КУРС ЛЕКЦИЙ ПО СОПРОМАТУ

1.5 Виды деформаций

Под действием внешних нагрузок происходит деформация тела, то есть изменение размеров или формы тела.

Простые виды деформаций:

Растяжение (сжатие)

Cдвиг (срез)

Кручение

Изгиб

Сочетание нескольких простых видов деформаций называется слож-

ным сопротивлением.

Различают деформации упругие – исчезающие после снятия нагрузки и остаточные (пластичные) – после снятия нагрузки не исчезающие.

11

2 МЕТОД СЕЧЕНИЙ. ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ

2.1 Классификация внутренних усилий

Внутренние усилия – это мера взаимодействия между частицами одного тела. Возникают внутренние усилия от действия внешних нагрузок.

Если внешние нагрузки стремятся вызвать деформацию тела, то внут-

ренние усилия, наоборот, стремятся сохранить первоначальные форму и размеры тела.

В деформируемом теле в пространственной системе имеет место наличие шести внутренних усилий (внутренних силовых факторов):

В плоской системе имеет место наличие трех внутренних силовых факторов: N, QY, MX.

Индексы в обозначениях внутренних усилий соответствуют следующей системе координат

12

2.2 Метод сечений

Метод сечений (метод РОЗУ) – основной метод сопротивления материалов, которым определяют внутренние силовых факторы.

Порядок расчета:

2.3 Эпюры продольных сил N в стержнях

Графики, показывающие изменение внутренних усилий по длине стержня, называются эпюрами.

Эпюры продольных сил – это зависимость N=f(z).

Продольная сила равна сумме всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения, и направленных вдоль оси стержня.

Правило знаков для уравнений N=

-если сила стремится растянуть стержень, она положительна;

-если сила стремится сжать стержень, она отрицательна.

Пример

Дано: F1=5 кН, F2=2 кН, q=4 кН/м.

Требуется: построить эпюры продольных сил N.

Порядок расчета:

1. Определяем опорные реакции, если в этом есть необходимость.

В данном примере, если отбрасывать левую часть стержня, опорные реакции в уравнениях не участвуют, и вычислять их не обязательно.

2. Разделяем стержень на силовые участки. Границами участков яв-

ляются точки приложения сосредоточенных сил и начало-конец распределенных нагрузок.

Данный стержень имеет три силовых участка.

14

3. На каждом силовом участке методом сечений определяем продольные силы.

1участок: 0 ≤ z1 ≤ 1 м N1=F1=5 кН

2участок: 0 ≤ z2 ≤ 2 м

N2=F1-q·z2

при z2=0 N2=5 кН

при z2=2 м N2==5-4·2=-3 кН

3 участок: 0 ≤ z3 ≤ 1 м N3=F1-q·2+F2=-1 кН

4. По вычисленным значениям строим эпюры.

Проверка эпюр N:

-в точках приложениях внешних сил F на эпюре N должны быть скачки на величину этих сил;

-если на силовом участке имеется равномерно распределенная нагрузка q, то эпюра N должна быть наклонной линией.

2.4 Эпюры крутящих моментов MK в валах

Вал – это стержень, работающий на кручение.

Крутящий момент равен сумме всех внешних моментов, расположенных по одну сторону от сечения, и действующих относительно продольной оси стержня.

Построение эпюр крутящих моментов МК аналогично построению эпюр продольных сил N.

Правило знаков для уравнений МК=

-если момент стремится вращаться против часовой стрелки, он положительный;

-если момент стремится вращаться по часовой стрелке, он отрицатель-

ный.

15

Пример

Дано: M1=3 кН·м, M2=1 кН·м, M3=1,5 кН·м.

Требуется: построить эпюры крутящих моментов МК.

Решение.

1.Опорные реакции не определяем, т.к. будем отбрасывать левую часть стержня.

2.Границами участков являются точки приложения сосредоточенных моментов. Данный стержень имеет три силовых участка.

3.На каждом силовом участке методом сечений определяем крутящие моменты:

1 участок:

MK1=-M3=-1,5 кН·м;

2 участок:

MK2=-M3-M2=-2,5 кН·м;

3 участок:

MK3=-M3-M2+M1=0,5 кН·м.

4. По вычисленным значениям строим эпюры.

Проверка эпюр MK:

- в точках приложениях внешних моментов М на эпюре MK должны быть скачки на величину этих моментов.

2.5Эпюры поперечных сил QY

иизгибающих моментов MX в балках

Балка – это прямолинейный стержень, работающий на изгиб.

Поперечная сила равна сумме всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения и направленных поперек оси стержня.

16

Изгибающий момент равен сумме всех внешних моментов, расположенных по одну сторону от сечения.

Правило знаков для уравнений QY =

-если внешняя сила стремится вращаться относительно сечения по часовой стрелке, она положительна;

-если внешняя сила стремится вращаться относительно сечения против часовой стрелки, она отрицательна.

Правило знаков для уравнений MX =

-если внешние нагрузки стремятся изогнуть балку сжатыми волокнами вверх, они положительны;

-если внешние нагрузки стремятся изогнуть балку сжатыми волокнами вниз, они отрицательны.

17

Пример

Дано: M=10 кН·м, F=10 кН, q=15 кН/м, l1= l3=1 м, l2=2 м.

Требуется: построить эпюры поперечных сил QY и изгибающих моментов MX.

Решение:

1. Определяем опорные реакции из уравнений статики

Откуда RA=-5 кН, RB=25 кН.

Т.к. реакция RA оказалась отрицательной, поменяем ее знак и направле-

ние и обозначим эту реакцию как R`A .

2.Выделяем на балке силовые участки. Границами участков являются точки приложения всех внешних усилий и начало-конец распределенных на-

грузок. В нашем примере три силовых участка.

3.На каждом силовом участке определяем внутренние усилия.

1 участок: 0 ≤ z1 ≤ l1

2 участок: 0 ≤ z2 ≤ l2

QY= F-R`1-Rq=F-R`1-q z2

MX=F(l1+z2)-R`1 z2-Rq z2/2=F(l1+z2)-R`1 z2- q z2 z2/2

MX=F(l1+ l2)- R`1 l2- q l2 l2/2=-10 кН·м

3 участок: 0 ≤ z3 ≤ l1

QY=0 MX=-M=-10 кН·м

18

Так как на втором участке эпюра QY пересекает нулевую линию, определим экстремальное значение изгибающего момента МХ.

Из уравнения QY=F-R`1-q z0=0 найдем z0=0,33 м На этой координате

4. По полученным значениям строим эпюры QY и MX :

Особенности эпюр QY и MX (проверка эпюр):

1.В точках приложения сосредоточенных сил F на эпюре QY должны быть скачки на величину этих сил, а на эпюре MX - перегибы, острием направленные навстречу силам.

2.В точках приложения сосредоточенных моментов М на эпюре MX должны быть скачки на величину этих моментов, на эпюре QY - особенностей нет.

3.Если на силовом участке имеется равномерно распределенная нагрузка q, то эпюра QY должна быть наклонной прямой, а эпюра MX - параболой с выпуклостью навстречу нагрузке q (по правилу «зонтика»).

4.Если на силовом участке отсутствует распределенная нагрузка q, то эпюра QY должна быть прямолинейной, а эпюра MX – наклонной прямой.

19

Частный случай: если QY=0, то MX должна быть прямолинейной.

5.Если эпюра QY пересекает нулевую линию, то на эпюре MX в этом место должен быть экстремум.

6.Если QY положительна, то эпюра MX должна возрастать (слева - направо), а если QY отрицательна, то эпюра MX должна убывать.

7.Эпюра QY является производной от эпюры MX.

2.6Эпюры продольных сил N, поперечных сил QY

иизгибающих моментов MX в рамах

Рама – это система нескольких жестко соединенных стержней. Правила знаков аналогичны принятым ранее.

Особенности построения эпюр:

Эпюры MX строим со стороны сжатых волокон; положительные эпюры N строим снаружи контура рамы, а отрицательные – внутри; эпюры QY строим в направлении действия внешних сил, если сечение ведем слева – направо, и наоборот.

Пример

Дано: M=10 кН·м, F=10 кН, q=5 кН/м, a=1 м.

Требуется: построить эпюры продольных сил N, поперечных сил QY и изгибающих моментов MX.

Решение:

1. Определяем опорные реакции.

20