математика 1229
.pdfМІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Запорізький національний технічний університет
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до виконання контрольних робіт
та самостійної роботи студентів факультетів радіоприладобудівного та інформатики і обчислювальної техніки денної та заочної форм навчання за темою “ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ”
2003
2
Методичні вказівки до виконання контрольних робіт та самостійної роботи студентів факультетів радіоприладобудівного та інформатики і обчислювальної техніки денної та заочної форм навчання за темою “Інтегральне числення”/ Укл. : Левицька Т.І. – Запоріжжя: ЗНТУ, 2003. – 50с.
Укладач: Левицька Т.І., доцент, к. т. н.
Рецензент: Мастиновський Ю.В. , доцент, к. т. н.
Відповідальний за випуск : Левицька Т.І . , доцент, к .т .н .
Затверджено на засіданні кафедри
прикладної математики ЗНТУ Протокол № 3 від 28.12.2002 р.
Затверджено радою РПФ ЗНТУ
Протокол № 3 від 07.02.2003 р.
|
3 |
|
|
ЗМІСТ |
С. |
|
Контрольна робота № 3 |
|
|
Невизначений та визначений інтеграли |
|
1 |
Первісна. Невизначений інтеграл ………………………………… |
4 |
2 |
Техніка інтегрування ……………………………………………… |
6 |
3 |
Інтегрування деяких виразів, що містять квадратний тричлен |
10 |
4 |
Інтегрування раціональних функцій …………………………….. |
12 |
5 |
Інтегрування тригонометричних функцій ………………………. |
15 |
6 |
Деякі інтеграли від ірраціональних функцій ……………………. |
18 |
7 |
Обчислення визначеного інтеграла ……………………………… |
21 |
8 |
Невласні інтеграли ………………………………………………... |
22 |
9 |
Застосування визначеного інтеграла …………………………….. |
27 |
Індивідуальні завдання ……………………………………………… 35
Література …………………………………………………………… 50
4
Контрольна робота № 3
НЕВИЗНАЧЕНИЙ ТА ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛИ
1 ПЕРВІСНА. НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ
Функція F(x ) називається первісною функції |
f (x ) |
на деякому |
|||||||||||
проміжку, |
якщо |
вона |
диференційовна |
в |
кожній |
внутрішній |
точці |
||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
цього проміжку, причому F (x ) = f (x ) . |
|
|
|
|
|
||||||||
Теорема. Якщо F(x ) |
- |
первісна |
функції |
f (x ) на [a, b] , то |
|||||||||
всяка інша первісна функції |
f (x ) |
на цьому проміжку має вигляд |
|||||||||||
F(x ) +C |
, де C |
- стала величина . |
|
|
|
|
|
|
|||||
Сукупність |
усіх |
первісних |
функції |
f (x ) |
називається |
||||||||
невизначеним інтегралом функції |
f (x ) |
і позначається |
∫ f (x ) dx . |
||||||||||
Тобто |
за |
означенням |
і |
попередньою |
теоремою |
маємо |
|||||||
∫ f (x ) dx = F(x ) +C , |
де |
F(x ) |
– деяка первісна функції |
f (x ) , |
|||||||||
C – довільна стала. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Основні властивості: |
|
|
|
|
|||||
1. |
(∫ f (x ) dx )′ = f (x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
∫ dF(x ) = ∫ F ′(x ) dx = F(x ) +C |
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
∫ kf (x ) dx = k ∫ f (x ) dx , k R |
|
|
|
|
||||||||
4. |
∫ ( f1(x ) ± f2 (x ) ) dx = ∫ f1(x ) dx ±∫ f2 (x ) dx |
|
|
||||||||||
5. |
Якщо ∫ f (x ) dx = F(x ) +C |
і |
u =ϕ (x ) |
- довільна функція, |
що має неперервну похідну , то ∫ f (u) du =F(u) +C .
Таблиця основних інтегралів
Нехай функція u = u(x ) неперервна разом із своєю похідною. Тоді справедливі такі формули:
uα+1
1. ∫ uαdu = α +1 + c , α ≠ −1
5
2. |
∫ |
du |
= ln |
|
u |
|
+ c |
||
|
|
||||||||
u |
|||||||||
|
|
|
|
au |
|
||||
3. |
∫ audu = |
|
+ c |
||||||
|
ln a |
||||||||
|
|
|
|
|
|
4.∫ eudu = eu + c
5.∫ sin u du = −cos u + c
6.∫ cos u du = sin u + c
7.∫ shu du = chu + c
8.∫ chu du = shu + c
9.∫ tgu du = −ln cos u + c
10.∫ ctgu du = ln sin u + c
11.∫ cosdu2 u = tgu + c
12.∫ sindu2 u = −ctgu + c
13. |
∫ |
du |
= thu + c |
|
|
|
|
|
||||||||||
ch2u |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
∫ |
du |
= −cthu + c |
|
|
|
|
|||||||||||
sh2u |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
∫ |
du |
= ln |
|
tg |
u |
|
+ c |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
sin u |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∫ |
du |
|
|
|
|
|
|
u |
|
π |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
16. |
|
= ln |
tg |
|
+ |
|
|
|
+ c |
|||||||||
cos u |
|
4 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
17. |
∫ |
du |
|
= |
|
1 |
arctg |
u |
+ c |
|||||||||
u2 + a2 |
|
a |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
18. |
∫ |
|
du |
2 |
= arcsin |
u + c |
|
|
|
|
||||||
|
|
a |
2 |
− u |
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∫ |
du |
|
= |
1 |
|
u − a |
|
+ c |
|
|
|
||||
19. |
ln |
|
|
|
|
|||||||||||
u2 − a2 |
|
u + a |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
||||||||
20. |
∫ |
|
du |
|
= ln u + |
u2 ± a2 + c |
|
|
||||||||
u2 ± a2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
21. |
∫ |
u2 ± a2 du = u |
u2 ± a2 |
± a2 |
ln u + |
u2 ± a2 + c |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
22. |
∫ |
a2 − u2 du = u |
a2 − u2 |
+ a2 |
arcsin |
u |
+ c |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
a |
|
2 ТЕХНІКА ІНТЕГРУВАННЯ
2.1 Метод безпосереднього інтегрування
Це обчислення інтеграла за допомогою основних властивостей невизначеного інтеграла і таблиці інтегралів.
|
x − |
7 |
|
∫ 3x + |
x |
dx = ∫ 3x dx + ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x 2 |
= 3∫ x dx + ∫ x 2 dx − 7∫ dx |
= 3 |
||||
|
|
|
x |
|
2 |
= |
3 x 2 |
+ |
2 x x −7 ln x + c |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
x dx − ∫ 7 dxx =
1 +1
+ x 2 − 7 ln x + c =
21 +1
2.2 Метод підстановки
Базується на властивості 5 невизначеного інтеграла.
Нехай ∫ f (x ) dx = F(x ) +C та x =ϕ (t ) .
7
Тоді ∫ f ( ϕ (t ))ϕ′(t )dt = F(ϕ (t )) +C .
Розрізняють ,,введення функції під знак диференціала’’ та просто
підстановку. Розглянемо перший спосіб. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРИКЛАДИ |
|
|
sin6 x |
|
|
||||||
1) |
|
∫ sin5 x cos x dx = ∫ sin5 x d(sin x ) = |
+ c |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||
|
Тут використано формулу з таблиці інтегралів |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
∫ u5du = |
u6 |
+ c |
де слід потім покласти u = sin x . |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При |
введенні |
|
функції |
під |
|
знак |
диференціала |
необхідно |
|||||||||||||||
користуватися формулою |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
Тобто |
у даному |
|||||||||||
|
d(u(x )) = u (x ) dx . |
||||||||||||||||||||||
прикладі d(sin x ) = (sin x )′dx = cos x dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2) |
|
∫ |
(7 ln x + 4)3 |
dx = |
1 |
∫ (7 ln x + 4)3 |
7 |
dx = |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
7 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||
= |
1 |
∫ (7 ln x + 4)3 d(7 ln x + 4) = |
1 |
|
(7 ln x + 4)4 |
+ c = |
|
||||||||||||||||
7 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|||
|
(7 ln x + 4)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
|
|
|
|
|
+ c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далі розглянемо другий спосіб – заміну змінної (безпосередньо |
|||||||||||||||||||||||
підстановка). |
|
|
|
|
|
|
|
ПРИКЛАДИ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
|
∫ x |
1 + x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Зробимо підстановку |
1 + x |
= t |
. Звідки 1 + x = t2 , x = t2 −1 . |
||||||||||||||||||||
dx = d(t2 −1) = (t2 −1)′dt = 2t dt . |
|
|
|
|
|
|
Переходячи в інтегралі до нової змінної, будемо мати
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
∫ x 1 + x dx = ∫ (t2 −1)t 2t dt = 2∫ (t4 −t2 ) dt = |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
5 |
− t |
3 |
|
|
|
|
|
(1 + x ) |
5 |
(1 + x ) |
3 |
|
|
= 2 t |
|
|
|
+ c = |
t = |
1 + x |
= 2 |
− |
|
|
+ c |
||||
|
5 |
3 |
|
|
|
|
|
5 |
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зауваження. Функцію x = ϕ (t ) у підстановці слід вибирати таким
чином, щоб вираз під знаком інтеграла став зручнішим для інтегрування.
|
|
|
|
|
|
|
|
x = sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) |
|
|
∫ 1 − x 2 dx = dx = d(sin t ) = cos tdt |
|
= ∫ cos2 t dt = |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x 2 |
= 1 −sin2 t |
= cos t |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
∫ (1 + cos 2t ) dt = |
|
t + |
|
|
|
∫ cos 2t d(2t ) = |
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2t =2 sin t cos t = |
|
|
|
|
||||||||||||
= |
1 |
(t + 1 sin 2t ) + c = =2 sin t |
1 − sin2 t = |
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
=2x |
|
1 − x 2 , t = arcsin x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
|
1 arcsin x + 1 2x 1 − x 2 + c = 1 |
(arcsin x + x 1 − x 2 ) + c |
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
За |
|
допомогою |
підстановки |
обчислюють |
інтеграли виду |
|||||||||||||||||||||||
∫ R(ex )dx , де R - деяка раціональна функція. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Підстановка: ex |
= t , |
x = ln t , dx = |
dt |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) ∫ |
e2x dx |
= |
|
ex = t |
|
= ∫ |
t2 dt |
= ∫ |
|
t |
|
|
dt = ∫ (1 − |
1 |
|
)dt = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
ex +1 |
|
|
|
|
|
|
|
t +1 t |
|
t +1 |
|
|
t +1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= t − ln t +1 + c = ex − ln(ex +1)+ c
9
2.3 Інтегрування частинами
Нехай маємо дві диференційовні функції u(x ) та v(x ) . Тоді справджується формула ∫ u dv =uv − ∫ v du , яка має назву формули
інтегрування частинами. Щоб скористатись цією формулою необхідно деяку частину підінтегрального виразу позначити через функцію u , а
та що |
залишилася |
|
через |
d v |
. Далі |
знаходять |
|
′ |
||||||||
|
|
d u = ux dx та |
||||||||||||||
v = ∫ d v . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРИКЛАДИ |
|
|
|||||
|
∫ arctgx dx = |
|
u = arctgx |
dv = dx |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
1) |
|
du = |
|
|
1 |
dx v = ∫ dx = x |
|
|
= |
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
+ x 2 |
|
|
|
|
||||||
= arctgx x − ∫ |
|
|
xdx |
|
= x arctgx − 1 |
∫ |
d(1 + x 2 ) |
= |
||||||||
1 |
+ x 2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
1 + x 2 |
|
|
=x arctgx − 21 ln(1 + x 2 ) + c
Удеяких випадках для обчислення інтеграла формула інтегрування частинами застосовується кілька разів.
2) ∫ x 2e−x dx = |
|
u = x 2 |
dv = e−x dx |
|
= |
||
|
|
||||||
|
|
du = 2xdx |
v = ∫ e−x dx = −∫ e−x d(−x ) = −e−x |
|
|||
|
dv = e−x dx |
|
|
||||
= −x 2e−x + ∫ 2xe −x dx = |
u = x |
= |
|
||||
|
|
|
du = dx |
v = −e−x |
|
|
= −x 2e−x +2 (−xe −x + ∫ e−x dx ) = −x 2e−x −2xe −x −2e−x + c = = −e−x (x 2 +2x +2) + c
10
Деякі типи інтегралів, які зручно обчислювати методом інтегрування частинами:
І. ∫ P(x )aαx dx , ∫ P(x )eαx dx , ∫ P(x ) sin β xdx ,
∫ P(x ) cos β xdx , де P(x ) - многочлен степеня n ,
α ≠ 0 , β ≠ 0 – дійсні числа.
Покладають u = P(x ) . Інтегрують n разів частинами. II . ∫ P(x ) log a xdx , ∫ P(x ) ln xdx , ∫ P(x ) arcsin xdx ,
∫ P(x ) arccos xdx , ∫ P(x )arctgxdx , ∫ P(x )arcctgxdx .
Покладають dv = P(x )dx
III . ∫ eα x cos β xdx , ∫ eα x sin β xdx , α ≠ 0, β ≠ 0.
Ці інтеграли двічі інтегрують частинами, та отримують в правій частині заданий інтеграл. Далі знаходять його як розв’язок рівняння.
3 ІНТЕГРУВАННЯ ДЕЯКИХ ВИРАЗІВ, ЩО МІСТЯТЬ КВАДРАТНИЙ ТРИЧЛЕН
До цього класу інтегралів відносяться |
|
|||||||||
J1 |
= ∫ |
dx |
|
|
, J2 = ∫ |
|
Ax + B |
|
dx , |
|
ax 2 + bx + c |
ax 2 + bx + c |
|||||||||
J3 |
= ∫ |
dx |
|
|
, J4 = ∫ |
Ax + B |
dx , |
|||
ax 2 + bx |
+ c |
ax 2 + bx |
||||||||
|
|
|
|
+ c |
||||||
де A , B , a , b , c - деякі сталі. |
|
|
|
|||||||
Інтеграли J1 , J3 |
|
за допомогою виділення повного квадрата у |
квадратному тричлені зводять до табличного.