- •Модуль 1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Тема 1. Функции одной переменной, свойства и графики
- •Тема 2. Предел функции
- •2.2. Вычислить пределы функций при .
- •Тема 3. Непрерывные функции
- •Тема 4. Производные и дифференциалы функции
- •4.2. Вычислить производные.
- •Тема 5. Исследование поведения функции с помощью производных
- •Модуль 2. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •Тема 1. Функции двух переменных
- •Тема 2. Экстремум функции двух переменных (безусловный и условный)
- •Тема 3. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области
- •Тема 4. Метод наименьших квадратов Нормальная система уравнений для определения параметров и эмпирической формулы :
- •Модуль 3. Неопределенный и определенный интегралы
- •Тема 1. Неопределенный интеграл, его свойства и вычисление
- •Тема 2. Интегрирование рациональных функций
- •Тема 4. Вычисление определенного интеграла
- •Тема 5. Вычисление площадей. Несобственные интегралы
Модуль 1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Тема 1. Функции одной переменной, свойства и графики
Функции одной переменной
1.1. Найти и построить область определения функций одной переменной.
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
1.2. Установить, является ли функция четной или нечетной.
а) ; б) ; в) ; г) ,
д) ; е) .
1.3. По заданным функциям и построить сложную функцию
1.4. Построить графики функций с помощью геометрических преобразований графиков основных элементарных функций (сдвиг, растяжение и сжатие по осям).
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13)
Тема 2. Предел функции
Вычисление предела
2.1. Вычислить пределы функций при .
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ; 7) .
2.2. Вычислить пределы функций при .
1); 2);
3) ; 4).
Первый замечательный предел
2.3. Используя первый замечательный предел, вычислить пределы.
ж); з) ; и) .
Второй замечательный предел
2.3. Используя второй замечательный предел, вычислить пределы.
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) .
Тема 3. Непрерывные функции
Точки разрыва функции
3.1. Найти точки разрыва функции
Непрерывность функции на отрезке
3.2. Исследовать на непрерывность функцию на отрезке:
Характер точек разрыва
3.3. Определить характер точек разрыва функции.
Тема 4. Производные и дифференциалы функции
Вычисление производных
4.1. Вычислить производные.
4.2. Вычислить производные.
Производные сложных функций
4.3. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найти производные функций.
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) .
Касательная к графику функции
4.4. Составить уравнения касательных к графикам функций:
1) y = x2 - 3x + 2 в точке (3;2).
2) y = в точке (4;2).
3) y = ln x в точке пересечения с осью Оx.
4) y = x2 - 5x + 6 в точках пересечения с осью Оx.
5) y = e7x в точке пересечения с осью Оy.
Производные высших порядков
4.5. Найти производные 2-го порядка от функций:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
5.6. Найти производные n-го порядка от функций:
1) y = ; 2) y = e2x; 3) y = 5x; 4) y = ln(1+x).
Вычисление пределов с помощью производных (правило Лопиталя)
4.7. Найти пределы с помощью правила Лопиталя:
1) ; 2) ; 3) ; 4);
5) ; 6) ; 7)
Понятие дифференциала
4.8. Найти дифференциалы функций:
1) y = x3 – 3ln x; 2) y = ; 3) y = sin 3x; 4) y = tg ln x.;
5) y = x2 arctg x; 6) y = ; 7) y = ; 8) y = .
4.9. Найти приближенно приращение у:
1) функции у = , если х = 4, х = 0,08;
2) функции у = sinx, если х = , х = 0,02.
Дифференциал второго порядка
4.10. Найти дифференциалы 2-го порядка от функций:
1) y = x3 – 3x2 + x + 1; 2) y = (0,1x+1)5;
3) y = xcos2x; 4) y = sin2x.
Вычисление пределов с помощью производных (правило Лопиталя)
4.10. Найти пределы с помощью правила Лопиталя:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7)