26. Розглянемо метод множників Лагранжа на прикладі такої задачі нелінійного програмування:

Z =f (х1, х2... хп) —> mах (min) за умов

q1(x1,x2,…xn)=bi,i=1, де функція f (х1, x2, ..., хп) i q1(x1, x2, …xn) диференційовані.

Ідея методу множників Лагранжа полягає в заміні даної задачі простішою: на знаходження екстремуму складнішої функції, але без обмежень. Ця функція називається функцією Лагранжа і подається у вигляді

де λi— не визначені поки що величини, так звані множники Лагранжа.

Знайшовши частинні похідні функції L за всіма змінними і прирівнявши їх до нуля:

запишемо систему

що є, як правило, нелінійною.

Розв'язавши цю систему, знайдемо X* =(х1, x2, ..., хп) i λ0= (λ1, λ 2, ..., λm) — стаціонарні точки. Оскільки їх визначено з необхідної умови екстремуму, то в них можливий максимум або мінімум.

27. Зада́ча дробо́во-ліні́йного програмува́ння — задача мінімізації (максимізації) дробово-лінійної функції

R(x)= (L_1 (x))/(L_2 (x))= (d_1+(c_1,x))/(d_2+(c_2,x))

при лінійних обмеженнях

Ax=b,x≥ 0

де A — матриця m×n, c1 i c2— n-мірні вектори, b— m-мірний вектор, d1 i d2 — дійсні числа, x≥0 означає додатність всіх компонент вектора x.

При розв'язку задачі мінімізації розглядаються дві допоміжні задачі лінійного програмування:

min {d1z0+(c1,z)} Az=bz_0;

d2z0+(c2, z)=1;

z0≥0; z≥0

min {-d1z0 – (c1, z)} d2z0+(c2, z) = -1

z0≥0; z≥0

Доведено, що для того, щоб задача дробово-лінійного програмування була допустимою, необхідно і достатньо, щоб принаймні у однієї із задач — у 1-й або у 2-й — існував допустимий план з z0≥0; при цьому, якщо допустимий план у задачі 1-й або 2-й існує, то у відповідної задачі існує і допустимий план з z0≥0.

Особливості:

цільова функція завжди є дробом, чисельник і значення якого є лінійним.

В системі обмежень знаходяться тільки лінійні обмеження, які мають вигляд рівнянь або ж нерівностей обох видів.

Шляхом певних математичних перетворень дані задачі можна звести до лінійного виду, а отже розв’язати симплексним метод