33_all
.pdfОсобые точки однозначного характера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2003/2004 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z sin |
|
z cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− z |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Найти все особые точки функции |
|
f (z)= |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
esin |
|
z z 2 , определить их тип. Ответ обосновать. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(cos z −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Шабунин, Сидоров стр. 64 – 70 (примеры 9 - 13 стр. 68 – 72), Половинкин стр. 85 – 95 (примеры 1 - 4 стр. 91 – 93) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
c f (z)= |
|
ϕ(z) |
, |
где функция ψ(z) |
регулярна при всех |
z . Поэтому особые точки функции f (z) определяютя особыми |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ψ(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
точками функции ϕ(z) и нулями знаменателя ψ(z). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Кандидаты в особые точки: |
|
|
z = 0 - нуль знаменателя аргумента экспоненты, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z =1 - нуль знаменателя аргумента косинуса в числителе, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 2πk, k =±1, ± 2,K - нули знаменателя, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = ∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2Покажем, что точка z = 0 является устранимой особой точкой1 для функции f (z): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (z)= |
z(z + o(z 2 ))3 cos(1 + z + o(z)) |
e(z+o(z2 ))2 |
z2 |
= |
(z 4 + o(z5 )) cos(1 + o(1)) |
e1+o(1) → 4e cos1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
|
+ o(z |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 4 |
|
+ o(z5 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
2 |
|
|
)−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
для |
f (z). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
z = 0 - УОТ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3Покажем, что точка |
z =1 является |
существенно особой2 для функции ϕ(z): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z |
|
) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
пусть z |
|
|
|
=1 + |
|
|
|
|
|
|
|
, тогда lim z |
|
=1 |
, а lim cos |
|
|
|
|
|
= cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= cos |
|
|
+ 2πl =0, т.е. |
lim f |
|
= 0 ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
− z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
+ 2πl |
|
|
|
|
|
l |
→∞ |
|
|
l |
|
|
|
|
|
l→∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l→∞ |
|
l |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 2πl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= cos(1 + 2πm)=1, |
|
|
|
|||||||||||
пусть теперь |
|
zm |
=1 + |
|
|
|
|
, |
тогда |
|
lim zm =1 , |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2πm |
|
|
|
|
lim cos |
1 − zm |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(1 + 2πm) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sin |
3 |
1 |
|
|
|
2 |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
lim f (z |
|
)= |
|
|
|
sin |
|
|
≠ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
m |
|
|
|
|
|
(cos1 −1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
m→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Следовательно, |
|
для f (z). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
z =1 - СОТ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
e Рассмотрим точки |
|
z = 2πk, k =±1, ± 2,K , |
в которых |
нули знаменателя совпадают с нулями числителя функции |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πkt |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
+ o(1) + o(t |
|
) |
|
t +o(t |
|
) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 2πk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Произведем |
|
|
|
замену: |
|
|
|
|
|
t = z −2πk . |
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2πk +o(1) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
|
+ o(t |
3 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
1 |
Определение. Изолированная особая точка a |
|
|
|
функции |
f : B ρ (a)→ C называется устранимой особой точкой, если |
C |
||||||
существует конечный предел lim f (z) C . |
|
|||||
|
z→a |
|
||||
|
|
|
|
|
|
o |
2 |
Определение. Изолированная особая точка a |
|
функции |
f : B ρ (a)→ C называется существенно особой точкой, если |
||
C |
не существует конечного или бесконечного предела lim f (z).
z→a
Особые точки однозначного характера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
2πkt |
|
cos |
|
|
|
|
|
+ o(1) + o(t |
|
) |
|
2πk cos |
|
|
|
+ o(1) |
+ o(t) |
|
|
|
||||||||
|
|
1 − 2πk |
|
1 − 2πk |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e(o(1))2 = |
|
|
|
|
eo(1) →∞ - |
полюсы3 |
1-го |
порядка |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t 4 |
|
+ o(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
+ o(1) |
|
t→0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(простые полюсы – ПП). |
|
|
|
|
|
|
|
|
для функции f (z). |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Точки |
z = 2πk, k = ±1, ± 2,... - полюсы 1-го порядка |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
f |
|
|
|
|
|
(НОТ)4, |
т.к. в |
любой |
ее окрестности есть |
полюсы |
1-го |
порядка |
|||||||||||||||||
z = ∞ |
- |
неизолированная |
особая |
точка |
z = 2πk, k =±1, ± 2,K (точка накопления полюсов).
o
3 Определение. Изолированная особая точка a C функции f : B ρ (a)→ C называется полюсом, если существует предел
lim f (z)= ∞.
z→a
o
4 Определение. Пусть функция f определена и регулярна в проколотой окрестности точки a C , т.е. на множестве B ρ (a),
ρ > 0 . Тогда точку a называют изолированной особой точкой (однозначного характера) функции f .
Разложение в ряд Лорана |
|
|
|
|
1 |
|
|||
2003/2004 |
33 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
f z |
z 2 |
4 |
|
|
|||
|
|
Разложить в ряд Лорана по степеням z 1 |
3i функцию |
|
|
в кольце, которому принадлежит точка |
|||
z z 2i 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z1. Указать границы кольца сходимости.
Шабунин, Сидоров стр. 70 – 75 (примеры 1, 2 стр. 73 – 75), Половинкин стр. 78 – 85 (пример 1 стр. 83 – 84) Дробь правильная.
Находим корни уравнения z 0 . Получаем простой корень: z1 0 .
Находим корни уравнения z 2i 2 0 : |
z2,3 |
2i . Получаем кратные корни: z2 2i и z3 2i . |
|||||||||||||||
Точки z1 0 и z2,3 2i являются особыми точками функции |
f z (в них |
f z не регулярна). |
|||||||||||||||
Разлагаем |
f z на элементарные дроби: |
|
|
|
|
|
A z 2 4zi 4 B z 2 2zi Cz |
||||||||||
|
z 2 4 |
|
|
A B |
|
C |
|
|
A z 2i 2 Bz z 2i Cz |
|
|
||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
z z 2i 2 |
|
z |
z 2i |
|
z 2i 2 |
|
|
z z 2i 2 |
|
|
z z 2i 2 |
|||||
|
z 0 : 4A 4 |
A 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
z1 : 4iA 2iB C 0 |
|
|
|
2iB C 4i |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 : A B 1 |
|
|
|
|
B 0 |
|
|
|
|
|
|
C 4i |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z |
1 |
|
|
4i |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z |
z |
2i 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Для удобства дальнейших выкладок произведем замену z 1 3i w или z w 1 3i : |
|||||||||||||||||||||
|
f w |
|
|
1 |
|
|
|
|
4i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
w 1 3i |
w 1 i 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
f w : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 12 |
|
|
|
|
Кольца аналитичности |
|
|
|
|
w |
|
1 i |
|
2 , |
2 w 1 3i 12 32 10 ,
w10 .
При z 1 получаем w 3i , w 02 32 9 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Т.о., раскладывать дроби в ряд Лорана по степеням w будем в кольце |
2 |
w |
|
|
10 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тейлора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом |
|
1 i |
|
|
|
|
w |
|
|
|
1 3i |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
w n |
|
|
1 n wn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
w 1 |
3i |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3i n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3i |
1 |
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
1 3i |
n 0 |
|
|
1 |
3i |
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4i |
|
|
|
|
|
|
|
|
4i |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4i |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
n |
1 i |
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
w 1 i |
2 |
|
|
|
|
|
w |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 i |
w |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i |
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
0 |
|
|
w |
|
|
1 i |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
= |
1 |
|
4in 1 i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, используя разложения в ряд
|
4i |
|
n |
|
1 i n 1 |
|||
= |
w |
2 |
1 |
|
n |
|
|
= |
|
|
|||||||
|
|
n 1 |
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: |
в |
кольце, |
|
|
которму |
принадлежит |
точка |
z 1 |
2 |
z 1 3i |
|
10 |
|||||
f z |
1 z 1 3i |
|
+ |
1 |
|
4in 1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n |
n |
|
|
n 1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
1 3i n 1 |
|
n 1 |
z 1 3i n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложение в ряд Лорана |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2003/2004 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Разложить в ряд Лорана по степеням (z −1 −3i) функцию |
f (z)= |
|
|
|
z 2 |
− 4 |
|
в кольце, которому принадлежит точка |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z(z − 2i)2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z =1 . Указать границы кольца сходимости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Шабунин, Сидоров стр. 70 – 75 (примеры 1, 2 стр. 73 – 75), Половинкин стр. 78 – 85 (пример 1 стр. 83 – |
84) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
c Дробь правильная. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Находим корни уравнения z = 0 . Получаем простой корень: z1 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Находим корни уравнения (z − 2i)2 |
= 0 : |
|
|
z2,3 |
= 2i . Получаем кратные корни: |
z2 = 2i и z3 |
= 2i . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dТочки z1 = 0 и z2,3 |
|
|
|
= 2i |
являются особыми точками функции |
f (z) (в них |
|
f (z) не регулярна). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
eРазлагаем f (z) на элементарные дроби: |
A(z − 2i)2 + Bz(z − 2i)+ Cz |
|
|
A(z 2 − 4zi − 4)+ B(z 2 − 2zi)+Cz |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z 2 − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
z(z − 2i)2 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
z − 2i |
|
(z − 2i)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z(z − 2i)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z(z − 2i)2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z 0 : − 4A = −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ A =1 Ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z1 : −4iA −2iB +C = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
↓ |
|
|
|
|
|
|
Æ −2iB +C = 4i Ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
z 2 : A + B =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Æ B = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Æ C = 4i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
f (z)= |
1 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
4i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
z |
|
(z |
− 2i)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
f |
Для удобства дальнейших |
|
|
|
выкладок произведем замену z −1 −3i = w или z = w +1 +3i : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
f (w)= |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
4i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
w +1 + 3i |
(w +1 +i)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Кольца аналитичности |
|
|
|
|
f (w): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w < 1 +i = |
|
|
12 +12 = |
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 < w < 1 +3i = 12 +32 = 10 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w > |
|
|
|
10 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
gПри z =1 получаем |
|
w = −3i , |
w = |
|
|
|
02 |
|
+32 = |
|
|
9 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w будем в кольце |
|
|
2 < w < |
|
10 , используя разложения в ряд |
||||||||||||||||||||||||||||
Т.о., раскладывать дроби в ряд Лорана по степеням |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тейлора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
При этом |
|
1 +i |
|
< |
|
w |
|
< |
|
1 +3i |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w n |
|
|
|
(−1)n wn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
w +1 + |
3i |
1 + |
3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 +3i) |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 +3i n=0 |
|
|
|
|
1 +3i |
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 +3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + i n |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
+ i n−1 |
||||||||
|
|
|
|
|
4i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4i |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
− 4i |
∞ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
− 4i ∞ |
n |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
2 |
∑(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
2 |
∑(−1) |
|
n |
|
|
= |
||||||||||||||||||||
|
(w |
+1 + i) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
w |
|
1 +i |
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
w |
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
w |
1+i |
|
w |
|
n=1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∞ (−1)n+1 4in(1 +i)n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кольце, |
|
|
|
|
|
которму |
|
|
|
|
принадлежит |
|
|
|
точка |
|
|
|
|
z =1 |
|
( |
2 < z −1 −3i < |
10 ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f (z) |
|
|
|
∞ |
|
|
(−1)n (z −1 −3i)n |
|
∞ |
|
(−1)n+1 4in(1 + i)n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + |
3i) |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z −1 −3i) |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление интеграла по вещественной оси с помощью вычетов |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2003/2004 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ x cos(1 − 2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Применяя теорию вычетов вычислить интеграл |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Шабунин, Сидоров стр. 140 – 145 (примеры 6 стр. 144), Половинкин стр. 103 – 108 (пример 3 стр. 107 – 108) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ x cos(1 − 2x) |
|
|
|
|
∞ x cos(2x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
cЗамечая, что I = |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
2 |
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
xei(2 x−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
для решения задачи достаточно вычислить несобственный интеграл ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и воспользоваться формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
x cos(1 − 2x) |
|
|
|
|
∞ |
|
xei(2 x−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
I = |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
Re ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
||||||||||||
|
x |
2 |
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
dДля того чтобы применить теорему Коши1 о вычетах2, вводим функцию комплексной переменной |
f (z)= |
|
|
zei 2 z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(z 2 + 4)ei |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и строим контур, состоящий из отрезка |
вещественной |
оси |
[− R, R] |
и |
полуокружности CR |
= {z : |
|
z |
|
= R, Im z ≥ 0}, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выбрав R так, чтобы все особые точки zk |
(k =1,2,K, n) функции |
f (z), лежащие в верхней полуплоскости, оказались |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
внутри контура. Тогда по теореме Коши о вычетах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
f (z)dz = |
R |
|
xei 2 x |
|
|
dx + |
∫ |
f (z)dz = |
2πi |
n |
res f (z). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
(x |
2 |
+ 4)e |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑z=zk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Γ |
|
|
|
|
|
−R |
|
|
|
|
CR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
e Переходим к пределу при |
R → ∞. Так как в нашем случае |
Φ(z)= |
|
|
|
|
есть правильная рациональная дробь и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(z 2 |
+ 4)ei |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
α = 2 > 0 , то условия леммы Жордана3 выполнены и, следовательно, |
Rlim→∞ |
∫ f (z)dz = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Поскольку правая часть в (2) не зависит от R , имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
xei 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
res f (z), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
= 2πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
+ 4)e |
i |
|
|
|
|
|
|
∑z=zk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
−∞(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где zk |
|
- особые точки функции |
|
f (z)= |
|
|
|
|
zei 2 z |
|
|
, лежащие в верхней полуплоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(z 2 + 4)ei |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 Теорема (Коши о вычетах). Пусть дана область G C с кусочно-гладкой положительно ориентированной границей Γ.
Пусть функция |
f определена и регулярна на G всюду, за исключением конечного числа изолированных особых точек |
|||||||||||||||||||||||
a1 , a2 , K, an G (при этом имеется в виду, что, если ∞ G , то ∞ = an ) и пусть к тому же функция f непрерывно |
||||||||||||||||||||||||
продолжима на границу области G . Тогда справедлива формула ∫Γ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
f (z)dz = 2πi∑res f . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 ak |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
(a)→ C , ρ |
> 0 . Пусть γr ={z : |
|
= r}- |
||||||
2 Определение. Пусть изолированная особая точка a |
C |
функции f : B ρ |
z −a |
|||||||||||||||||||||
положительно ориентированная окружность, причем 0 < r < ρ . Тогда вычетом функции |
f в точке a называется число |
|||||||||||||||||||||||
res f = |
1 |
∫γ |
f (z)dz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
a |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= R0 > 0}. Пусть число |
||||
3 Лемма (Жордан). Пусть Φ(z) - непрерывная функция на замкнутом множестве {z |
|
|
Im z ≥ 0, |
|
z |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
α > 0 |
и CR ={z |
|
|
|
z |
|
= R, Im z ≥ 0}, R > R0 - семейство |
полуокружностей в |
верхней полуплоскости. Обозначим |
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ε(R)=max{Φ(z) |
|
|
|
|
z CR }при R > R0 . Если lim ε(R)= 0 ,то lim |
eiαzΦ(z)dz = 0 . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R→∞ |
R→∞ ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление интеграла по вещественной оси с помощью вычетов |
|
|
|||||||||||||||
f Находим особые точки функции f (z)= |
|
zei2 z |
|
zei2 z |
|
|
|||||||||||
|
|
|
= |
|
как нули (1-го порядка) ее знаменателя: |
||||||||||||
(z 2 + 4)ei |
(z − 2i)(z + 2i)ei |
||||||||||||||||
z = −2i . Таким образом, точки z = 2i |
и z = −2i - полюса4 1-го порядка (ПП – простые полюса). |
||||||||||||||||
g Вычисляем |
вычет в |
|
простом |
|
полюсе |
z = 2i по формуле res f (z)= lim |
(z − 2i)f (z). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=2i |
z→2i |
|
res f (z)= |
|
zei2 z |
|
|
|
= |
2ie−4 |
|
= |
e−4−i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
z=2i |
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z + 2i)e |
|
z=2i |
|
(2 2i)e |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
z = 2i и
Получаем
hВычисляем несобственный интеграл по формуле (3):
∞ |
xe2ix |
|
dx = 2πi res f (z) = 2πi |
e−4−i |
= πi |
e−i |
|
πi |
(cos(−1)+i sin(−1)) = |
||||
|
|
|
= |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫ |
2 |
+ 4)e |
i |
z=2i |
2 |
|
e |
4 |
|
e |
4 |
|
|
−∞(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
iИспользуя формулу (1), находим искомый интеграл:
|
|
∞ |
x cos(1 − 2x) |
|
∞ |
x cos(2x −1) |
∞ |
xei(2 x−1) |
|
πi |
(cos1 − |
|||||||||||||||
I |
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx = ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx = Re ∫ |
|
|
|
dx = Re |
|
|
||||
|
x |
2 |
+ 4 |
|
|
|
|
x |
2 |
+ 4 |
|
|
2 |
+ 4 |
e |
4 |
||||||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
−∞ x |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
∞ x cos(1 − 2x) |
|
|
|
π sin1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
2 |
+ 4 |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eπ4i (cos1 −i sin1).
i sin1) = π sin1 e4
o
4 Определение. Изолированная особая точка a C функции f : B ρ (a)→ C называется полюсом, если существует предел
lim f (z)= ∞.
z→a
Вычисление интеграла по вещественной оси с помощью вычетов |
1 |
|
||||||
2003/2004 |
33 |
|
|
|
|
|||
5h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
Применяя теорию вычетов вычислить интеграл |
−∫17 |
(x +1)4 |
|
x −1 dx . |
|
|
Шабунин, Сидоров стр. 151 – 158 (пример 11 стр. 151-152, пример 12 стр. 153-154, пример 13 стр. 154-156), Половинкинн стр. 108 – 115 (пример 3 стр. 111 – 114)
c Чтобы вычислить этот интеграл J с помощью теории вычетов, продолжая подынтегральную функцию в комплексную
|
|
z |
4 |
|
|
|
плоскость, мы вынуждены иметь дело с многозначной функцией |
|
|
|
1. |
Эта функция допускает выделение |
|
7 |
(z +1)4 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
регулярных ветвей в области G=C\[-1,0], что проверяется2. |
|
|
|
|
|
|
d Выберем теперь регулярную ветвь корня, которая в пределе на верхнем берегу |
I + |
разреза по отрезку [-1, 0] принимает |
||||
x4 |
|
|
|
|
|
|
значения арифметического корня 7 (x +1)4 ≥ 0 , x [−1,0], т.е. |
обозначим через |
g регулярную ветвь многозначной |
функции 7
z |
4 |
|
|
|
|
(z +1)4 |
в области C\[-1,0] такую, что ее предел из верхней полуплоскости в точках x (−1,0) равен |
|
|
||
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
g(x +i0)= 7 (x +1)4 > 0 . |
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
z 4 |
|
i |
(4 |
γ arg(z )−4 γ (z+1)) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
g(z)= 7 (z +1)4 |
e 7 |
|
|
3 - |
(2) |
регулярная ветвь, соответствующая вышеприведенному условию (1).
Отметим, что предельное значение функции g из нижней полуплоскости в точках x (−1,0), т.е. на нижнем берегу I − разреза по отрезку [1, 2], принимает по формуле (2) значение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 4 |
|
i |
(4 |
γ arg(z )−4 |
γ (z+1)) |
= g(x +i0)e |
i |
(4 0−4 2π ) 4 = g(x +i0)e |
− |
i8π |
|
|
|
g(x −i0) |
= 7 |
e |
7 |
7 |
7 |
|
(3) |
||||||||
|
|
(z +1)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В формуле (3) контур γ начинается в точке на верхнем берегу разреза и оканчивается в той же точке на нижнем берегу разреза.
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e Пусть ε |
0, |
|
. Рассмотрим в области G контур γε , имеющий вид «гантели», т.е. составленный из окружностей C1ε и |
|||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и Iε− разреза по отрезку [−1 +ε, −ε]. |
|||
C2ε радиуса ε |
и центрами в точках 1 и 2 соответственно, а также двух берегов Iε+ |
|||||||||||||||||||||||
Ориентируем полученный контур γε положительно по отношению к ограниченной им внешней части плоскости. |
||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим интеграл Jε = ∫ f |
(z)dz , где |
f (z)= |
g(z) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ ε |
|
|
|
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z 4 |
|
|
z 4 |
|
|
|
i |
(4ϕ01 +4 |
γ arg(z )−4ϕ02 −4 γ (z+1)+2πk ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 7 (z +1)4 = 7 (z +1)4 e 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z)≠ 0 , z G . Чтобы в области G существовали ветви |
|||||||||||||||
2 Теорема 2(§16П) Пусть функция f в области G регулярна, прчем |
|
|||||||||||||||||||||||
регулярной функции {n |
f (z)}, необходимо и достаточно, чтобы для любого замкнутого кусочно-гладкого контура γ° G |
|||||||||||||||||||||||
нашлось целое число k ° |
такое, что |
° |
arg f (z)= (2πn)k ° . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
γ |
|
|
|
|
γ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
(2 − x) |
|
|
(3ϕ01 −3ϕ02 −2πk ) |
|
(2 − x) |
|
(2 − x) |
|
i2πl |
|
|
−3ϕ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3ϕ01 |
02 − 2πk |
|
||||||||||||||||
3 g(x +i0)= 5 |
(x −1)3 |
e 5 |
|
|
|
|
|
= 5 |
(x −1)3 |
= 5 |
(x −1)3 |
e |
|
, т.е. |
|
|
|
= 2πl . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) i (4 (−2π )−4 0)
4 или g x +i0 e 7 .
Вычисление интеграла по вещественной оси с помощью вычетов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
По теореме о вычетах5, с одной стороны, и из формы контура γε |
с другой, получаем равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
+ ∫ |
|
|
+ ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Jε |
|
= 2πi res f (z)+ res f (z) 6 = ∫ |
+ |
|
|
|
f (z)dz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=1 |
|
|
|
|
|
|
z=∞ |
|
|
Iε− |
|
|
|
C1ε |
|
C2ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iε+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
fТочка z =1 ПП (П1) – простой полюс7 (полюс первого порядка), поэтому вычет8 в этой точке равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
res f (z)= lim(z −1)f (z) = g(1)9 = 7 |
|
14 |
|
|
e |
i |
(4 (−π )−4 0) |
|
|
1 |
e− |
i 4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
7 |
= |
7 |
7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Для вычисления вычета функции f(z)в точке z = ∞ ( |
- УОТ10) разложим11 эту функцию в ряд Лорана в кольце |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
R < |
|
z |
|
< ∞ (R >>1). Для этого воспользуемся разложением f(z) в точке вещественной осиR < X : |
f (X )= |
g(X ) |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
X −1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X 4 |
|
|
|
|
|
i |
(4 (−π )−4 0) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
− |
i4π |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
4 1 |
|
1 |
|
− |
i4π |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
4 |
e 7 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
4 |
e |
7 |
= |
|
|
|
|
1 |
+ |
|
+ o |
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
+ o |
|
e |
7 |
|
|
= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
X −1 |
|
|
(X +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
X X |
|
|
|
|
7 X |
X |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X 1 − |
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
− |
i4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
− |
i 4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ o |
|
|
|
|
e |
|
|
7 . |
|
По теореме |
единственности12 |
имеем: |
f (z)= |
|
|
+ o |
|
|
e |
7 . |
|
Откуда получаем, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
коэффициент c−1 |
|
|
|
|
|
1 |
равен c−1 = e− |
i 4π |
|
, следовательно res f (z)= −c−1 |
= −e− |
i 4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при |
7 |
|
7 |
13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 Теорема (Коши о вычетах). Пусть дана область G C с кусочно-гладкой положительно ориентированной границей Γ.
Пусть функция |
f определена и регулярна на G всюду, за исключением конечного числа изолированных особых точек |
||||||||||||||||||
a1 , a2 , K, an G (при этом имеется в виду, что, если ∞ G , то ∞ = an ) и пусть к тому же функция f непрерывно |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
продолжима на границу области G . Тогда справедлива формула ∫Γ f (z)dz = 2πi∑res f . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 ak |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 Особыми точками функции f являются: z = ∞, нули знаменателя: z = 0 , особые точки числителя: , особые точки |
|||||||||||||||||||
знаменателя: (в G!!!) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 Определение. Изолированная особая точка a |
|
|
|
функции |
f : B ρ (a)→ C называется полюсом, если существует предел |
||||||||||||||
C |
|||||||||||||||||||
lim f (z)= ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
> 0 . Пусть γr ={z : |
|
|
|
|
|
= r}- |
|
8 Определение. Пусть изолированная особая точка a |
|
функции f : B ρ (a)→ C , ρ |
|
z −a |
|
||||||||||||||
C |
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
положительно ориентированная окружность, причем 0 < r < ρ . Тогда вычетом функции |
f в точке a называется число |
||||||||||||||||||
res f = |
1 |
∫γ |
f (z)dz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9 Для вычисления g(0) берем контур γ с началом в точке, лежащей на верхнем берегу разреза Iε+ , и концом в точке z = 0 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 Определение. Изолированная особая точка a |
|
функции |
f : B ρ (a)→ C называется устранимой особой точкой, если |
||||||||||||||||
C |
|||||||||||||||||||
существует конечный предел lim f (z) C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
z→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
11 res f |
= c−1 , где c−1 - коэффициент разложения функции f |
в ряд Лорана с центром в конечной точке a при |
1 |
. |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
12 Теорема (единственности). Пусть функция f : G → C регулярна в области G C . Пусть существует последовательность различных точек {zn } G , сходящаяся к некоторой точке a G и такая, что f (zn )= 0 n N . Тогда f (z)≡ 0 на области G.
13 res f = −c−1 , где c−1 - коэффициент разложения функции f в ряд Лорана с центром в бесконечности.
∞
Вычисление интеграла по вещественной оси с помощью вычетов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2πi res f (z)+ res f (z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
− |
i 4π |
|
|
|
− |
i 4π |
|
|
|
2πi |
|
|
1 |
|
|
− |
i 4π |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Таким образом, J |
|
|
= 2πi |
|
|
e |
|
7 −e |
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
7 |
|
|
|
7 |
|
|
7 |
|
−1 e |
7 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
z=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
g Оценим интегралы по окружностям C−1ε = {z : |
|
z +1 |
|
|
= ε}и C0ε |
|
= {z : |
|
z |
|
= ε}: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫C1ε |
f (z)dz |
|
|
|
2π |
7 (−1 +ε) |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
≤ |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εdϕ ≤ |
A ε |
7 |
→0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 −ε −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
f (z)dz |
|
|
2π |
|
|
|
ε |
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
∫C2ε |
≤ |
|
∫ |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εdϕ ≤ B ε |
7 |
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ε +1) |
4 |
|
|
ε −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
h В силу формул (1) и (3) получаем выражения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ f (z)dz = |
|
0∫−ε |
|
7 |
|
|
x4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Iε+ |
|
|
|
|
|
|
−1+ε |
|
|
(x +1) |
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1+ε |
g(x −i0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1+ε |
g |
(x +i0) |
e− |
i8π |
|
dx = −e− |
i8π 0−ε |
g |
(x +i0) |
dx = −e− |
i8π |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ f (z)dz = ∫ |
|
dx = |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
∫ f (z)dz . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
7 |
|
|
7 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Iε− |
|
|
|
|
|
|
0−ε |
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0−ε |
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1+ε |
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
Iε+ |
|
|
|
||||||||||||||||||
iПереходя в формуле (4) к пределу при ε → 0 , получаем равенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2πi |
|
|
1 |
− |
|
|
|
− |
i 4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
i8π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7 |
|
|
|
1 e |
|
|
|
7 = |
1 −e |
|
|
|
7 J , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i4π |
|
|
|
|
− |
i4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
−e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
, J = |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
т.е. π |
|
|
|
|
−1 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Ответ: |
∫ |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
|
|
|
|
|
7 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
(x +1) |
4 |
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление интеграла по вещественной оси с помощью вычетов |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||
2003/2004 |
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Пусть g(z) - регулярная ветвь |
многозначной функции {1 − z 2 } |
в |
плоскости с |
разрезом по |
кривой |
|
|||||||||||
|
|
γ = {z : |
|
z |
|
=1, Im z ≥ 0} такая, что |
g(0)= −1 . Пусть f (z)= |
|
z |
|
. |
Найти res f |
и вычислить |
интеграл |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
(g |
(z)−3) |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
∫ f (z)dz . |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
z |
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шабунин, Сидоров стр. 81 – 119 (пример 9 стр. 110-111, пример 12 стр. 103-115), Половинкинн стр. 108 – 115 (пример 4 стр. 114 –
115)
cПрежде всего следует проверить, что в заданной области действительно существуют регулярные ветви функции { 1 − z 2 }1. Эта функция допускает выделение регулярных ветвей в области G=C\ γ , что легко проверяется2.
dВыберем теперь регулярную ветвь корня, которая удовлетворяет условию g(0)= −1 :
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(0) = 1 −02 |
|
|
(ϕ01 |
+ϕ02 |
+2πk ) |
|
|
(ϕ01 +ϕ02 |
+2πk ) |
|
|
eiπ +i2πl , т.е. |
ϕ |
01 |
+ϕ |
02 |
+ 2πk |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
e 2 |
|
|
|
|
|
|
= e 2 |
|
|
= -1 = |
|
|
|
= π + 2πl . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(z)= |
|
1 − z |
2 |
e |
iπ + |
i |
( γ arg(1+2iz )+ |
γ arg(1−2iz )) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
(1) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
регулярная |
|
условию g(0)= −1 . |
|
|
|
|||||||||||||||||
ветвь, соответствующая вышеприведенному |
|
|
|
e Для вычисления вычета функции f(z)в точке z = ∞ ( - УОТ3) разложим эту функцию в ряд Лорана в кольце R < z < ∞
(R >>1). Для этого воспользуемся разложением f(z) в точке вещественной осиR < X : f (X )= |
X |
= |
||||||||||||||||||||||
(g(X )−3)2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
X |
|
|
= |
|
|
|
X |
|
|
|
= |
|
|
|
X |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
iπ + |
i |
(0+π ) |
2 |
|
|
1 |
|
i3π |
2 |
|
|
1 |
(−i)− |
3 |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 − X 2 e |
2 |
|
−3 |
X 1 |
− |
e |
2 −3 |
X 2 |
1 − |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
3 |
|
1 2 |
|||||||||
X |
−i 1 |
− |
|
|
|
+ o |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
X −i − |
|
|
+ o |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 X |
|
X |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
X X |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
3i |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
− |
|
|
1 |
+ 2 |
|
|
+ o |
|
|
|
= − |
|
|
|
|
+ o |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
X |
|
|
|
|
|
X X |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= |
X (−i) |
2 |
|
|
3i |
|
1 2 |
|||
|
|
1 |
− |
|
+ o |
|
|
||
|
X |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
1 − z 2 = (1 + z)(1 − z) |
|
1 + z 1 − z = |
1 + z e |
i |
(ϕ01 + |
γ arg(1+2iz )+2πk1 ) 1 − z e |
i |
(ϕ02 + γ arg(1−2iz )+2πk2 ) |
|
||||
1 |
= |
2 |
2 |
= |
||||||||||
|
|
i |
(ϕ01 +ϕ02 + γ arg(1+2iz )+ |
γ |
arg(1−2iz )+2πk ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 − z 2 e 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
Теорема 2(§16П) Пусть функция f в области G регулярна, прчем f (z)≠ 0 , z G . Чтобы в области G существовали ветви |
|||||||||||||
регулярной функции {n |
f (z)}, необходимо и достаточно, чтобы для любого замкнутого кусочно-гладкого контура γ° G |
|||||||||||||
нашлось целое число k ° |
такое, что ° arg f (z)= (2πn)k ° . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
y |
|
|
γ |
|
|
γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
||
3 |
Определение. Изолированная особая точка a |
C |
функции |
f : B ρ (a)→ C называется устранимой особой точкой, если |
||||||||||
существует конечный предел lim f (z) C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
z |
→a |
|
|
|
|
|
|
|
|