- •Первообразная. Неопределенный интеграл
- •Определение и основные свойства неопределенного интеграла
- •Первообразная
- •Интеграл!неопределенный
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Таблица основных неопределенных интегралов
- •Основные методы интегрирования
- •Метод подстановки
- •Интегрирование по частям
- •Классы функций, интегрируемых в элементарных функциях
- •Интегрирование рациональных дробей с вещественными коэффициентами
- •Интегрирование квадратичных иррациональностей
- •Интегрирование дифференциального бинома
- •Интегрирование некоторых тригонометрических выражений
- •Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях
- •Определенный интеграл
- •Интегрируемость
- •Интегральные суммы
- •Геометрический смысл интегральных сумм
- •Интегрируемость
- •Суммы Дарбу
- •Определение
- •Основные свойства сумм Дарбу
- •Критерий интегрируемости. Классы интегрируемых функций.
- •Критерий Дарбу интегрируемости
- •Классы интегрируемых функций
- •Свойства определенного интеграла
- •Линейность и аддитивность
- •Оценки интегралов
- •Теоремы о среднем значении
- •Интеграл с переменным верхним пределом
- •Интегрирование по частям и формула Тейлора
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Критерий Лебега интегрируемости функции
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Длина дуги кривой
- •Понятие кривой
- •Длина дуги кривой. Спрямляемые кривые
- •Площадь плоской фигуры
- •Определение площади
- •Площадь криволинейной трапеции
- •Площадь криволинейного сектора
- •Объем тела в пространстве
- •Кубируемость
- •Объем тела вращения
- •Работа силы вдоль кривой
- •Функции многих переменных
- •Функция многих переменных. Ее предел
- •Предел функции многих переменных
- •Повторные пределы
- •Непрерывность функции многих переменных
- •Понятие непрерывности
- •Основные свойства непрерывных функций
- •Дифференцируемость функции многих переменных
- •Частные производные
- •Дифференцируемость функции многих переменных
- •Дифференциал
- •Достаточное условие дифференцируемости
- •Дифференцируемость сложной функции
- •Инвариантность формы первого дифференциала
- •Производная по направлению. Градиент
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Формула Тейлора
- •Экстремум функции многих переменных
- •Необходимое условие экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Случай двух переменных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции
- •Неявные функции
- •Существование и дифференцируемость неявной функции
- •Понятие о неявной функции
- •Неявная функция одной переменной
- •Неявная функция многих переменных
- •Неявные функции, заданные системой уравнений
- •Теорема об однозначной разрешимости системы уравнений
- •Взаимно - однозначное отображение в Rn
- •Условный экстремум
- •Постановка вопроса
- •Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Достаточные условия
- •Пример
Глава 12. Неявные функции |
58 |
которая по построению равносильна в пределах = 0x m+n 1 1 системе уравнений (??). 4). Таким образом, утверждение а) теоремы доказано. Остается проверить формулу ( ??).
Согласно а)
F(x; f(x)) 0; x 2 0x;
что в покоординатной записи означает
|
|
|
|
Fi(x1; : : : ; xm; f1(x1; : : : ; xm); : : : ; fn(x1; : : : ; xm)) 0; i = 1; n: |
(12.19) |
По доказанному функции fi дифференцируемы в 0x, а функции Fi(x; y) по условию диффе-
ренцируемы в O(M |
) |
|
; òàê ÷òî F ( |
; f( |
)) |
дифференцируемы в 0 |
; поэтому, дифференцируя |
||||||||||
0 |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||
тождества (??), получим |
|
@Fi + |
n |
@Fi @fk |
= 0; i = 1; n; j = 1; m; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@xj |
k=1 |
@yk @xj |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или в матричной форме
F0x(x; y) + F0y(x; y) f0(x) = 0;
ãäå y = f(x): Отсюда, учитывая обратимость матрицы F0y(x; y) в , получим (??).I
12.2.2 Взаимно - однозначное отображение в Rn
Пусть в O(M0); M0(x01; : : : ; x0n) 2 Rn; определены функции
|
|
8 y:1:=: : :f:1:(:x:1:;:::::::;:x:n: :); |
|
|
|
|
|
(12.20) |
||||||
|
|
< yn = fn(x1; : : : ; xn): |
|
|
|
|
|
|
||||||
Функции (??) осуществляют |
|
: |
|
|
|
O(M |
0 |
) на некоторое множество R |
n |
: Ýòî îòîá- |
||||
|
отображение из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ражение называется взаимно однозначным или биекцией тогда и только |
тогда, когда |
8 (y1; : : : ; yn) 2 |
||||||||||||
|
0 |
|
||||||||||||
9! (x1; : : : ; xn) : yi = fi(x1; : : : ; xn); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
i = 1; n: Если отображение f : |
O(M |
|
||||||||||||
|
) ! биекция, то |
|||||||||||||
существует обратное отображение f 1 : |
! |
O(M0); которое также является биекцией. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 12.4. Пусть функции f1; : : : ; fn â O(M0) имеют непрерывные частные производные пер-
вого порядка по всем переменным и D(f1; : : : ; fn) (M0) 6= 0: Тогда функции f1; : : : ; fn осуществля-
D(x1; : : : ; xn)
ют взаимно однозначное отображение некоторой окрестности U(M0) O(M0) точки M0 â некоторую окрестность V (N0) точки N0(y10; : : : ; yn0 ), ãäå yi0 = fi(M0):
JПусть Fi(x; y) = yi +fi(x1; : : : ; xn): Тогда функции Fi удовлетворяют всем условиям Теоремы
??:
1.Fi(M0; N0) = 0;
2.Все частные производные первого порядка Fi непрерывны в O(M0; N0) è
F0x(M0; N0) = D(f1; : : : ; fn) (M0) 6= 0;
D(x1; : : : ; xn)
Следовательно, существует = f(x; y) 2 R2n : |
jx M0j < ; jy N0j < g и функции |
|||||
xi = gi(y1; : : : ; yn)(x = g(y)) такие, что |
|
|
|
|
|
|
8 (x; y) 2 (??) , xi = gi(y1; : : : ; yn) |
|
|
||||
è |
|
|
|
|
|
1 |
g0(y) = [Fx0 (y; g(y))] |
1 |
|
D(f1; : : : ; fn) |
|||
|
Fy0 (y; g(y)) = |
|
(g(y)): I |
|||
|
D(x1; : : : ; xn) |
12.3Условный экстремум
12.3.1Постановка вопроса
Все изученные нами до сих пор результаты по исследованию функции на экстремум относятся к так называемому случаю безусловного экстремума. Другими словами, эти результаты применимы только к исследованию поведения функции в полной окрестности некоторой точки, когда на аргумент не накладывается никаких условий .
Глава 12. Неявные функции |
59 |
Часто возникает более сложная и с практической точки зрения более интересная ситуация, когда ищется экстремум функции при некоторых условиях, ограничивающих поведение аргумента 2.
Пример 12.2 (Изопериметрическая задача) . Среди всех прямоугольников , имеющих заданный периметр 2p, найти тот, который имеет наибольшую площадь S.
Обозначив через x è y стороны прямоугольника, приходим к следующей задаче
S(x; y) = xy 7 !max;
x + y = p:
Таким образом, экстремум функции ищется не на всей области определения, а лишь на ее части, определяемой уравнением связи 3 x + y = p: Эта задача, конечно, легко сводится к обычной задаче
безусловного экстремума: выразив из уравнения связи y через x, мы приходим к задаче нахождения максимума функции x(p x) на отрезке [0; p]:
В общем случае задача на условный экстремум ставится так:
|
|
|
|
|
|
u = f(x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn) 7 !max(èëè min); |
|
|
(12.21) |
||||||
|
|
|
|
|
8 |
F1: (:x: :1:;:::::::;:x:m: :;:y:1:;:::::::;:y:n:): :=: :0; |
|
|
|
|
(12.22) |
||||
|
|
|
|
|
< |
Fn(x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn) = 0; |
|
|
|
|
|
||||
то есть требуется найти |
: |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
экстремум функции ( ??) при наличии |
|
условий связи (??). |
||||||||
Определение 12.1. Точка M0(x0 |
; : : : ; x0 |
; y0 |
; : : : ; y0 ) называется точкой условного максимума |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
m |
1 |
n |
|
|
|
|
|
(минимума) функции f(M), если |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a) Fi(M0) = 0; i = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1; n; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) Существует некоторая окрестность |
O(M0) точки M0 |
такая, что для всех точек M |
|||||||||||||
èç ýòîé |
окрестности, удовлетворяющих условиям связи (??), |
f(M) f(M |
0 |
) |
(соответственно |
||||||||||
|
0 |
)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f(M) f(M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть функции Fi удовлетворяют всем условиям Теоремы ??:
1)Fi(M0) = 0;
2)@Fi ; @Fi ; i; k = 1; n; j = 1; m; непрерывны в O(M0) и отличен от 0 хотя бы один из миноров
@xj @yk
n-го порядка матрицы |
@Fi |
; |
|
@Fi |
(M0), например, якобиан |
D(F1; : : : ; Fn) |
(M0) 6= 0: |
@xj |
@yk |
D(y1; : : : ; yn) |
Тогда по Теореме ?? существуют = f(x; y) 2 Rn+m : jx x0j < ; jy y0j < g и единственный набор функций yi = fi(x); i = 1; n, дифференцируемых на 0x = fjx x0j < g и таких, что
8 (x; y) 2 (??) , yi = fi(x); i = 1; n:
Это означает, что в пределах окрестности точки M0
u= f(x1; : : : ; xm; f1(x1; : : : ; xm); : : : ; fn(x1; : : : ; xm)) (x1; : : : ; xm);
èзадача нахождения условного экстремума функции n + m переменных свелась к задаче нахождения безусловного экстремума функции в m-мерном прямоугольнике 0x:
Замечание 12.2. На практике указанный способ нахождения точек условного экстремума удается реализовать лишь в том случае, когда удается найти явные выражения
|
|
|
|
yi = fi(x1; : : : ; xm); i = 1; n; |
(12.23) |
для неявных функций y1; : : : ; yn, заданных уравнениями связи (??). Собственно, мы так и поступили в примере ??.
2Фактически мы уже сталкивались с такой задачей при нахождении глобальных экстремумов наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на некотором компакте (п.11.8.4).
3На самом деле имеются дополнительные ограничения, возникающие из контекста задачи: x; y 0:
Глава 12. Неявные функции |
60 |
Укажем другой способ нахождения точек условного экстремума, не прибегая к явному решению системы (??), хотя существованием этих решений мы будем пользоваться и в этом случае.
На самом деле мы найдем лишь необходимые условия экстремума.
Итак, пусть по-прежнему Fi удовлетворяют условиям 1), 2) так, что справедливо ( ??), и пусть функция f дифференцируема в O(M0):
Предположим, что M0 = (x0; y0) точка условного экстремума или что то же самое x0 точка обычного (безусловного) экстремума сложной функции
u = f(x1; : : : ; xm; f1(x1; : : : ; xm); : : : ; fn(x1; : : : ; xm)) (x1; : : : ; xm): |
(12.24) |
|||||||||||||||||||||||
Тогда по необходимому условию экстремума |
|
@ |
(x0) = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
i = 1; m; òî åñòü |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
d (x0) = |
@xi (x0)dxi 0 |
8dxi; i = 1; m: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С другой стороны, в силу инвариантности формы I дифференциала и равенства ( ??), имеем |
||||||||||||||||||||||||
|
@f |
|
|
|
@f |
|
|
|
|
@f |
|
|
|
|
|
|
@f |
|
|
|||||
d (x0) = du(M0) = |
|
(M0)dx1 + + |
|
(M |
0)dxm + |
|
(M0)dy1 + + |
|
(M0)dyn = 0; (12.25) |
|||||||||||||||
@x1 |
@xm |
@y1 |
@yn |
|||||||||||||||||||||
ãäå dy1; : : : ; dyn являются дифференциалами функций ( ??). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Но функции (??) удовлетворяют системе ( ??), òî åñòü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
8 |
F:1:(:x: |
1:;:::::::;:x: :m:;:y: |
1: ;: :: :: :: ;: y: :n:):jy:i:=:f:i:(:x:): : : |
0: ; |
|
8 |
(x1; : : : ; xm) |
2 |
x0 : |
(12.26) |
||||||||||||||
< |
Fn(x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn) yi=fi(x) |
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
: |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Взяв дифференциал от обеих частей каждого из тождеств ( ??) и воспользовавшись снова инвариантностью формы I дифференциала, будем иметь:
8 |
@F1 |
+ + |
@F1 |
@F1 |
+ + |
@F1 |
|||||
|
@x1 dx1 |
@xm dxm + |
@y1 dy1 |
@yn dyn = 0; |
|||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : (12.27)
> |
@F1 |
+ + |
@F1 |
@F1 |
+ + |
@F1 |
|||||
|
@x1 dx1 |
@xm dxm + |
@y1 dy1 |
@yn dyn = 0: |
|||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система (??) линейна относительно переменных dy1; : : : ; dyn, причем определитель матрицы
D(F1; : : : ; Fn)
этой системы равен D(y1; : : : ; yn) (M0); который, в силу условия 2), отличен от 0. Следовательно, систему (??) можно разрешить относительно dy1; : : : ; dyn, причем последние, согласно формулам Крамера, будут линейными функциями от dx1; : : : ; dxm:
m
X
dyi = aijdxj; i = 1; n;
j=1
ãäå aij некоторые выражения, зависящие от |
@Fi |
; : : : ; |
@Fi |
è |
D(F1; : : : ; Fn) |
(M0): Подставляя эти |
||||||
|
|
D(y1; : : : ; yn) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
@x1 |
@xm |
|
|||
выражения в (??) и собирая подобные члены, получим |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
A1dx1 + + Amdxm = 0; |
|
(12.28) |
||||
|
@f |
n |
@f |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
kP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ãäå Ai = @x + |
@y |
|
aki: |
|
|
|
|
|
|
|||
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
i |
|
k |
|
|
|
|
|
|
Так как в равенстве (??) фигурируют только дифференциалы независимых переменных, то ( ??)тождество относительно dx1; : : : ; dxm, следовательно, A1(M0) = = Am(M0) = 0: Присоеди-
няя к этим равенствам n условий связи, получим необходимые условия существования условного экстремума:
A1 = = Am = 0; F1 = = Fn = 0: |
(12.29) |
(??) система из n+m уравнений для определения n+m координат точки возможного условного экстремума.
Глава 12. Неявные функции |
61 |
12.3.2Метод неопределенных множителей Лагранжа
В изложенном в предыдущем пункте методе нарушается симметрия относительно переменных: часть из них (x1; : : : ; xm) мы рассматриваем как независимые переменные, а остальные ( y1; : : : ; yn)
x1; : : : ; xm. Лагранж предложил другой метод, при котором все переменные играют одинаковую роль. Этот метод основан на следующей теореме.
Теорема 12.5. Пусть функции Fi удовлетворяют условиям 1), 2) п. ?? и пусть функция f дифференцируема в O(M0): Тогда если M0 точка условного экстремума задачи (??) (??), òî
вектор grad f(M0) является линейной комбинацией векторов grad Fi(M0); i = 1; n; òî åñòü
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
i grad Fi(M0); |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
grad f(M0) = |
(12.30) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ãäå 1; : : : ; n некоторые постоянные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
JРассмотрим систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
@F1 |
|
|
|
|
|
@Fn |
|
|
|
|
|
@f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
(M0) 1 + + |
|
|
(M0) n = |
|
|
(M0); i = 1; n: |
(12.31) |
|||||||||||||||||
|
|
|
@yi |
|
@yi |
@yi |
|||||||||||||||||||||||
В силу условия 2), определитель матрицы этой системы |
|
D(F1; : : : ; Fn) |
(M0) отличен от 0, так что |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D(y1; : : : ; yn) |
|
||||||||
существует единственный набор чисел 1; : : : ; n; |
при котором справедлива система ( ??). |
|
|||||||||||||||||||||||||||
Введем функцию |
|
= (x; y; ) = f ( 1F1 + + nFn): |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(12.32) |
||||||||||||||||||||||||
Из соотношений (??) è (??) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
@ |
|
|
@ |
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
||||||||||||||
|
|
(M0)dx1 + |
+ |
|
|
(M0)dxm |
+ |
|
|
(M0)dy1 |
|
+ + |
|
|
(M0)dym = 0: |
(12.33) |
|||||||||||||
@x1 |
@xm |
@y1 |
|
@ym |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
@ |
|
|||||||||
Но, поскольку 1; : : : ; n удовлетворяют (??), òî |
|
|
(M0) = = |
|
|
(M0) = 0; так что соотноше- |
|||||||||||||||||||||||
@y1 |
@ym |
||||||||||||||||||||||||||||
íèå (??) принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(M0)dx1 |
+ + |
|
|
(M0)dxm = 0: |
(12.34) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
@x1 |
@xm |
Здесь x1; : : : ; xm независимые переменные, поэтому ( ??) тождество относительно dx1; : : : ; dxm,
следовательно, |
@ |
(M0) = 0; j = |
|
|
÷òî â ñèëó (??), равносильно равенствам |
||||||||
1; m; |
|||||||||||||
|
|||||||||||||
|
@xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
@f |
|
@F1 |
@Fn |
|
|
|
||||
|
|
|
|
(M0) = 1 |
|
(M0) + + n |
|
(M0); j = 1; m: |
|||||
|
|
|
@xj |
@xj |
@xj |
Отсюда и из (??) ïðè i = i; i = 1; n следует утверждение теоремы. I
Функцию называют функцией Лагранжа, а метод ее использования методом Лагранжа. Функция Лагранжа удобна тем, что необходимые условия ее экстремума как функции перемен-
íûõ 1; : : : ; n; x1; : : : ; xm è y1; : : : ; yn в точности совпадают с равенством ( ??) и условиями связи
(??). Действительно,
>
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
@ |
|
|
|
@f |
|
|
|
@F1 |
+ + n |
@Fn |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
@xj |
= |
|
@xj |
1 |
@xj |
@xj |
|
= 0; j = 1; m; |
|
||||||||||||||||
> |
|
@ |
|
|
@f |
|
|
@F1 |
|
|
@Fn |
|
|
|
|
|
(12.35) |
||||||||
|
= |
|
|
1 |
+ + n |
= 0; i = 1; n; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
> |
@yi |
|
@yi |
|
|
@yi |
|
|
@yi |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
> |
@ i |
= Fi = 0; i = 1; n: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>
>
>
:
Таким образом, при решении задачи ( ??) (??) можно написать с неопределенными множителями функцию Лагранжа (??) и искать уже ее критические точки.