Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Вятская государственная сельскохозяйственная академия

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Ситникова, И. В. Мат.анализ. Практ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.03.2016

Размер:

809.3 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Для того чтобы ряд Маклорена сходился к функции y = f (x) , необходимо и

достаточно, чтобы	limrn (x) = 0	, где rn (x) - остаток ряда, х принадлежит
	n→∞

интервалу сходимости ряда.

Приведем разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:

ex =

+...+

+...,

x (−∞;+∞),

sin x = x −

−... +

(−1)

x2n +1

+..., x (−∞;+∞),

(2n +

1)!

cos x =1−

−...+

(−1)

x2n

+...,

x (−∞;+∞),

(2n)!

α(α −1)

α(α −1)...(α −n +1)

+..., x (−1; 1)

(1+ x)

1! x +

+...+

+ x

+ x2 +...+ xn +...,

x (−1;1),

1− x

ln(1+ x) = x −

n xn +1

+..., x (−1;1],

−...+(−1)

n +1

arctg x = x −

−...+(−1)

n x2n +1

+..., x [−1;1],

2n +1

Задания 13

1. Определить область сходимости степенного ряда:

∞

2n xn

∞

2n xn

∞

n!xn

∞

2n −1xn −1

∑

; 2)

∑

; 3)

∑

; 4)

∑

; 5)

∑

n =1 2n n

n =13n +5n

n =1

n =1 3n

n =1(2n −1)2

3n −1

2. Разложить в ряд Маклорена данные функции:

1) f (x) = 1− x ; 2) f (x) = ln(1+ x2) ; 3) f (x) = x cos x ; 4) f (x) = e−x sin x .

3. Пользуясь соответствующими рядами, вычислить с точностью до

0,0001:

1) cos 0, 2 ; 2) 3 30 ; 3) ln1, 2 ; 4)	1	1 4	sin 4xdx ; 6)	1	−x2
1) cos 0, 2 ; 2) 3 30 ; 3) ln1, 2 ; 4)	∫ cos	xdx ; 5) ∫	sin 4xdx ; 6)	∫ e	4 dx .
	0	0	x	0
	0	0		0

Домашнее задание 13

1.Найти область сходимости степенного ряда:

∞

2n xn

∞

n xn

∞

n xn

∑

; 2)

∑

; 3)

∑

(n +1)

n =1 5

n =1 2

2. Разложить в ряд Маклорена данные функции:

f (x) = ln

1+ x

; 2)

f (x) = (1+ x)ex ; 3)

f (x) = xsin x .

1− x

3. Пользуясь соответствующими рядами, вычислить с точностью до

0,0001:

1) arcsin1; 2) 4 20 ; 3) ∫1 sin x2 dx ; 4) 0,∫6 31+ x2 dx .

0 0

Приложение А. Задания домашней контрольной 1

Провести полное исследование и построить графики функций.

y =

− 2x2 − 2x + 3

y = −2x3 + 2x2 +3x −5

y = 3x −

+ 2

y = x2 +

y =

−3x2 − 2x + 4

y =

+ x2 −4x +6

y = 2x +

y = −2x2 +

x − 2

y =

−

x2 −4x +5

y = x3 − x2 −3x +5

y = −3x +

y = −x

x +3

y = 2x3 −

−3x +6

y = x3 + x2 −5x −3

y = −4x

−

y =

x −1

y = −

x2 + 2x −8

y = 2x3 + x2 −5x + 2

y = −5x

y = 5x −

x +3

y = −

+3x2 +3x −5

y = −

+ x2 + 2x +3

y = −2x +

y = x2 −

x −3

y = −x3 +

+ 2x −4

y = −

+ x2 +3x −2

y = 2x +

y = 3x −

x −1

																																продолжение приложения А

	y = −2x3 + x2 +5x −3													y = −x3 + x2 + 4x +5
15	y = −3x2 +									6			16	y = 2x +									3
15										6													3
												x										x − 2
												x										x − 2

	y =		1		x3 + 2x2 −3x −5									y = −2x3 +													1			x2 + 4x −3
	y =	3			x3 + 2x2 −3x −5									y = −2x3 +																x2 + 4x −3
17		3											18										2
17									3				18	y =	4x			2		+			4
	y =	5x −							3					y =	4x					+					x
	y =	5x −						x + 2

	y =		2		x3 − x2 −3x + 4									y =		1	x3				− x2 −5x + 4
19	y =	3			x3 − x2 −3x + 4								20	y =	3		x3				− x2 −5x + 4
		3													3
									2														20
	y = −5x +								2					y = 5x2 +									20
	y = −5x +								x −1					y = 5x2 +											x
									x −1																x

	y = x3 + 2x2 −2x +5													y = −x3 + 2x2 +3x −4
21	y = 2x2 −								3				22	y = −x +									3
	y = 2x2 −								x					y = −x +								x −3
									x													x −3

	y = 2x3 − x2 −4x +3													y = x3 −							1				x2 −4x +5
23		3											24	y = x3 −							2				x2 −4x +5
																					2

	y = x −																						3
	y = x −						x +3							y = −2x						2			3
																						+
																						+						x

	y = −				1	x3			−2x2 + 4x −5					y = 2x3 +										1				x2 −3x −3
	y = −					x3			−2x2 + 4x −5					y = 2x3 +									2					x2 −3x −3
25		3											26										2
25											8		26										6
	y = −4x2 +										8			y = 2x +									6
																						x −1

												x

	y = −				2	x3			+ 2x2 + 4x +3					y = −			1		x3						− x2 +5x + 2
	y = −					x3			+ 2x2 + 4x +3					y = −					x3						− x2 +5x + 2
27		3											28		3
27									2				28											2
	y = 3x2 +								2					y = −4x +										2
	y = 3x2 +								x					y = −4x +											x −3
									x																x −3

	y =		2	x3 + x2 −5x +3										y = −			2		x3						+				3		x2 + 4x −5
	y =	3		x3 + x2 −5x +3										y = −					x3						+						x2 + 4x −5
29		3											30		3								2
29									3				30	y = −5x2								−				3
																										3

																											x
	y = 4x − x − 2																										x
	y = 4x − x − 2

Приложение Б. Задания домашней контрольной № 2

Б. 1. Найти частные производные первого порядка для функций:

В-1	В-2			В-3			В-4

z = cos(2x2 −3y)	z = ln(x3 y 2 )	z = sin	3	x	z =ex2 +y3
z = x3 y2 + x2 y3 −3xy −	z = 2y x + 3y 2 x	z = sin		y	z =	x2		x
− 4x + 2y		z = −3y3 x +5x3 y 2					+
− 4x + 2y		z = −3y3 x +5x3 y 2				y 2	+	y

В-5

В-6

В-7

В-8

z = xy + x

−3y

z =

z = 2xy + y

z =e y

z =tg(−2x +3y2 )

z =cos

(2x −3y)

z =ln(sin(x2

+ y2 ))

z = arcsin

В-9

В-10

В-11

В-12

z = xyex2 +y3

z = xy sin(

x + 3 y)

z = x2 e y2 −x

x2 y

z =

+ y

z =

x +3y3

z =

z = y2 + x

z = xyctg(

− 2x

x + y2

В-13

В-14

В-15

В-16

z = y x

z = y ln(x

+ y

)

z = cos

z =e

z = y2 xexy

ctg(4x

−

5y)

(2y

−4x)

z = 2x 2 3

y −3xy 3

z =sin

В-17

В-18

В-19

В-20

z =

x + y

z = x2 y3 +

y2 + 2x

z =e2 x3 −4 y3

z =sin(5y 2 +8x)

z = arcctg(7x

− y)

z = y

− x

z = 2x y − xy + 6xy +

z =sin(ln(x3 + y2 ))

+ x − 4y

В-21

В-22

В-23

В-24

z = y2 ln(yx3 )

z = y3ex2 −y

y2 x

z =arccos(y2 − x2 )

z =

z = x2 + y

z =cos(x2

z = xy tg(

+3y

продолжение приложения Б.1.

В-25

В-26

В-27

В-28

z = arccos(xy2 )

z = x2 ln(xy3 )

z =ln(x2 + 4y3 − 2)

z = 2x2 y + x3

z = −2x2 y + 3x3 y3

z = arctg(x2 − y2 )

z =

x2 + y

z = arccos

+ 2 x − 6y

y − x

В-29

В-30

z = xy cos( y + 3

z = 3x3 − 4xy

z =

− 2y3

z = arcsin

Б.2. Найти экстремумы функции:

В-1

В-2

В-3

z = 2x3 + 6xy2 −30x − 24y

z = x3 + xy2 + 6xy

z = xy2 − x2 y2 − xy3

В-4

В-5

В-6

z =1,5x2 + 2xy −0,5y2 −5x − y + 2

z = 6x2 y + 2y3

−24x −30y

z = xy2

− x2 y2 − xy3

В-7

В-8

В-9

z = x3 + 6xy +3y2 −18x −18y

z = 2x3 + xy2

− 216x

z =3x2

− x3 + 3y2 + 4y

В-10

В-11

В-12

z = x2 + y2 + xy −6x −9y

z = x

y −

+ 2x

+3y

z = 2y x − y2 −3x +8y

В-13

В-14

В-15

z = x3 −5xy +5y2 +7x −15y

z = x3 +8y3 −6xy +5

z = x2 + xy + y2 −3x −6y

В-16

В-17

В-18

z = −8x3 +6xy2 + y3 +9y2

z = 2x3 − xy2 +5x2 + y2

z = x3 −8y3 −6xy +1

продолжение приложения Б.2.

		В-19		В-20		В-21

z = −2x3 +3x		y +18x −1,5y	z = 2x2	+3xy + 2y3 +5x	z = x2 y − 2y2 − x2 −5y2

		В-22		В-23		В-24

z = 3x3	− 2y	x + 0,5y2 −56x	z = 2x3	−12x2 y +16y3 −9x2	z = x2	−4x y −2x +5y

		В-25		В-26		В-27

z = 3x3	+ 7xy −3,5y2 −60x + 2		z = 8x3	− y3 −12xy −1	z = x3	+ y3 −15xy

		В-28		В-29		В-30

z = x2 − xy + y2 +9x −6y + 20			z = xy2	− xy − xy3	z = xy − x2 y − xy2

Приложение В. Задания домашней контрольной № 3

В.1. Исследовать ряд на условную и абсолютную сходимость:

		В-1		В-2		В-3

∞	(−1)n+1		∞	(−1)n+1	∞	(−1)n+1
∑			∑		∑
	5n			n 5n		3n
n=1			n=1		n=1

		В-4		В-5		В-6

∞	(−1)n+1		∞	(−1)n+1	∞	(−1)n+1
∑			∑		∑
	n2 +1			n2 +1		ln 2 n
n=1			n=1		n=1

		В-7		В-8		В-9

∞	(−1)n+1		∞	(−1)n+1	∞	(−1)n+1
∑			∑		∑
				n 3 n		(n +1)2
n=1 ln(n +1)			n=1		n=1
		В-10		В-11		В-12

∞	(−1)n+1		∞	(−1)n+1	∞	(−1)n+1
∑			∑		∑
	2n −1			n2		n ln n
n=1			n=1		n=1

продолжение приложения В.1.

В-13

В-14

В-15

∞

(−1)n+1

∞

(−1)n+1 ln n

∞

(−1)n+1

∑

10n +1

n=1

n=1 n ln

n 1

В-16

В-17

В-18

∞

(−1)n+1

∞

(−1)n+1 2n

∞

−

n+1

∑

( 1)

4 n5

3n + 2

n=1

В-19

В-20

В-21

∞

n+1

∞

n+1

(−1)

n 1

(−1)

∑

n=1

n n

n=1

n + 2

n=1

(n +1)2

В-22

В-23

В-24

∞

(−1)

n+1

∞

n+1

∞

(−1)

n+1

∑

∑(−41)

∑

ln 2 n

10n +1

n=1

В-25

В-26

В-27

∞

(−1)n+1

∞ (−1)n+1

∑

n∑=1

∑=

ln(n +1)

2n −1

n=1

n 1

В-28

В-29

В-30

∞

(−1)n+1 2n

∞

(−1)n+1

∞

(−1)n+1

∑

3n + 2

n2 +1

n=1

n 1

В.2. Найти интервал сходимости

степенного ряда:

В-1

В-2

В-3

∞

∑

n=1

n=1 n2n

n 1 n

В-4

В-5

В-6

∞

10х

∞

n−1

∞

∑

−

n=1 3

n 1

n=1 n

n=1

продолжение приложения В.2.

В-7

В-8

В-9

∞

nх

n+1

∞

∑3n xn

∑ n +1

∑

(2n

−

1)2

n=1

n 1

В-10

В-11

В-12

∞

хn

∞

хn

∞

хn

∑

n∑=1 2n −1

n∑=1 2n n!

n=1 3n (n +1)

В-13

В-14

В-15

∞

∑10n xn

∑(n +1)x n

∑

n=1

В-16

В-17

В-18

∞

хn

∞

nхn

∞

хn

∑

4n − 3

2n 4n

n=1

В-19

В-20

В-21

∞

∑

∑3n nxn

∑

n=1 n2 4n

n=1

В-22

В-23

В-24

∞ 10хn

∞

хn

∞

хn

∑

n=1 3

n 1

n=1 n2

В-25

В-26

В-27

∞

n−1

∞

n∑=1

2n n!

3n−1

(2n −1)2n

В-28

В-29

В-30

∞

nх

n+1

∞

n−1

∑

∑3n x n

∑

3n−1

n=1

n +1

n=1

Библиографический список

1.Кремер Н.Ш., Тришин И.М., Путко Б.А. и др. Высшая математика для экономистов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера.– М.: ЮНИТИ-Дана, 2010. – 480 с.

2.Кремер Н.Ш., Тришин И.М., Путко Б.А. и др. Практикум по высшей математике для экономистов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера.– М.:

ЮНИТИ – ДАНА, 2010. – 480 с.

3.Ермаков В.И., Бобрик Г.И., Гринцевичус В.И. и др. Сборник задач по высшей математике для экономистов / Под ред. В.И. Ермакова. – М.:

ИНФРА – М, 2004. – 575 с.

4.Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. – М.: Высш. шк., 2005. - 304 с.

5.Левин М.Н., Рапопорт А.Н., Рапопорт Л.Д. Сборник задач по математике для экономистов. – Киров: Вят ГТУ, 1997.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>