КУРС ЛЕКЦИЙ ПО СОПРОМАТУ

9 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ

Статически неопределимыми называют такие системы, в которых число связей больше числа возможных уравнений статики.

Степень статической неопределимости n равна числу лишних связей и определяется по формуле

для плоской системы n=m+3k-s-3,

3 – число уравнений статики.

для пространственной системы цифру 3 заменяем на 6.

Под лишними подразумевают те связи, без которых система сохраняет равновесие.

Например, данная система два раза статически неопределима, т.е. имеет две лишние связи: n=5-3=2.

Ниже представлены варианты данной системы без лишних связей. Последний вариант недопустим, поскольку такая система не сможет находиться в равновесии.

71

Расчет статически неопределимых систем

производится методом сил, который заключается в следующем:

1. Заданную систему путем удаления всех активных нагрузок и лишних связей заменяем основной системой.

2. К основной системе вновь прикладываем все активные нагрузки, а лишние связи заменяем неизвестными усилиями Х1, Х2 … Xn, которыми могут быть как силы, так и моменты. Причем это могут быть как внешние усилия, так и внутренние силовые факторы.

Полученная система называется эквивалентной.

3. Чтобы деформация эквивалентной системы не отличалась от деформации заданной системы, перемещения в точках приложения и по направлению неизвестных усилий приравниваем к нулю:

1=0

2-0

……

n=0

Из уравнений перемещений (решаемых, например, способом Верещагина) находим значения неизвестных усилий Х1, Х2 …

Xn.

4. При необходимости, из уравнений статики находим значения оставшихся связей и выполняем дальнейшие расчеты, например,

строим эпюры внутренних силовых факторов, производим расчет на прочность и др.

72

Уравнения перемещений удобнее решать в канонической форме.

9.1 Канонические уравнения метода сил

Количество уравнений перемещений равно степени статической неопределимости системы.

Например, для дважды статически неопределимой системы составляем два уравнения перемещений:

1 02 0

Исходя из принципа независимости действия сил

1 11 12 1F 0

2 21 22 2F 0

Здесь 1-й индекс обозначает направление перемещения, а 2-й индекс – усилие от которого происходит перемещение.

Так 12 – это перемещение по направлению усилия Х1 от усилия Х2, 2F - это перемещение по направлению усилия Х2 от внешних нагрузок.

Перемещения от неизвестных усилий Хi можно представить в виде:

11=δ11·X1

12=δ12·X2

………….

1n= δ1n·Xn

где δ – это перемещения от единичных усилий X . Тогда уравнения перемещений принимают вид

11 X1 12 X2 1F 0

21 X1 22 X2 2F 0

Это и есть каноническая форма уравнений перемещений для дважды статически неопределимой системы.

В общем случае для n-раз статически неопределимой системы уравнения имеют вид

11 X1 12 X2 . . . 1n Xn 1F 0

Все коэффициенты, по физическому смыслу являющиеся перемещениями, можно определить способом Верещагина. Для этого нужно построить

грузовые эпюры MF и единичные эпюры M1, M2 ...Mn . Перемножением соответствующих эпюр находим коэффициенты.

Подставляя значения всех коэффициентов в канонические уравнения и решая их, находим значения неизвестных усилий Xi.

Пример

Вкачестве расчетной схемы возьмем раму, изображенную выше, при F=25 кН, а=2 м. Требуется подобрать сечение рамы в виде двутаврового профиля.

Система дважды статически-неопределима: n=m-3=5-3=2.

Вкачестве лишних связей примем опорные реакции RA и RB, построим основную и эквивалентную системы (см. рис. выше).

Канонические уравнения для дважды статически-неопределимой систе-

11 X1 12 X2 1F 0

мы имеют вид:

21 X1 22 X2 2F 0

Вычислим коэффициенты канонических уравнений способом Верещагина, для чего построим грузовые MF и единичные M1,M2 эпюры.

Опуская расчеты, получаем:

Подставив полученные значения в канонические уравнения, найдем

Х1=–5,455 кН, Х2=32,727 кН.

Построим суммарную эпюру изгибающих моментов для рамы, арифметически складывая эпюры:

74

M MF M1 X1 M2 X2 MF M1 M2

По условию прочности в опасной точке опасного сечения при

MXmax 56,37кН м подберем номер двутаврового профиля:

Данному условию удовлетворяет двутавровый профиль № 27 (WX=371

см3).

9.2 Особенности расчета статически-неопределимых рамных конструкций

Порядок расчета статически-неопределимых рам и балок одинаков, однако при расчетах рам имеются некоторые особенности.

Так, если рамы имеют замкнутые бесшарнирные контуры, то каждый такой контур (в плоской раме) трижды статическинеопределим, т.е. увеличивает степень статической неопределимости рамы на три единицы.

Например, данная рама 6 раз статическинеопределима.

75

9.3 Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости рам

Рама считается симметричной, если симметрична не только ее конфигурация, но и расположение жесткостей сечения (EIX).

Внешняя нагрузка является симметричной, если имеет зеркальное отображение, и косо-симметричной, если отличается от симметричной сменой знаков.

76

Произведем расчет трижды статически-неопределимой симметричной рамы.

Основную и эквивалентную системы образуем, не отбрасывая лишние связи (опорные реакции), а размыкая раму по оси симметрии. В этом случае неизвестными усилиями Х1, Х2, Х3 будет заменены соответственно продольная сила N, поперечная сила QY и изгибающий момент MX в сечении размыкания рамы.

Составим систему из 3-х канонических уравнений:

Данные уравнения выражают невозможность взаимного перемещения сечения, где разомкнута рама, по направлениям Х1, Х2 и Х3.

Построим грузовые и единичные эпюры и вычислим некоторые коэффициенты канонических уравнений.

77

При расчетах получим

1

12 21 EIX M1M2dz 0,

1

22 32 EIX M2M3dz 0,

1

2F EIX M2MFdz 0

78

Подставив эти значения в канонические уравнения, получим, что Х2=0, а система из 3-х уравнений станет системой из 2-х уравнений:

11 X1 13 X3 1F 0

31 X1 33 X3 3F 0

Выводы:

1.Произведение симметричной эпюры на косо-симметричную равно

нулю.

2.Если нагрузка в раме симметрична, то косо-симметричное усилие

Xi 0. Если нагрузка в раме косо-симметрична, то симметричное усилие

Xi 0.

Любую внешнюю нагрузку, приложенную к симметричной раме, можно представить как сумму симметричной и косо-симметричной.

9.4 Особенности расчета статически-неопределимых многопролетных балок

Пример статически-неопределимой многопролетной балки представлен на рисунке. Степень статической неопределимости этой балки равна n=m+3k- s-3=5+0-0-3=2. То есть, данная система имеет две лишние связи.

Как вариант, можно убрать две шарнирно-неподвижные опоры, однако есть более рациональное решение: промежуточные опоры врезать в балку. Каждый врезанный шарнир уменьшает степень статической неопределимости на единицу, и система становится статически определимой.

В таком случае эквивалентная система будет выглядеть так:

При решении такой системы формы грузовых и единичных эпюр должны быть значительно проще и, следовательно, производить перемножение эпюр будет также намного легче.

79

10 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Сложным сопротивлением называют комбинации двух и более простых напряженных состояний брусьев: растяжения (сжатия), сдвига, кручения, плоского изгиба.

В реальных конструкциях наиболее часто встречаются следующие комбинации простых напряженных состояний: косой изгиб (плоский изгиб + плоский изгиб), изгиб с растяжением (сжатием), изгиб с кручением.

10.1 Косой изгиб

Изгиб называют косым, если внешние нагрузки, вызывающие изгиб, действуют в плоскости, не совпадающей ни с одной из главных плоскостей сечения.

Пусть внешнее усилие - момент М действует в силовой плоскости под углом α к центральной оси Y, то есть имеет место косой изгиб.

Косой изгиб можно представить суммой двух плоских изгибов:

MX y MY x

где MX и MY – изгибающие моменты;

x, y – координаты точки, в которой вычисляем напряжение; IX, IY - осевые моменты инерции сечения.

В общем виде напряжения при косом изгибе находят по формуле

Выразим MX и MY через М и угол α: MX=M·cos α, My=M·sin α.