Вопрос 11
-
). Колебания, при к-рых смещение МТ меняется со временем только по закону косинуса (или синуса), называют гармоническими.
Такие
колебания описываются уравнением:
Рассматривается
пружинный
маятник,
а это уже —
тело массы m,
движущееся
горизонтально без трения за счет
упругости пружины (рис.).
Зная зависимость
и массу тела m,
нетрудно найти силу, которая обеспечивает
такое движение (в механике задачи такого
рода именуют как 1-ую задачу динамики):
;
;
,
здесь
- постоянная величина, зависящая от
характеристик колеблющейся системы.
Итак, гармонические колебания порождаются
силой
,
а это и есть упругая сила, подчиняющаяся
закону Гука. Теперь м-но написать
дифференциальное уравнение (ДУ),
описывающее
гармонич. колебания:
или
;
Т.о.,
гармонич. колебания происходят под
действием упругой силы
и описываются ДУ
(**).
Колебания
возникают при деформации растяжения –
сжатия некоторого тела, а именно –
пружины, и соответству Используя
соответствующие формулы для энергий,
несложно получить, во-1-ых,
выражение для мгновенного значения
кинетич.
энергии;
во-2-ых,
мгновенное
значение потенциальной
энергии,
наконец, в-3-их,
полная
энергия
пружинного маятника
(полная
механическая энергия колебаний не
испытывает
ющее
периодич. движение происходит вблизи
положения равновесия.
-
Физич. систему, колебания к-рой м-но приближенно рассматривать как гармонические, называют гармоническим осциллятором (ГО). ГО также идеальный образ удобная для расчётных оценок модель нек-рого колеблющегося тела).
-
Математически временнýю динамику (изменение во времени) такой системы описывают дифференциальным ур-нием
здесь
переменная, описывающая отклонение
нек-рой величины от её равновесного
положения
частота отклонения. Уравнение типа
(***)
(также
—
(**))
называют уравнением
гармонического осциллятора,
точнее —
линейного ГО (ЛГО)
Вопрос 12
-
Физическим маятником называют твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс тела (l – расстояние между точкой подвеса и центром масс).
Т.о.,
при малых колебаниях физический маятник
совершает гармонические колебания
с циклической частотой
и
периодом Т:
где величину
называют приведенной
длиной физического маятника.
Точка O'
на продолжении прямой OC
,
отстоящая от оси подвеса на расстоянии
приведенной длины L
,
называется центром
качаний
физич.
маятника.
-
Идеализированную систему, состоящую из материальной точки массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной l и колеблющейся под действием силы тяжести без трения, называют математическим маятником. . Реальной моделью математич. маятника может служить небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Математический маятник можно представить как частный (предельный) случай Следовательно, движение математич. маятника описывается ДУ гармонических колебаний, то есть происходит по закону
с частотой и периодом, соответственно:
Приведенную
длину физичeckoгo
маятника
м-но определить как длину
такого математического маятника,
к-рый имеет такой же период колебаний,
что и данный физический маятник.
физического маятника, вся масса которого сосредоточена в его центре масс.