КУРС ЛЕКЦИЙ ПО СОПРОМАТУ

Правило знаков для y и Θ

Определить прогиб и угол поворота сечения В интегрированием дифф. уравнения изогнутой оси балки.

Решение:

1.Принимаем начало координат на левом конце балки, т.к. начало коор-

динат следует выбирать только в крайних сечениях балки.

2.Из уравнений статики определим значения опорных реакций

Найдем постоянные интегрирования C и D из граничных условий: При z=0 Θ =0, отсюда из уравнения (7.12) С=0.

При z=0 у=0, отсюда из уравнения (7.13) D=0. В сечении В координата z=l.

Подставив ее в уравнения (7.12) и (7.13), найдем искомые величины

Геометрический смысл постоянных интегрирования

С – это угол поворота сечения балки в начале координат; D – это прогиб сечения балки в начале координат.

Если балка имеет несколько силовых участков, то необходимо составлять уравнения МХ для каждого участка и расчет проводить по уравне-

нию y MX .

EIX

Некоторые зависимости эпюр QY, MX, Θ, y:

1.Эпюра МХ – производная от эпюры Θ.

2.На участке, где МХ=0 эпюра Θ - прямая, y – наклонная прямая линия.

3.На участке, где МХ=const эпюра Θ - наклонная прямая, y – парабола.

4.Если эпюра МХ>0 то эпюра y имеет вогнутость вверх, если МХ<0, то эпюра y имеет вогнутость вниз.

5.Если эпюра Q>0 то эпюра Θ имеет вогнутость вверх, если Q<0, то эпюра Θ имеет вогнутость вниз.

6.Если эпюра Θ пересекает нулевую линию, то на этой координате эпюра y имеет экстремум.

52

7.Если эпюра Θ >0, то эпюра yвозрастает (слева-направо), и на-

оборот, если эпюра Θ <0, то эпюра yубывает.

Если балка имеет несколько силовых участков, то расчет Θ и y затруднен вычислением большого количества постоянных интегрирования. В таком случае удобнее производить расчет по методу начальных параметров.

7.5.2 Метод начальных параметров

Рассмотрим балку с внешними нагрузками - моментом M, сосредоточенной силой F и равномерно распределенной нагрузкой q.

Запишем уравнение (7.11) в виде EIy MX (7.14) Согласно рисунку, на произвольной координате z

MX M z lM 0 F z lF 1 q z 2lq 2

где lM ,lF, lq - соответственно координаты момента М, силы F и начала

(!) нагрузки q.

Подставим в уравнение (7.14) значение МХ и, проинтегрировав полученное выражение, получим

53

Поскольку С=Θ0 - угол поворота, а D=y0 - прогиб сечения балки в начале координат, то в общем виде, учитывая, что внешних усилий может быть несколько, окончательно запишем

Получены уравнения метода начальных параметров для определения углов поворота (7.15) и прогибов (7.16) сечений балки при изгибе.

Примечание:

1. В уравнения подставляем только те внешние нагрузки (как активные, так и реактивные), которые расположены на участке от начала коорди-

нат до координаты z.

2.Начало координат выбираем только в крайних сечениях балки.

Если в крайних сечениях имеется опора, то предпочтительней начало координат выбирать на ней.

3.Если нагрузка q закан-

чивается до координаты z, то ее продлевают «дополнительной» нагрузкой, которую уравновешивают «компенсирующей» нагрузкой.

Пример

Дано: F, l, E, IX.

Определить методом начальных параметров прогиб и угол поворота сечения В – yB и ΘB.

Решение:

54

1.Начала координат выбираем в крайнем левом сечение балки.

2.Находим значения опорных реакций RA и MA, поскольку они войдут в уравнения метода начальных параметров, т.к. находятся на участке до координаты z. Из уравнений статики определим значения опорных реакций

RA F, MA F l .

3. Определяем начальные параметры. В данном случае на опоре y0 yA 0, 0 A 0.

4. Угол поворота и прогиб сечения В найдем соответственно из урав-

нений (10) и (11).

7.5.3 Теорема о взаимности работ (теорема Бетти)

Теоремы о взаимности работ и перемещений применяются в выводе интеграла Мора.

Рассмотрим два случая действия внешних сил на балку:

- в 1-м состоянии сила F1, приложенная в точке 1, вызывает в точке 1 перемещение 11, а в точке 2 перемещение 21;

- во 2-м состоянии сила F2, приложенная в точке 2, вызывает в точке 1 перемещение 12, а в точке 2 пере-

второй индекс – усилие, от которого происходит перемещение. Перемещения 11 и 22 называют главными, а 12 и 21 - побочными.

55

Теорема о взаимности работ: работа внешних сил 1-го состояния на перемещениях от сил 2-го состояния равна работе внешних сил 2-го состояния на перемещениях от сил 1-го состояния, т.е. F1· 12= F2·Δ21.

Доказательство:

а) Пусть на балку первона-

При этом сила F1 совершает дополнительную работу на перемещении точки 1: U12 F1 12 .

Полная работа равна: U1=U11+U22+U12.

б) Пусть на балку первоначально приложена сила F2, вызвавшая перемещение 22, а затем приложена сила F1, вызвавшая перемещения 11 и 21.

Работа силы F2 на перемещении точки 2 равна U22 F2 22 . 2

Работа силы F1 на перемещении точки 1 равна U11 F1 11 . 2

При этом сила F2 совершает дополнительную работу на перемещении точки 2: U21 F2 21 .

Полная работа равна: U2=U11+U22+U21.

Так как от порядка приложения сил результат не зависит, имеем U1=U2,

т.е. U11+U22+U12= U2=U11+U22+U21.

Следовательно, U12= U21 или F1· 12 = F2·Δ21.

7.5.4Теорема о взаимности перемещений

Пусть силы, приложенные к балке в обоих состояниях равны безразмерной единице: F1 1, F2 1.

56

Перемещения, вызванные единичными силами, обозначим через δ.

Тогда на основании теоремы о взаимности работ

F1 12 F2 21,

то есть 12 21 .

7.5.6Метод Мора

Метод Мора является наиболее общим методом определения любых перемещений любой линейно-деформируемой системы при любых видах нагрузок.

57

Пусть на произвольную плоскую стержневую систему (см. рисунок) действуют внешние активные нагрузки F, M, q, создающие внутренние уси-

лия MF, NF, QF.

Требуется определить перемещение произвольной точки по направлению i-i.

Для нахождения этого перемещения создадим вспомогательную систему. Отбросим все внешние активные нагрузки и приложим только единич-

ную силу F по направлению i-i, создающую внутренние усилия Mi, Ni,Qi .

Работа внешних усилий на перемещение на основании теорем о взаим-

где EIX, EA, GA – жесткости сечений соответственно при изгибе, растяжении (сжатии), сдвиге;

k – коэффициент, зависящий от формы сечения.

ds=dz для прямолинейных систем и ds=dφ·R для кривых стержней. Формулу (7.19) называют интегралом Мора.

Как правило, деформации сдвига и продольные деформации значительно меньше, чем деформации изгиба и кручения, и в расчетах перемещений при изгибе ими можно пренебречь.

58

Тогда для плоской системы формула (7.19) имеет вид

Порядок определения перемещений по методу Мора

1. Образуем вспомогательную систему, отбросив от заданной системы все активные нагрузки, а в точку определения перемещения прикладываем единичное усилие. Для определения линейного перемещения единичное

усилие – это сила F , для определения углового перемещения – это момент

M, равные безразмерной единице.

2.Составляем уравнения внутренних силовых факторов MF, NF, QF

для заданной системы и Mi, Ni,Qi для вспомогательной системы. Если си-

ловых участков несколько, уравнения составляем для каждого участка.

3. Подставляем составленные уравнения в интеграл Мора и вычисляем искомые перемещения.

Примечание: если результат положительный, значит, направление перемещения совпадает с направлением единичного усилия.

Пример Определить методом Мора прогиб и угол поворота сечения В.

Решение:

1. Для определения yB образуем 1-ю вспомогательную систему, где в точку В прикладываем единичную силу F .

Для определения B

образуем 2-ю вспомогательную систему, где в точку В прикладываем единичный момент M .

2. Составляем для

59

для 1-й вспомогательной системы уравнение M1 F z z ,

для 2-й вспомогательной системы уравнение M2 M 1. 3. Подставляем полученные уравнения в интеграл Мора:

7.5.7 Способ Верещагина

При определении перемещений в системах, имеющих много силовых участков, расчет методом Мора затруднен вычисление большого количества интегралов.

Для облегчения расчетов студент Верещагин А.Н. в 1926 году разработал графоаналитический способ вычисления интеграла Мора.

Пусть грузовая эпюра MF имеет форму параболы, а единичная эпюра Mi - наклонной прямой.

60