- •Векторный способ задания движения точки. Траектория, скорость, ускорение точки.
- •Эквивалентность пар. Сложение пар. Условие равновесия системы пар сил.
- •1. Векторная система координат.
- •2. Эквивалентность пар. Сложение пар. Условия равновесия пар сил.
- •Координатный способ задания движения точки (прямоугольная декартова система координат). Траектория, скорость, ускорение точки.
- •Аксиомы статики.
- •1. Декартова система координат.
- •2. Аксиомы статики.
- •Естественный способ задания движения точки. Траектория, скорость, ускорение точки.
- •Алгебраический и векторный момент силы относительно точки.
- •1. Естественный способ.
- •2. Векторный и алгебраический момент пары сил.
- •Координатный способ задания движения точки (полярная система координат). Траектория, скорость, ускорение точки.
- •Пара сил. Теорема о сумме моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки.
- •1. Полярные координаты
- •2. Т. О приведении произвольной системы сил к силе и паре сил.
- •Определение скорости точки при задании ее движения в криволинейных координатах.
- •Момент силы относительно оси.
- •1. Скорость точки в криволинейных координатах.
- •2. Момент силы относительно оси.
- •Понятие о криволинейных координатах. Координатные линии и координатные оси.
- •Основные виды связей и их реакции.
- •1. Криволинейные координаты.
- •2. Виды связей и их реакции.
- •Число степеней свободы твердого тела в общем и частных случаях его движения.
- •Лемма о параллельном переносе силы.
- •1. Число степеней свободы твердого тела
- •2. Лемма о параллельном переносе силы.
- •Поступательное движение твердого тела. Число степеней свободы, уравнения движения. Скорости и ускорения точек тела.
- •Связь векторного момента силы относительно точки с моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку.
- •1. Поступательное движение.
- •2. Связь между моментом относительно оси и относительно точки.
- •Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Векторные и скалярные формулы для скоростей и ускорений точек тела.
- •Теорема о приведении произвольной системы сил к силе и паре – основная теорема статики.
- •1. Вращение вокруг неподв. Оси.
- •2. Основная теорема статики (теор. Пуансо):
- •Плоское движение твердого тела. Уравнения плоского движения. Разложение плоского движения на поступательное движение вместе с полюсом и вращательное вокруг оси, проходящей через полюс.
- •Инварианты системы сил. Частные случаи приведения системы сил к простейшему виду.
- •2. Инварианты системы сил. Частные случаи приведения.
- •Соотношение между ускорениями двух точек плоской фигуры при плоском движении твердого тела.
- •Равновесие тела с учетом трения скольжения. Законы Кулона.
- •1. Соотн. Между уск. 2-х точек при плоском движении.
- •2. Сила трения скольжения. Законы Кулона для Fтр.Ск.:
- •Мгновенный центр скоростей, способы нахождения мцс.
- •Равновесие тела с учетом трения качения. Коэффициент трения качения.
- •1. Мцс. Способы нахождения.
- •2. Трение качения. Коэффициент трения качения.
- •Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. Число степеней свободы, углы Эйлера.
- •Условия равновесия произвольной системы сил в векторной и аналитической формах. Частные случаи.
- •1. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. Углы Эйлера.
- •2. Условия равновесия для произвольной простр.Системы сил, а также следствия из этих уравнений.
- •Вторая форма условия равновесия для пороизвольной плоской системы сил:
- •Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мцс.
- •Теорема Вариньона о моменте равнодействующей силы. Пример применения: распределенные силы.
- •1. Опред. V 2-х точек с пом. Мцс.
- •2. Теорема Вариньона.
- •Мгновенный центр ускорений. Частные случаи.
- •Лемма о параллельном переносе силы.
- •1. Мцу. Способы нахождения.
- •2. Лемма о параллельном переносе силы.
- •Векторные и скалярные формулы для скоростей и ускорений точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки.
- •Аналитическое выражение для моментов силы относительно осей координат.
- •1. Скорости и ускорения точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки.
- •Свободное движение твердого тела. Скорости и ускорения его точек.
- •Связь векторного момента силы относительно точки с моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку.
- •Сложное движение точки. Основные понятия и определения. Примеры.
- •Центр системы параллельных сил. Формулы для радиуса-вектора и координат центра системы параллельных сил.
- •Сложное движение точки. Теорема о сложении скоростей. Примеры.
- •Центр тяжести тела. Методы нахождения центра тяжести.
- •1. Сложное движение точки. Основные понятия.
- •Сложное движение точки. Теорема о сложении ускорений – теорема Кориолиса. Ускорение Кориолиса.
- •Лемма о параллельном переносе силы.
- •1. Сложное движение точки. Основные понятия.
- •2. Лемма о параллельном переносе силы.
- •Сложное движение точки. Ускорение Кориолиса. Правило Жуковского. Примеры.
- •Эквивалентность пар. Сложение пар. Условие равновесия системы пар сил.
- •1. Сложное движение точки. Основные понятия.
- •2. Пара сил. ∑ моментов сил, составляющих пару.
- •Сложение вращений твердого тела вокруг пересекающихся осей.
- •Зависимость между главными моментами системы сил относительно двух центров приведения.
- •1. Сложение вращений твердого тела вокруг пересекающихся осей.
- •2. Зависимость между главными моментами сил относительно 2 центров приведения.
- •Определение ускорений точек плоской фигуры при известном положении мцу.
- •Система сходящихся сил. Условия равновесия.
- •1. Определение ускорения точек плоской фигуры с помощью мцу.
- •2. Система сходящихся сил. Условия равновесия.
- •Способы определения углового ускорения при плоском движении твердого тела.
- •Равновесие тела с учетом трения качения. Коэффициент трения качения.
- •1. Способы опред. Угл. Уск. При плоском движении.
- •2. Трение качения. Коэффициент трения качения.
- •Полная и локальная производные вектора. Формула Бура.
- •Центр тяжести тела. Методы определения положения центра тяжести.
- •1. Полная и локальная производная вектора. Формула Бура.
- •2. Центр тяжести тела. Методы нахождения центра тяжести.
- •Пара вращений.
- •Теорема о приведении произвольной системы сил к паре – основная теорема статики.
- •1. Пара вращений.
- •2. Т. О приведении произвольной системы сил к силе и паре сил.
- •Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей.
- •Инварианты системы сил. Частные случаи приведения системы сил к простейшему виду.
- •1. Сложение вращений твердого тела относительно параллельных осей.
- •2. Инварианты системы тел. Частные случаи приведения.
- •Теорема о проекциях скоростей двух точек твердого тела на прямую, проходящую через эти точки.
- •Главный вектор и главный момент системы сил, формулы для их вычисления.
- •1. Теорема о проекциях двух точек на линию, соединяющую эти точки.
- •2. Главный вектор, момент.
- •Векторные и скалярные формулы для скоростей и ускорений точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки.
- •Связь векторного момента силы относительно точки с моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку.
- •1. Скорости и ускорения точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки.
- •2. Связь между моментом относительно оси и относительно точки.
- •Соотношение между ускорениями двух точек плоской фигуры при плоском движении твердого тела.
- •Главный вектор и главный момент системы сил, формулы для их вычисления.
- •1. Соотн. Между уск. 2-х точек при плоском движении.
- •2. Главный вектор, момент.
2. Лемма о параллельном переносе силы.
Сила, приложенная к какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной к любой другой точке тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.
Доказательство: пусть дана сила F. Приложим к какой-либо точке В систему F’ и F”.
|F|=|F’|=|F”|. F~(F,F’,F”), т.к. (F’,F”) ~ 0, то
F ~ (F,F’,F”) ~ (F,F’,F”) ~ (F’,M(F,F”)).
Но M(F,F”)=BAxF=MB(F).
Получаем:
F ~ (F’,M(F,F”))
Ч. т. д.
Билет №16.
Векторные и скалярные формулы для скоростей и ускорений точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки.
Аналитическое выражение для моментов силы относительно осей координат.
1. Скорости и ускорения точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки.
VA=ω×rA. Пусть точка М лежит на мгновенной оси вращения.
i j k
VM=ω×rM= ωx ωy ωz
XM YM ZM
X/ωx=Y/ωy=Z/ωz – мгновенная ось вращения.
aA=dv/dt=dω/dt×rA+ω×drA/dt=ε×rA+ω×vA=aAвр+aAос.
aAвр= ε×rA – вращательное ускорение точки.
aAос= ω×vA – осестремительное ускорение точки.
Формула Ривальса: aAoc=ωvAsin(ω, vA). aвр направлен перпендикулярно плоскости (ε,r) в сторону, откуда переход от ε к r виден против часовой стрелки.
aвр направлен по перпендикуляру к плоскости (ω,v).
2. Аналитические выражения для моментов силы относительно осей координат.
i j k
MO(F)= xA yA zA =>
Fx Fy Fz
MOx(F)=yFz-zFy
MOy(F)=zFx-xFz
MOz(F)=xFy-yFx
Билет №17.
Свободное движение твердого тела. Скорости и ускорения его точек.
Связь векторного момента силы относительно точки с моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку.
1. Скорости и ускорения точек тела при его свободном движении.
Разложение общего вида движения на поступательное, связанное с точкой О и вращательное относительно О.
Поступательное:
X1o=f1(t); Y1o=f2(t); Z1o=f3(t).
Вращательное:
Ψ=f4(t); φ=f5(t); θ=f6(t).
Таким образом, число степеней свободы при свободном движении твердого тела равно 6.
ρA=ρо+rvA=dρ/dt+dr/dt=vo+ω×r.
aA=dvA/dt=dvo/dt+dω/dt×r+ω×dr/dt=ao+ε×r+ω²r= ao+aAвр+aAос.
2. Связь между моментом относительно оси и относительно точки.
Момент силы F относительно оси z равен проекции на эту ось вектора момента силы F относительно произвольной точки О на этой оси.
Доказательство:
Пусть О – произвольная точка на оси z. Момент силы F относительно точки О перпендикулярен плоскости ОАВ
MO(F)┴(OAB). Пусть угол между MO(F) и осью z равен α. Тогда ПрzMO(F)=2SΔO’A’B’= 2SΔOAB∙cosα => Mz(F) = |MO(F)|cosα.
Ч.т.д.
Билет №18.
Сложное движение точки. Основные понятия и определения. Примеры.
Центр системы параллельных сил. Формулы для радиуса-вектора и координат центра системы параллельных сил.
1. Сложное движение точки. Основные понятия.
Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную).
Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат.
Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи.
2. Центр системы параллельных сил. Формула для радиус-вектора и координат центра системы параллельных сил.
Дано : F1 || F2 .
R=F1+F2. MC(R)=MC(F1)+MC(F2)=0
F1∙CA1=F2∙CA2. Повернем F1 и F2 на угол α, при этом R повернется тоже на угол α. С – центр параллельных сил.
То же самое, если сил несколько и не по одной прямой. R=∑Fi, R||Fi (точка С принадлежит R) MO(R)=∑MO(Fi), rC×R=∑(ri×Fi).
Введем единичный вектор e Fk=Fk∙e R=∑Fk∙e.
rC×∑Fi∙e=∑ri×(Fi∙e). ∑FirC×e=∑Firi×e.
(∑FirC-∑Firi)×e=0
rC=∑Firi/∑Fi.
Координаты центра системы параллельных сил:
XC=∑Fixi/R; YC=∑Fiyi/R;
ZC=∑Fizi/r
Билет №19.