 a; b 2 M 9 кривая M с началом a и концом b.
Теорема 11.8. Пусть f непрерывна на линейно связном множестве M Rn и пусть a; b 2 M и c любое число, заключенное между f(a) и f(b). Тогда для любой кривой ; лежащей в M и соединяющей точки a; b, существует точка 2 такая, что f( ) = c:
JПусть r(t) параметризация кривой . Тогда сложная функция g(t) = f(r(t)) непрерывна на [0; 1], причем g(0) = f(a); g(1) = f(b); так что число c заключено между g(0) è g(1). Тогда по Теореме Коши о промежуточном значении (см. п. 4.5.2) 9 t 2 [0; 1] : g(t) = c: ßñíî, ÷òî = r(t) удовлетворяет всем условиям. I
5) Теоремы Вейерштрасса
Теорема 11.9 (I Теорема Вейерштрасса) . Пусть f непрерывна на компакте K Rn: Тогда f ограничена на K.
JN : 8 n 2 N 9 xn 2 K : f(xn) > n: Так как последовательность fxng ограничена, то по Теореме ?? существует подпоследовательность xni , сходящаяся к некоторой точке a; которая, в силу замкнутости K (Ò.??), принадлежит K. Функция f непрерывна, следовательно, последовательность
f(a) в противоречии с тем, что
Теорема 11.10 (II Теорема Вейерштрасса) . Пусть f непрерывна на компакте K Rn: Тогда f
достигает своих верхней и нижней граней, то есть |
9 xm; xM 2 K : f(xm) = m := |
inf f; f(x |
) = |
M := sup f. |
K |
M |
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
Доказательство дословно совпадает с доказательством в случае n = 1 (ñì. ï. 4.5.2).