Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Вятская государственная сельскохозяйственная академия

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Ситникова, И. В. Мат.анализ. Практ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.03.2016

Размер:

809.3 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

где f (x), M (x), P(x) - функции переменной x , g(y), N (y), Q(y) - функции переменной y .

Для решения таких уравнений нужно разделить переменные, т.е. преобразовать уравнение к виду, в котором при dx стоит функция, зависящая только от x , а при dy - только от y , и проинтегрировать.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Функция f (x, y) называется однородной функцией степени n , если

f (λx, λy) = λn f (x, y) .

Дифференциальное уравнение P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0 , где P(x, y), Q(x, y) -

однородные функции одной степени, называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Уравнение можно привести к

виду y′ = f (x, y) ,	где f (x, y) - однородная функция нулевой степени. С
помощью замены	y = xu , где u = u(x) - новая неизвестная функция, уравнение

сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида y′ + p(x) y = f (x) , где p(x) и f (x) - непрерывные функции,

называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Одним из методов решения такого уравнения является метод подстановки.


Для		решения уравнения			применим подстановку		y =u(x)v(x) , причём
функциюu = u(x) будем				считать новой неизвестной функцией, а функцию
v = v(x) выбираем произвольно.
Эта		подстановка		даёт	уравнение	u'v + v'u + p(x)uυ = q(x) или
′	′	+ p(x)v) = q(x) .
u v + u(v		+ p(x)v) = q(x) .
Используя			произвольный		выбор функции	v , подчиним её условию
v′ + p(x)v = 0 .			Данное	уравнение является уравнением			с разделяющимися

переменными, решая его, находим функцию v(x) . Подставив найденную функцию в уравнение u′v = f (x) находим функцию u(x,C) . Возвращаясь к переменной , находим общее решение y = u(x, C)v(x) исходного уравнения.

Дифференциальные уравнения, допускающие понижения порядка

Если дано уравнение y(n) = f (x) , то, проинтегрировав его последовательно

n раз, найдем общее решение уравнения

	xn−1		xn−2
y =ϕn (x) +C1		+C2		+... +Cn .
	(n −1)!		(n −1)!

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение вида , где и — некоторые действительные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение λ2 + pλ + q = 0 называется характеристическим уравнением.

Вид решений исходного уравнения зависит от того, имеет ли соответствующее характеристическое уравнение (являющееся квадратным) два различных корня, один корень или не имеет действительных корней.

Пусть характеристическое уравнение имеет различные действительные корни причём , тогда общее решение исходного уравнения имеет вид

где – произвольные независимые постоянные.

Если характеристическое уравнение имеет один корень (кратности 2), то общее решение исходного уравнения имеет вид

где – произвольные независимые постоянные.

Если характеристическое уравнение не имеет действительных корней (корни характеристического уравнения комплексно-сопряжённые ), то общее решение исходного уравнения имеет вид

где – произвольные независимые постоянные.

Дифференциальное уравнение вида , где и —

некоторые действительные числа, а

, называется линейным

неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения

y = y(x) + y(x) ,

где – общее решение однородного дифференциального уравнения, y(x) –

частное решение неоднородного дифференциального уравнения. Общая схема решения:

1.Найти решив уравнение .

2.Найти y(x) в зависимости от вида правой части исходного

уравнения.

Для нахождения частного решения воспользуемся методом неопределенных коэффициентов, не содержащим процесса интегрирования. Рассмотрим некоторые виды правых частей.

1) Правая часть имеет вид

, где

– многочлен степени ,

тогда частное решение

имеет вид

= Qn (x)x r ,

где Qn (x)

– многочлен

y(x)

той же степени, что

, а

–

число корней характеристического уравнения,

равных нулю.

2) Правая часть имеет вид

f (x) = eαx Pn (x) , где

– многочлен степени ,

тогда частное решение

имеет вид

= Qn (x)xr eαx , где Qn (x)

– многочлен

y(x)

той же степени, что

, а

–

число корней характеристического уравнения,

равных .

3) Правая часть имеет вид

где

– известные

числа, тогда частное решение

имеет вид

= ( Acos β x + B sin β x)xr , где

y(x)

A и B – неизвестные коэффициенты, – число корней характеристического уравнения, равных ±.

Неизвестные коэффициенты в частном решении неоднородного уравнения находят методом неопределенных коэффициентов.

Задания 11

11.1. Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Найти частные решения, если указаны начальные условия:

1) (x +1)ydx + xdy = 0 ; 2) xyy′ =1− x2 ; 3)

y2 +1dx = xydy ; 4)

xy′+ y = y2 ;

5) (xy2 + x)dx +(y − x2 y)dy = 0 ; 6) yy′ =

1− 2x

y(0) =1; 7)

y′y(1 + e x ) = e x , y(0) =1;

8) y

′

+ xy = 0, y(−1)=1.

11.2. Решить однородные дифференциальные уравнения. Найти частное

решение, если указаны начальные условия: 1)

y − xy′ = x + yy′;

2) ydy + (x − 2 y)dx = 0 ; 3) y2 + x2 y′ = xyy′; 4)

x + y

y′ = −

; 5) xy′ = y − xe x ;

6)(y2 −3x2 )dy + 2xydx = 0 , y(1) = −2 .

11.3.Решить линейные дифференциальные уравнения. Найти частное решение, если указаны начальные условия:

1) y′ = xy + cosx x ; 2) (x2 +1)y′+ 4xy = 3 ; 3) xy′+ 2 y = 1x ; 4) (2x +1) y′ = 4x +1 + 2y

5)(1 − x)(y′+ y)= e−x , y(2) = 0; 6) xy′+ y = ln x +1.

11.4.Решить дифференциальные уравнения, допускающие понижение

порядка:

1) y′′′ = å2 x ; 2) xy′′ = 2x +3 ; 3) y′′′ = 3x2 , y(0) = 2, y′(0) =1.

11.5. Решить линейные однородные уравнения второго порядка: 1) у′′− 5 y′+ 4 у = 0 ; 2) у′′+8y′+ 25 у = 0 ; 3) у′′− 6 y′+ 9 у = 0;

4) у′′+ y′− 2 у = 0, у(0) = 0, у′(0) = −3

lim Sn

n→∞

		11.6. Решить линейные неоднородные уравнения второго порядка:
1)	у′′ − 6 y′ + 9 у = 6х2 ; 2) у′′− y′ = 4 + х; 3) у′′ + 4 y = 8x 3 ; 4) у′′ − 3у′ = х2 + 3х,
у(0) = 0, у′(0) = 70 27 ; 5) 2у′′+ y′− у = 2е−х ; 6) у′′+ 2y′+ у = е3х ; 7)				у′′− 2y′+ у = 4ех ;
8)	у′′+ y′ = xex ; 9) у′′−5y′+ 6 у =13sin 3x ; 10) у′′+ 4 у = 3sin 2x ;
11)		у′′+ 9 у =15sin 2x, у(0) = −7, у′(0) = 0 ; 12) у′′ + 4 у = 4 sin 3x + x
			Домашнее задание № 11
		Решить уравнения: 1) (1 + 2y)xdx + (1 + x2 )dy = 0 ; 2) y −1 = y′(x2		+ x) ;
3)		y′tgx − y =1, y(π 2) =1; 4) xy′−3y = x2 ; 5) y′+ x2 y = x2 ; 6) y′cos x − y sin x =sin 2x ,
y(π) = −1; 7) у′′ = хsin x ; 8)			у′′ − 2 y′ − 3у = х2 ; 9) у′′ − 3y′ = x3 + 2 ;
10)		у′′ + 2 y′ + 5 у = 3е2 х ; 11)	у′′ + 3y′ + 2 у = 2е−х ; 12) у′′ − 6 y′ + 9 y = 5e3 x ;
13)		у′′ + y′+ у = 3sin 2x − 4 cos 2x ; 14) у′′ + 9 у = cos 3x ;
15)		у′′ − 2 y′ = х2 −1, y(0) = 0, y′(0) = 9 4 ; 16) у′′ − 4 y′ = 4е4 х , y(0) =1, y′(0) = 0 ;
17)		у′′ + у = −sin x, у(π) = у′(π) =1.

12. Числовые ряды

Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел,

∞

соединенных знаком сложения: a1 + a2 +... + an +... = ∑an . Числа a1,a2 ,...an ...

n=1

называются членами ряда, член an - общим или n-м членом ряда, сумма n

первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда, т.е.

Sn = a1 +a2 +... +an .

Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел

lim Sn = S . Если предел не существует, ряд называется расходящимся.

n→∞

Необходимый признак сходимости числового ряда

	∞	сходится, то lim àn = 0 .
Если ряд ∑an		сходится, то lim àn = 0 .
	n=1	n→∞
	n=1
Следствие. (Достаточное условие расходимости ряда).
Если	limàn ≠ 0	или этот предел не существует, то ряд расходится.
	n→∞

Если же необходимый признак выполняется, то вопрос о сходимости ряда остаётся открытым. Требуется дополнительное исследование.

Признаки сравнения рядов

Рассмотрим признаки сравнения для знакоположительных рядов. Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто

устанавливается путём сравнения его с другим («табличным») рядом, о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы.

∞

Рассмотрим два знакоположительных ряда ∑an

n=1

∞

и ∑bn .

n=1

Теорема 1. Если для всех n выполняется неравенство 0 ≤ an ≤ bn , n N ,

∞	∞
то из сходимости ряда ∑bn	следует сходимость ряда∑an , из расходимости
n=1	n=1

∞

ряда ∑an

n=1

∞

следует расходимость ряда ∑bn .

n=1

Теорема 2. (Предельный признак сравнения). Если существует конечный,

	an		∞	∞
отличный от 0 предел lim	an	= A (0< A < ∞), то ряды	∑an и	∑bn сходятся или
отличный от 0 предел lim		= A (0< A < ∞), то ряды	∑an и	∑bn сходятся или
n→∞ b			=	=
	n		n 1	n 1

расходятся одновременно.

Удобно сравнивать ряды с рядами, сходимость или расходимость которых известны. Такие ряды назовем табличными.

Геометрический ряд:

∞ a qn −1 = a +a q +a q2 +...+a qn −1 +...

∑

n =1

Геометрический ряд сходится при q < 1 и расходится при q ≥ 1.

Обобщённый гармонический ряд:

∞

= 1

+ ... +

+ ...,

∑

2 p

4 p

n p

n =1 n p

где p >0 – действительное число.

Обобщенный гармонический ряд сходится при p >1, расходится при p ≤1.

Признак Даламбера

∞

Теорема 3. Пусть дан ряд

∑an

с положительными членами и существует

n=1

конечный или бесконечный предел

lim

an+1

= l . Тогда ряд сходится при l < 1 и

àn

n→∞

расходится при l > 1.

∞

Если l=1, то ряд ∑an может быть как сходящимся, так и расходящимся.

n=1

Требуется дальнейшее исследование (например, применение другого признака).

Интегральный признак Коши

∞

Пусть общий член an знакоположительного ряда ∑an может быть

n=1

представлен как функция его номера n: an+1 < an , n N .

an = f (n) и члены ряда убывают:

Теорема 4.		1) Если несобственный интеграл			+∞∫ f (x)dx	сходится,	то
					1
		∞	если +∞∫ f (x)dx
сходится и	ряд∑an ; 2)		если +∞∫ f (x)dx	расходится,	то расходится также		и
		n=1	1
			1
∞
ряд∑an .
n=1
Замечание.		Вместо	несобственного	интеграла	+∞∫ f (x)dx	можно брать
					1
интеграл +∞∫	f (x)dx , где k N, k >0.
k

a1 > a2 > a3 >... > an >...;

n=1

an > 0

∞

à1 −à2 + a3 ... +(−1)n+1 àn +... = ∑(−1)n+1 an , где

Знакочередующимся называется ряд вида:

для всех n N (т.е. ряд,

положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочерёдно).

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости.

Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд сходится, если:

1) последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е.

2) общий член ряда стремится к нулю lim àn = 0 .

n→∞

При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам: 0 < S < a1 .

Данное сооотношение позволяет получить простую и удобную оценку

ошибки, которая допускается при замене суммы S

данного ряда его частичной

суммой

Sn . Отброшенный ряд

(остаток)

rn представляет

собой

знакочередующийся

ряд (−1)n+1 (àn+1 −an+2 +...) ,

сумма которого по

модулю

меньше абсолютной величины первого члена этого ряда, т.е.

< an+1 . Поэтому

ошибка меньше абсолютной величины первого из отброшенных членов.

Ряд

с членами

произвольных

знаков

называется

знакопеременным.

∞

Знакопеременный ряд

∑an называется абсолютно сходящимся, если ряд∑

n=1

∞

составленный из модулей его членов, сходится. Знакопеременный ряд ∑an

n=1

называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

∞

Теорема 5. Пусть дан знакопеременный ряд à1 −à2 +... + àn +... = ∑an

n=1

∞

Если сходится ряд a1 + a2 +... + an +... = ∑an , составленный из модулей

n=1

членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.

Задания 12

12.1. Написать четыре первых члена рядов и проверить, выполняется ли

∞

n +1

∞

необходимый признак сходимости ряда: 1)

∑

; 2) ∑

; 3)

∑nsin

;

n=1 2n −1

n=1

2n −1

n=1

∞

4) ∑

n=1

−1

12.2. Исследовать сходимость рядов с помощью признаков сравнения:

∞

;

∞

;

∞

; 4)

∞

ln(n +1)

; 5)

∞

∑ sin

∑

n =1

n =1 n4

n =1 (n +1) 2n

n =1

n = 2 n2 ln n

12.3. Исследовать сходимость рядов по признаку Даламбера:

∞

1) ∑

3 n

; 2)

∑

; 3)

∑

; 4) ∑

nn ; 5)

∑

n=1

n =1 n!

n =1 3n

n=1

n=1 n!

12.4. Исследовать сходимость рядов с помощью интегрального признака

∞

n +

∞

Коши: 1) ∑

; 2) ∑

; 3) ∑

; 4) ∑

2n −1

n=1 1

n=2

n ln

n=1

12.5. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды:

∞

(−1)

ln n

∞

(−1)

n+1

∞

(−1)

1) ∑

(−1)

; 2) ∑

; 3) ∑

; 4)

∑

3n + 2

lg n

n=1

n=2

n=1

n=2

Домашнее задание 12

1. Исследовать сходимость рядов с помощью признаков сравнения:

∞

а) ∑

; б) ∑

; в) ∑

n+1

n=1

ln n

n=1

(n +1)

Исследовать сходимость рядов по признаку Даламбера:

∞

(n!)

а)

∑

; б)

∑

; в)

∑

(2n −1)!

(2n)!

n =1

n =1 2n (2n +1)

n =1

3. Исследовать сходимость рядов с помощью интегрального признака

∞

Коши: а)

∑

; 2) ∑

ln n

; 3) ∑

n=1

n=2 n

n=1

4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды:

а)

∞ (−1)n n2

; б)

∞ (−1)n −1

∑

n =1 2n2 +1

n =1 n 5n

13. Степенные ряды. Разложение функций в степенные ряды

Ряд вида	∞	a	xn = a	+a x +a x2 +		...+a xn +...	называется степенным
	∑
	n = 0	n	0	1	2	n
рядом.
Действительные числа a0 ,					a1, a2 , …, an , … называются коэффициентами
ряда, x R - действительная переменная.

Придавая х различные значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут быть сходящимися или расходящимися. Множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится, называют областью

сходимости ряда.

Число R – такое, что при

< R степенной ряд сходится, а при

> R

ряд

расходится, называют радиусом сходимости ряда. Интервал (-R; R) называют

интервалом сходимости степенного ряда. При

x = R , x = −R

ряд может как

сходиться, так и расходиться.

Радиус

сходимости

степенного

ряда

может

быть

найден

по

формулеR =

lim

→ ∞

n +1

an +1

Если lim

= 0, то можно убедиться, что степенной ряд абсолютно

→ ∞

сходится на всей числовой оси. В этом случае R = ∞. Если

lim

an +1

= ∞, то R

n → ∞

= 0.

Если функция

y = f (x)

имеет производные любого порядка в окрестности

точки x = 0,

то

для

функции

может

быть

получен ряд

Маклорена:

′

′′

∞

(n)

f (0)

f (x) = f (0) +

f (0)

(x) +

(0)

+... = ∑

(x)

n =

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>