математика 1227
.pdfМІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Запорізький національний технічний університет
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до виконання контрольних робіт з вищої математики
для студентів РПФ заочної форми навчання
(ІІ семестр – контрольна робота №4)
2003
Методичні вказівки до виконання контрольних робіт з вищої математики для студентів РПФ заочної форми навчання (ІІ семестр – контрольна робота №4) / Укл.:Е.І. Карасенко., І.М. Килимник, Л.Г. Скуйбєда, Т.Г. Полякова, Л.І. Паталаха, Г.А.Шишканова –Запоріжжя:
ЗНТУ, 2003.-55 с.
Містить індивідуальні завдання, теоретичні відомості та приклади виконання завдань контрольної роботи з курсу “Вища математика” за темою “Диференціальні рівняння та теорія рядів” для студентів РПФ заочної форми навчання.
Укладачі |
Карасенко Е.І., ст..викладач |
|
Килимник І.М., к.т.н. доцент |
|
Скуйбєда Л.Г., ст. викладач |
|
Полякова Т.Г., асистент |
|
Паталаха Л.І., асистент |
|
Попригіна Т.Ф., асистент |
|
Шишканова Г.А., асистент |
Рецензент: |
Мастиновський Ю.В., к.т.н., доцент |
|
|
Експерт |
Кабак В.С., к.т.н., доцент . |
Відповідальний |
|
за випуск |
Мастиновський Ю.В., к.т.н., доцент |
|
З а т в е р д ж е н о |
|
На засіданні кафедри |
|
прикладної |
|
математики |
|
протокол N 3 від 28.12.02 |
3
ЗМIСТ
Контрольна робота №4 1 Стислі теоретичні відомості та приклади завдань....…….............…..4
1.1 Диференціальні рівняння..............…………....…………..................4
1.1.1 Диференціальні рівняння першого порядку............................... |
4 |
1.1.2Диференціальні рівняння другого порядку, що допускають
зниження порядку...................................................................................... |
9 |
1.1.3Лінійні однорідні диференціальні рівняння (ЛОДР) із сталими
коефіцієнтами........................................................................................... |
11 |
1.1.4Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння (ЛНДР) із
сталими коефіцієнтами............................................................................ |
12 |
1.1.5 Системи двох диференціальних рівнянь першого порядку....... |
15 |
1.2 Теорія рядів......................................................................................... |
17 |
1.2.1 Знакододатні ряди. Ознаки збіжності............................................ |
17 |
1.2.2Знакозмінні ряди. Ознака збіжності Лейбніца для
знакопочережних рядів............................................................................ |
21 |
1.2.3Абсолютна і умовна збіжність знакопочережних рядів.
Властивості абсолютно збіжних рядів................................................... |
22 |
1.2.4 Функціональний ряд і його область збіжності. Степеневий ряд.
Інтервал збіжності. Радіус збіжності степеневого ряду....................... |
24 |
1.2.5 Розвинення функцій в ряд. Наближені обчислення за допомогою
рядів........................................................................................................... |
28 |
1.2.6 Розвинення функцій в ряд Фур'є................................................... |
31 |
2 Індивідуальні завдання………….........................................................34
2.1 |
Розв’язати диференціальні рівняння першого порядку................. |
34 |
2.2 |
Розв’язати диференціальні рівняння вищих порядків................... |
39 |
2.3 |
Розв’язати систему диференціальних рівнянь................................ |
44 |
2.4 |
За допомогою ознак збіжності рядів дослідити збіжність рядів... |
46 |
2.5 |
Дослідити збіжність заданих рядів ................................................. |
51 |
2.6 Знайти інтервал збіжності та дослідити поведінку степеневого ряду
на кінцях інтервалу збіжності................................................................ |
51 |
2.7 Розвинути функції у ряд по степенях x, використовуючи готові
розвинення у ряд основних елементарних функцій............................. |
52 |
2.8 Розвинути в ряд Фур'є дані функції у вказаних інтервалах........... |
53 |
Література................................................................................................. |
55 |
. |
|
4
КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 4
1.Стислі теоретичні відомості та приклади завдань
1.1.Диференціальні рівняння
Порядком диференціального рівняння називається порядок найвищої похідної (чи диференціала) від невідомої функції, яка входить у диференціальне рівняння.
Загальним розв’язком диференціального рівняння n-го порядку F(x,y,y′,y′′,…,y n ) = 0 називається таке рівняння, в яке входить x, y і довільні сталі С1 ,С2 ,…,Сn і яке дає для y вираз, що задовольняє дане
диференціальне рівняння.
Кожна функція, яку дістаємо з загального розв’язку при окремих значеннях довільних сталих, називається частинним розв’язком.
1.1.1Диференціальні рівняння першого порядку
Розглянемо диференціальні рівняння першого порядку. Існують три форми запису диференціальних рівнянь першого порядку, а саме:
F(x,y,y′) =0 - загальна
y′ = f(x,y) - розв’язане відносно y′ P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 – диференціальна
а) Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.
Рівняння y′ = f(x,y) називається диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо функцію f(x,y) можна відобразити, як добуток функцій φ(x) · ψ(y).
Наприклад, (x 2 +1) (y2 −1)+xyy′ = 0
|
y′ = - |
(x 2 |
+1) (y2 |
−1) |
|
|
|
|
|
y′ = - |
|
(x 2 +1) |
|
y2 −1 |
||||||||||
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
У нашому випадку φ(x) = - |
x 2 |
+1 |
, а ψ(y) |
= |
|
y2 |
−1 |
. Запишемо y′ = |
||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
y |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
dy |
. Відокремимо змінні: |
dy |
= − |
x 2 +1 |
|
y2 −1 |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
dx |
dx |
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
|
|
ydy |
= − |
x 2 +1 |
dx. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
y2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Проінтегруємо це рівняння: ∫ |
ydy |
|
= −∫ |
x 2 +1 |
dx + lnC |
|||||||||||||
|
y2 −1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||
1 ln y2 −1 = − x 2 |
−ln x + lnC ln x |
y2 −1 = − x 2 + lnC |
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||
|
|
y2 −1 = |
c |
e |
-x 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = |
1+ |
c |
e |
−x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 - |
загальний розв’язок заданого диференціального |
|||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рівняння.
б) Однорідні диференціальні рівняння.
Диференціальне рівняння першого порядку y′ = f(x,y) називається однорідним, якщо функція f(x,y) однорідна “0” виміру
(степеня), тобто F(xt,yt)=f(x,y), де t-const
За допомогою підстановки y = u x, де u = u(x), однорідне диференціальне рівняння зводиться до диференціального рівняння з відокремлюваними змінними.
Наприклад, (2y |
2 |
− |
|
′ |
+ y |
2 |
= 0 . |
|
||||||
|
3xy)y |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
= |
3xy - 2y2 |
|
||
Запишемо це рівняння у вигляді: y |
|
|
y2 |
|
||||||||||
Маємо: f(x,y) = |
3xy - 2y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перевіримо функцію на однорідність. Знайдемо: |
|
|||||||||||||
f (xt, xy) = |
(3xt yt - yt)2 |
|
= |
t2 (3xy - 2y2 ) |
= 3xy - 2y2 |
= f (x, y) |
||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
(yt)2 |
|
|
|
|
|
t2 y2 |
|
|
|
y2 |
|
Маємо однорідне диференціальне рівняння. Зробимо заміну
′ |
′ |
y = ux, y |
= u x + u |
Тоді задане рівняння матиме вигляд:
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
′ |
|
3x ux - 2u2x2 |
|
′ |
|
|
3u - 2u2 |
||
u x + u = |
|
u2x2 |
u x + u = |
u2 |
|||||
′ |
3 - 2u |
|
|
′ |
|
3 - 2u - u 2 |
|||
u x = |
|
|
− u |
u x |
= |
|
|
|
|
u |
|
|
u |
Отримали диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними.
udu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
udu |
|
|
|
= − ∫ |
dx |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + lnC |
||||||||||||||||||||||||
u2 + 2u - 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 + 2u - 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
∫ |
|
|
2u + 2 - 2 |
|
|
|
du = -ln |
|
x |
|
|
+ ln C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
u2 + 2u - 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
2u + 2 |
|
|
|
|
du - |
1 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
2du |
= −ln |
|
x |
|
|
+ ln C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
u2 + 2u - 3 |
|
|
2 |
(u+1)2 − 4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 ln |
|
|
u2 + 2u - 3 |
|
− |
|
1 |
|
|
|
|
|
u +1- 2 |
|
= −ln |
|
|
|
+ ln C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ln |
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
u +1 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u2 + 2u - 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
u -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2ln |
|
|
−ln |
|
|
|
= −4ln |
|
x |
|
+ 4lnC |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u +3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(u 2 + 2u - 3)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln |
|
(u |
+3) |
|
= ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(u |
|
2 + 2u - 3)2 (u +3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
C |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = |
y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
+ |
2 |
− |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
(y2 + 2xy - 3x2 )2 y +3x |
= |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 y - x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(y2 + 2xy - 3x2 )2 (y +3x) = C(y - x) - |
|
|
|
загальний розв’язок |
диференціального рівняння.
7
в) Лінійні диференціальні рівняння.
Це диференціальні рівняння виду: y′+ p(x)y = q(x)
де p(x) і q(x) – задані неперервні в деякому проміжку функції аргументу х. Рівняння лінійне відносно шуканої функції у і її похідної у΄.
Запишемо у вигляді добутку двох функцій u(x) та v(x):
у = u v
Тоді |
′ |
′ |
′ |
y |
= u v + uv |
Підставимо у та y′у задане рівняння і знайдемо розв’язок відносно функцій u(x) та v(x).
Наприклад, y′+ y cosx = 12 sin2x y = u v , y′ = u′v + uv′
u′v + uv′+ uv cosx = 12 sin2x
u′v + u(v′+ v cosx) = 12 sin2x
Знайдемо розв’язок цього рівняння. Підберемо функцію v так, щоб вираз у дужках дорівнював нулю. Матимемо:
v′+ v cosx = 0
u′v = 1 sin2x
2
З першого рівняння отримаємо |
|
|
|
|||||||
|
dv |
= −cosxdx |
|
∫ |
dv |
= − ∫cos xdx |
||||
|
|
|
|
|
v |
|||||
|
v |
|
|
|
||||||
ln |
|
v |
|
= −sinx |
|
v = e-sinx |
||||
|
|
Знайдене значення функції v підставимо у друге рівняння системи:
u′ e |
-sinx |
= |
1 |
|
u′ = |
1 |
sinx |
|
2 sin2x |
2 sin2xe |
|
8
u′ = 12 sin2x esinx dx = 12 ∫ 2sinx cosx esinx dx + C =
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= sin x, |
dV = e |
sinx |
|
|
|
||||||||||
= |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
d(sinx) |
=Тоді |
|||||||||||||
sinx esinx d(sinx) + C = |
|
|
|
|
|
|
|
|
sinx |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = e |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dU = dsinx, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= sin xesin x − ∫esinx dsinx + C = sinx esinx - esinx |
+ C |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y = uv = e-sinx [sin xesinx - esinx |
+ C] - |
|
загальний |
|
|
розв’язок |
заданого |
|||||||||||||||||||||||||||
диференціального рівняння. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Запишемо формулу знаходження функцій u(x) та v(x) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
v(x) = e-∫p(x )dx ; |
|
|
|
|
u(x) = ∫q(x)e∫p(x)dxdx + C |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Тоді |
|
|
|
|
|
y = e |
−∫p(x)dx |
|
|
|
|
|
∫p(x)dx |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫q(x)e |
|
|
|
+ C |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) Диференціальні рівняння Бернулі. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
+ p(x)y = q(x)y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
де n ≠ 0 - дійсне число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Це рівняння зводиться до лінійного підстановкою z = y-n +1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
′ |
= |
(- n +1)y |
-n |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||
z |
|
y . Поділимо рівняння на y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
-n |
|
′ |
+ p(x)y |
-n +1 |
= q(x) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
z′ |
|
|
+ p(x)z = q(x) - лінійне диференціальне рівняння (див. в)) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
- n +1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Наприклад, |
|
|
′ |
+ 2y = y |
3 |
|
|
÷ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
-3 |
′ |
|
2y |
-2 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Зробимо заміну: |
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
-3 |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = y |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = -2y |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Тоді рівняння матиме вигляд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
− |
z′ |
+ 2z =1, |
|
|
|
або |
|
|
|
′ |
|
|
|
= -2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
z - 4z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Позначимо p(x)=-4; q(x)=-2, та знайдемо функції u(v) та v(x), а
потім z=u(x)v(x)
9
|
v(x) = e−∫(−4)dx |
= e4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
u(x) = ∫(-2)e |
-∫4dx |
dx + C = |
-2∫e |
-4x |
dx + C |
= |
|
− |
1 |
-4x |
+ C |
= |
1 |
e |
-4x |
||||||||||||
|
|
|
-2 |
e |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
e |
-4x |
|
|
4x |
= |
1 |
+ Ce |
4x |
, |
|
|
y = |
1 |
|
|
|
|
|||
z = u(x) v(x) = |
2 |
|
+ C e |
|
2 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x = 1 |
1 |
|
- загальний розв’язок диференціального рівняння. |
||||||||||||||||||||||||
+ Ce4x |
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x0 ) = y0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
д) |
Якщо |
|
|
задана |
|
початкова |
|
умова |
|
+ C
для
диференціального рівняння першого порядку, то треба знайти частинний розв’язок, або розв’язати задачу Коші.
Наприклад, (x2 - yx)y′+ y2 + yx = 0 , якщо y(1)=1. Треба знайти загальний розв’язок. Він має вигляд
xy = ln(yx) + C
використовуючи початкові умови, знайдемо С:
1/1 = ln(1 1) +C C = 1.
Тоді частинний розв’язок буде мати вигляд: xy = ln(yx) +1
y= xln(yx) +1
1.1.2Диференціальні рівняння другого порядку, що допускають
зниження порядку
′ ′′ |
′′ |
′ |
F(x, y, y , y ) = 0 або |
y |
= f(x, y,y ). |
Розглянемо деякі з них.
а) Диференціальні рівняння виду F(x, y′, y′′) = 0 , функція у –
відсутня .
Знижуємо його порядок, роблячи заміну
′ |
= z(x), |
′′ |
′ |
y |
y |
= z (x) |
10
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x,z,z ) = 0 - диференціальне рівняння першого порядку. |
|
|||||||
Наприклад: |
′′ |
|
′ |
|
|
|
|
|
y tgx = y +1 |
′ |
|
|
|
||||
Зробимо заміну: |
′ |
= z(x), |
′′ |
|
|
|
||
y |
y |
= z (x) |
|
|
||||
′ |
|
|
|
рівняння |
першого |
порядку, |
лінійне. |
|
z tgx = z +1- диференціальне |
||||||||
Його розв’язком є вираз z = C1sinx -1 |
|
|
|
|||||
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
Підставимо z = y . Матимемо: |
|
|
|
|
||||
y′ = C1sinx -1 |
|
|
|
|
|
|||
y = ∫(C1sinx -1)dx + C2 |
= −C1cosx - x + C2 |
|
|
|||||
y = -C1cosx - x + C2 |
|
є |
загальним |
розв’язком |
заданого |
|||
диференціального рівняння другого порядку. |
|
|
||||||
б) Диференціальне рівняння |
виду |
′ |
′′ |
|
||||
F(y,y , y ) = 0 , змінна х – |
||||||||
відсутня. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Знижуємо порядок його, роблячи заміну |
|
|
||||||
′ |
|
′′ |
′ |
′ |
′ |
|
|
|
y = p(y), |
|
y |
= p (y)y = p (y) p(y) |
|
|
F(y,p,pp′) = 0 - диференціальне рівняння першого порядку.
Наприклад: |
′′ |
|
|
′2 |
= 0 |
|
|
|
yy |
+ y |
|
|
|
||||
|
|
|
′ |
= p(y), |
′′ |
′ |
′ |
|
Зробимо заміну y |
y |
= p (y) p(y) = p p |
||||||
′ |
+ p |
2 |
= 0 |
|
|
′ |
+ p) = 0 |
|
y pp |
|
|
p(yp |
|||||
1) p + 0, |
|
|
|
′ |
|
y = C ; |
||
|
|
y = 0 |
|
2) yp′+ p = 0 - диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Його розв’язком є вираз p = Cy1 .
Підставимо p = y′. Матимемо y′ = Cy1 ydy = C1dx
∫ ydy = C1 ∫dx + C2
y2 = C1x + C2 2