Ситникова, И. В. Мат.анализ. Практ

Уравнение касательной к кривой y = f (x) в точке M (x0 ; y0 ) имеет вид: y = y0 + y′(x0 )(x − x0 ) .

Экономический смысл производной

Пусть функция u = u(t) выражает количество произведенной продукции u

z′(t) и относительную скорость (темп) изменения производительности

= z′(t) . Tz (t) z(t)

Если х – национальный доход, С(х) – функция потребления, а S(x) – функция сбережения, то x = C(x) + S(x) . Дифференцируя, получим, что

C′(x) + S ′(x) =1,

где C′(x) - предельная склонность к потреблению, S ′(x) - предельная склонность к сбережению.

Эластичность функции определяется с помощью соотношения:

Ex ( y) = xy y′ или Ex ( y) = xTy .

Эластичность функции приближенно показывает, на сколько процентов изменится одна переменная в результате изменения другой переменной на 1%.

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя применяется для нахождения предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, т.е. для раскрытия

неопределенности вида 00 или ∞∞ .

Пусть функции f (x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки х0, исключая, быть может, саму точку х0, и пусть эти функции являются одновременно бесконечно малыми или бесконечно

31

большими. Тогда если существует предел отношения производных при х→х0, то он равен пределу отношения самих функций

Задания 6

6.1.Составить уравнение касательной к кривым в указанных точках:

1)у = 22хх+−13 , х0 = 0 ; 2) х3 + у2 + 4х −17 = 0, у0 =1.

6.2.Составить уравнение касательной к кривой у =5х− х2 :

касательная к этой кривой имеет угловой коэффициент к=4.

6.5. Объем производства зимней обуви, выпускаемой некоторой фабрикой,

может быть описан уравнением u = 13t3 − 72 t 2 + 6t + 2100, где t – календарный

месяц года. Вычислить производительность труда, скорость и темп ее изменения: 1) в начале года; 2) в конце года.

6.6. Функция потребления некоторой страны имеет вид

4

С(х) =13 + 0,25х + 0,37х5 , где х – совокупный национальный доход. Найти:

1)предельную склонность к потреблению; 2) предельную склонность к сбережению, если национальный доход составляет 32.

6.7.Зависимость между себестоимостью готовой продукции предприятия у (млн руб.) и объемом выпускаемых изделий х (тыс. шт.). Выражается

32

уравнением у = х + 4 − 2 . Найти эластичность себестоимости продукции

предприятия, выпускающего 12 тыс. шт. изделий. Какие рекомендации можно дать руководству предприятий об изменении величины объема выпускаемой продукции?

производства предельные и средние затраты совпадают? Найти коэффициенты

Домашнее задание № 6

1. Составить уравнения касательных к графику функции y = 2xx++11 ,

проходящих через точку M (−2; 3) : а) параллельных прямой y − x + 5 = 0 ;

б) перпендикулярных прямой y + x + 7 = 0.

2. Объем продукции, произведенной некоторой бригадой рабочих, может быть описан уравнением u = −56 t3 + 152 t 2 +100t + 50 , 1 ≤t ≤8, где t – рабочее время

33

в часах. Вычислить производительность труда, скорость и темп ее изменения через час после начала работы и за час до ее окончания.

3. Себестоимость продукции связана с объемом выпускаемой продукции х уравнением: у = ln(1 + 3x). Найти среднюю и предельную себестоимость,

выпускаемой продукции при объеме 10 ед.

7. Исследование функций и построение графиков

Исследование функции и построение ее графика целесообразно проводить пользуясь следующей схемой.

Общая схема исследования функции и построения графика

1)Найти область определения функции.

2)Исследовать функцию на четность и нечетность.

3)Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции.

4)Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

5)Найти асимптоты графика функции.

6)Найти дополнительные точки, принадлежащие графику функции (если это необходимо для уточнения построения графика).

Для выполнения пункта 3 исследования придерживаются схемы исследования функции y = f (x) на монотонность и экстремумы:

34

3) Определить знак производной на каждом из промежутков, на которые разбивается область определения найденными точками. Если f ′(x)> 0 на рассматриваемом интервале, то функция возрастает; если f ′(x)< 0 , то убывает.

4) Сравнить знаки производной слева и справа от каждой критической точки и, используя достаточное условие экстремума, сделать вывод о наличии экстремумов функции. Найти значения функции в точках экстремума.

Для выполнения пункта 4 исследования придерживаются схемы исследования функции y = f (x) на выпуклость:

1)Найти вторую производную функции f ′′(x) .

2)Найти значения х, при которых f ′′(x) равна нулю или не существует.

3)Определить знак производной на каждом из промежутков, на которые

рассматриваемом интервале, то график функции выпуклый вниз (вогнутый); если f ′′(x)< 0, то график – выпуклый вверх (выпуклый).

4) Указать точки перегиба.

Асимптоты графика функции могут быть вертикальные, горизонтальные и наклонные.

35

Домашнее задание № 7

8. Неопределенный интеграл

Функция F(x) называется первообразной для функции f (x) на промежутке

X , если в каждой точке x этого промежутка F ′(x)= f (x).

Множество всех первообразных для данной функции f (x) на промежутке

X называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается

∫ f (x)dx . Согласно определению,

∫ f (x)dx = F (x)+ C ,

где F (x) - любая первообразная функции f (x), C - произвольная постоянная.

36

Основные методы интегрирования неопределенного интеграла

1.Непосредственное интегрирование заключается в приведении данного интеграла к табличному путем преобразований подынтегральной функции и применения основных свойств неопределенного интеграла.

2.Метод замены переменной (или метод подстановки). Если функция

f (x) непрерывна, то, полагая x =ϕ(t ), где ϕ(t ) - функция, имеющая непрерывную производную, получаем:

∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t)) ϕ′(t)dt = ∫g(t)dt =G(t) + C =G(ψ(x)) +C .

Замечание: при интегрировании иногда целесообразнее подбирать замену переменной не в виде x =ϕ(t ), а в виде t =ψ(x).

3. Метод интегрирования по частям. Если функции u(x) и υ(x) имеют

функций, интегрируемых по частям, относятся, в частности, функции вида P(x)eax , P(x)sin ax , P(x)cosax , где за u принимается многочлен P(x), и

37

функции P(x)ln x , P(x)arctgx , P(x)arcsin x , где за u принимается соответственно ln x , arctgx , arcsin x .

3адания № 8

8.1 Найти неопределенные интегралы:

8.4. Найти интегралы от рациональных дробей:

38

8.5. Найти интегралы от тригонометрических функций:

8.6. Найти интегралы от иррациональных функций:

Домашнее задание № 8

39

i=1

интегральной суммой.

n

Если существует предел интегральных сумм ∑ f (ξi ) ∆xi при λ → 0 , не

i=1

зависящий от способа разбиения отрезка [a; b] и выбора точек ξi , то этот предел

называется определенным интегралом и обозначается ∫b f (x)dx , т.е.

a

Основные свойства определенного интеграла

1. ∫b kf (x)dx = k ∫b f (x)dx , где k =const.

2. ∫b (f (x)± g(x))dx = ∫b f (x)dx ± ∫b g(x)dx .