29.Задачі динамічногопрограмування. Поняття про принцип оптимальності Беллмана та йогозастосування до розвязуваня задач

Динамічнепрограмування - цесукупністьметодів, якістановлятьматематичнийапарат для вивченнябагатокрокових задач прийняттяоптимальнихрішень. Термін «багатокрокова задача» характеризуєпоетапнийпідхід до їїрозвязування.

Задача динамічногопрограмуванняформулюється так: визначититакедопустимеуправління Х, що переводить систему Sіз стану s0у стан s, при якомуцільовафункціяприймаєнайбільше (найменше) значення.

Моделідинамічногопрограмуваннямаютьсвоїособливості, а саме:

1. Задача оптимізаціїінтерпретується як n-кроковийпроцесуправління.

2. Цільовафункціядорівнюєсуміцільовихфункцій кожного кроку.

3. Вибіруправління на k-кроцізалежитьвід стану системи на цьомукроці, не впливає на попередні кроки.

4. Стан skпісляk-го крокууправліннязалежитьлишевідпопереднього стану sk-1 і управлінняXk.

5. На кожному кроціуправлінняXkзалежитьвідскінченного числа управлінськихзмінних , а стан sk – відскінченного числа параметрів.

Існуютьрізніспособирозв’язуванняподібних задач, якізастосовуютьсязалежновід виду функцій, обмежень, розмірностітощо.

Принцип оптимальностівпершебувсформульованийР.Беллманом у 1953 р. Суть йоготака: якимби не був стан Sсистеми в результатідеякоїкількостікроків, на найближчомукроці треба вибиратиуправління так, щобвоно в сукупності з оптимальнимуправлінням на всіхнаступнихкроках приводило до оптимуму на рештікроків, включаючиданий. Беллманом чіткобулисформульовані і умови, за яких принцип правильний. Основнавимога – процесуправлінняповинен бути без зворотногозв’язку, тобтоуправління на даномукроці не повинневпливати на результатипопередніхроків.

30.Загальна постановка задачі стохастичного програмування, її особливості щодо оперативного управління та перспективного планування. Стохастичним програмуванням (СТП) називають розділ математичного програмування, що вивчає теорію і методи розв'язкузадач умовного екстремуму при неповній інформації про параметри умови задачі. За формою множина задач прийняття рішень, як правило,зводиться до задач планування, а за змістом - до задач розподілуресурсів. В умовах реального життя параметри математичної моделі задач розподілу ресурсів виявляються випадковими. Тому напрактиці доводиться мати справу не із задачами ЛП, а із задачамистохастичного програмування (СТП).Складання математичної моделі починається із розгляду цільової функції Z=∑_(j=1)^n▒cjxj.Якщо величини Сj, що входять в цільову функцію, є випадковими, то задача СТП може бути сформульована у двох постановках: М- або P-постановка.При М-постановці цільова функція, що означає максимізацію (мінімізацію) математичного сподівання, записується у вигляді:Z=M[∑_(j=1)^n▒cjxj->max(min)або

Z= ∑_(j=1)^n▒〖M[cjxj]〗max(min).

При Р-постановці задача СТП формується дещо по-іншому.Спершу потрібно додатково задати гранично допустиме найгіршезначення цільової функції. При максимізації задається мінімальнодопустиме значення Zmin і вимагається виконання умови Z≥Zmin.При мінімізації задається максимально допустиме значення Zmax і

потрібно виконати умову Z≤ZMAX.

Суть Р-постановки полягає в тому, що необхідно знайти такізначення Xj, при яких максимізується ймовірність того, що цільова функція буде не гірше гранично допустимого значення.

Цільова функція в Р-постановці задачі СТП має вигляд:

а) при максимізації Z=P(∑_(j=1)^n▒〖cjxj≥Zmin〗)max;

б) при мінімізації Z = P(∑_(j=1)^n▒〖cjxj≥Zmax〗) min.

При максимізації, як і при мінімізації, цільової функції необхідно намагатись максимізувати ймовірність.

Розглянемо, як враховується фактор невизначеності для запису обмежень. У першому варіанті (М-постановка задачі СТП)випадкові величини (параметри обмежень) визначаються їх математичними сподіваннями, а обмеження записуються у вигляді:

де aij,bi, - математичні сподівання випадкових величин.

У другому варіанті (Р-постановка СТП) кожне і-е обмеження повинно бути записано наступним чином:

Цей запис означає, що ймовірність виконання кожного заданого обмеження повиннабути не менше заданої величиниgi.

Об'єднавши отримані цільову функцію і обмеження, записуємо задачу СТП у двох постановках.

У загальному вигляді подані задачі безпосередньо не розв'язуються. Можливим методом розв'язку цих задач є перехід до їхдетермінованих еквівалентів, в основі якого лежить використаннязакона розподілу випадкових величин.

13. Симплексний метод розв’язку лінійного програмування. Критерії оптимальності розв’язку задач ЛП.Симплексний метод є універсальним методом розв’язку задач ЛП, тобто будь-яку задачу ЛП можна розв’язати цим методом. Для того щоб застосувати цей метод необхідно щоб виконувалися наступні умови:

1. Матем. модель записана в канонічній формі;

2. Знайдено опорний розв’язок задачі;

3. Складено початкову симплексну таблицю.

Для того, щоб знайти опорний розв’язок, необхідно щоб виконувалися умови:

1.Вільні члени рівнянь повинні знаходитися з правої сторони і бути невід’ємними;

2.В системі повинен бути від’ємний базис.

Базисними називають змінні, які задовольняють наступні умови:

1.Перед базисними змінними обов’язково стоїть коефіцієнт (+1);

2.Базисна змінна знаходиться тільки в одному рівнянні;

3.Кількість базисних змінних рівна кількості рівнянь, тобто, кожне рівняння містить свою базисну змінну.Усі інші змінні в системі наз. вільними. Якщо вільним змінним надати значення 0 і обчислити чому рівні базисні, то знайдемо базисний розв’язок. Опорним наз. розв’язок, який не містить від’ємних чисел.Якщо задача на пошук максимуму, то знайдений опорний розв’язок буде оптимальним (тобто кінцевим розв’язком задачі), якщо серед оцінок змінних не буде від’ємних чисел. Оскільки від’ємні числа присутні то необхідно шукати інший опорний розв’язок, тобто продовжити розв’язувати задачу . Серед від’ємних оцінок вибираємо найбільшу по модулю, вона відповідає тій змінній, яку необхідно ввести в базис. Для того щоб визначити замість якої, старої, базисної змінної, необхідно ввести нову, знаходимо симплексні відношення терта (Q). Для цього числа стовпчика Х0 ділимо на відповідні числа вибраного стовпчика. Серед знайдених симплексних відношень знаходимо найменше, воно відповідає тій змінній замість якої напишемо нову базисну. На перетині вибраного стовпчика і вибраного рядка знаходиться число яке наз. ключовий елемент. Побудова нової таблиці. На місці ключового елемента в новій таблиці міститься 1, завжди. Усі інші числа цього стовпчика перетворюються в 0. Далі записуємо рядок, в якому міститься ключовий елемент. Для цього, числа вибраного рядки старої таблиці необхідно поділити на ключовий елемент.

Зауваження: При знаходження симплексних відношень ділити можна тільки на додатні числа, тобто ключовий елемент ніколи не може бути від’ємним.

Зауваження: Якщо не можна знайти жодного симплексного відношення, то це означає, що задача розв’язку немає оскільки цільова функція є необмеженою.

14. Штучний базис, запис цільової функції та розв’язок М-задачі ЛП.У симп. методі сис-ма обмежень задачі ЛП містить одиничну матрицю порядку М, але більшість задач не можна звести до потрібного вигляду. В тому випадку застосовується метод штучного базису. Задача подана в канонічному вигляді і сис-ма обмежень не містить одиничної матриці . Отримати одиничну матрицю можна, якщо до кожного рівняння в сис-мі обмежень додати одну змінну Хп+і. Такі змінні наз. штучними (не обов’язково кількість введених штучних змінних має дорівнювати m. Їх необхідно вводити лише в ті рівняння системи обмежень, які не розв’язані відносно базисних змінних). Допустимо, що сис-ма рівнянь не містить жодного одиничного вектора, тоді штучну змінну вводять кожне рівняння, тобто фактично додають. Задачу з одною сис-мою обмежень наз. розширеною або М-задачею. Розв’язок розширеної задачі збігатиметься з розв’язком початкової, лише за умови, що всі введені штучні змінні в оптимальному плані задачі будуть виведені з базису, тобто = 0. Тоді сис-ма обмежень не міститиме штучних змінних, а розв’язок розширеної задачі буде розв’язком вихідної задачі. Згідно з симплексним методом до базасу вводять змінні, які покращують значення цільової функції. Для задачі на максимум вони мають його збільшувати, тому щоб в результаті симплексних перетворень виключалися з базису штучні змінні потрібно ввести їх у цільову функцію з від’ємними коефіцієнтами. Припускається, що величина «М» є досить великим числом. Тоді якого б малого значення не набувала б відповідна штучна базисна змінна значення цільової функції F, буде від’ємним для задачі на максимум і додатнім для задачі на мінімум і водночас значним за модулем. М-дуже велике число. Тому процедура симплексного методу одразу вилучає відповідні змінні з базису і забезпечує знаходження плану в якому всі штучні змінні (Хп+і=0). Якщо в оптимальному плані розширеної задачі існує хоч одне значення Хп+і>0, то це означає, що початкова задача немає розв’язку, тобто сис-ма обмежень є несумісною. Для розв’язання розширеної задачі за допомогою симплексних таблиць зручно використовувати таблиці, оцінкові рядки яких, поділені на 2 частини, тобто на 2 рядки. Тоді в М+2, тобто в 2-му рядку записують коефіцієнти з М, а в М+1 рядку, коефіцієнти, які містять М. Вектор який підлягає включенню до базису визначають за другим рядком. Ітераційний процес по 2-му рядку проводять до повного виключення всіх штучних змінних базису, а потім процес визначення оптимального плану, продовжують за першим рядком. Взаємозв’язок між розв’язками початкової та розширеної задачі ЛП визначається за теоремою.Теорема: Якщо в оптимальному плані розширеної задачі штучні змінні = 0, то оптимальний план є оптимальним планом початкової задачі.Зауваження: Якщо в кінцевому розв’язку М-задач існує хоча б одна wi?яка не дорівнює 0, то це означає що задача розв’язку немає, оскільки сис-ма обмежень є несумісною. Зауваження: Якщо в процесі розв’язку задачі не можна знайти жодного симплексного відношення, то задача розвязку немає, оскільки цільова функція є необмеженою.

Зауваження: Якщо в останній симплексній таблиці існує змінна, яка не є базисною, але при цьому її оцінка = 0, то це означає, що дана задача має не один оптимальний розв’язок, а для того, щоб знайти інший, необхідно ввести в базис цю змінну.

15.Графічний метод для визначення оптимального плану задач лінійного програмування доцільно застосовувати лише для задач із двома змінними. За більшої кількості змінних необхідно застосовувати інший метод –симплексний.

Ідея цього методу полягає в здійсненні спрямованого перебору допустимих планів у такий спосіб, що на кожному кроці здійснюється перехід від одного опорного плану до наступного, який за значенням цільової функції був би хоча б не гіршим за попередній. Значення функціонала при переході змінюється в потрібному напрямку: збільшується (для задачі на максимум) чи зменшується (для задачі на мінімум).Якщо цільова функція однієї задачі необмежена, то задача не має розв’язку.У разі застосування симплекс-методу для розв’язування задач лінійного програмування можливі такі випадки.

1. Якщо в оцінковому рядку останньої симплексної таблиці оцінка відповідає вільній (небазисній) змінній, то це означає, що задача лінійного програмування має альтернативний оптимальний план. Отримати його можна, вибравши розв’язувальний елемент у зазначеному стовпчику таблиці та здійснивши один крок симплекс-методом.

2. Якщо при переході у симплекс-методі від одного опорного плану задачі до іншого в напрямному стовпчику немає додатних елементів , тобто неможливо вибрати змінну, яка має бути виведена з базису, то це означає, що цільова функція задачі лінійного програмування є необмеженою й оптимальних планів не існує.

3. Якщо для опорного плану задачі лінійного програмування всі оцінки задовольняють умову оптимальності, але при цьому хоча б одна штучна змінна є базисною і має додатне значення, то це означає, що система обмежень задачі несумісна й оптимальних планів такої задачі не існує.

При цих випадках застосовують метод штучного базису для розв’язку задачі,тобто коли, задача подана в канонічному вигляді і система обмежень не містить одиничної матриці. Отримати одиничну матрицю можна, якщо до кожного рівняння в системі обмежень задачі додати одну змінну . Такі змінні називають штучними.

16.До будь-якої задачі ЛП за певним правилом можна поставити у відповідність двоїсту задачу, тоді та задача до якої поставлена двоїста називається прямою задачею. Пряма і двоїста задачі називаються взаємоспряженими.

Їх особливість полягає в тому, що якщо пряма задача має розв’язок то його має і двоїста, причому їх розв’язки певним чином взаєморозв’язані. Крім того, якщо пряма задача має певний економічний зміст, то економічний зміст має і двоїста задача.

Правила побудови двоїстої:

1. Двоїста задача містить стільки нових змінних, скільки основних обмежень у прямій задачі.

2. Якщо пряма задача на тах, то двоїста на min і навпаки.

3. Коефіцієнти цільової функції прямої задачі стають вільними членами основних обмежень двоїстої задачі, а вільні члени обмежень прямої задачі стають коефіцієнтами в цільовій функції двоїстої задачі.

4. Коефіцієнти, що стоять при Хі у системі основних обме¬жень прямої задачі, стають коефіцієнтами в першому обмеженні двоїстої задачі. Аналогічно для х2, і так далі.

5. Якщо змінна прямої задачі може бути будь-якою, тобто і додатною, і від'ємною, то відповідне їй обмежений < рівнянням. І навпаки, якщо основне обмеження прямої задачі <• рівнянням, то відповідна змінна двоїстої задачі може набувши будь-яких зна¬чень.

6 Якщо задача на тах, то усі нерівності пошнші бути виду "<", якщо на min, то - ">".

17. Знаходження розвязків взаємоспряжених задач. Основні теореми двоїстості та їх економічний зміст.Пряма і двоїста задача називаються взаємоспряженими. Для знаходження розвязку таких задач необхідно скласти план випуску продукції, який дає максимальний прибуток, побудувати двоїсту задачу та знайти її розвязки, дати економічний аналіз розвязкам прямої та двоїстої задачі. Між основними та додатковими змінними прямої та двоїстої задачі існує взаємозв’язок, який можна представити у вигляді таблиці наступної таблиці: Основні додатковіХ1 х2 хjхxn+1 xn+2 xn+Ixn+m

Уm+1Уm+2 Уm+JУm+n

Додаткові Основні

В оптимальному розвязку двоїстої задачі змінні уі будуть рівні оцінкам відповідних їм хі взятих по модулю з останньої симплексної таблиці.Перша теорема двоїстості. Якщо одна з пари спряжених задач маєоптимальний план, то й друга задача також має розв’язок, причому для оптимальних розв’язків значення цільових функцій обох задач збігаються, тобто .Якщо цільова функція однієї із задач необмежена, то спряжена задача також не має розв’язку .Економічний зміст першої теореми двоїстості. Максимальний прибуток (Fmax) підприємство отримує за умови виробницт¬ва продукції згідно з оптимальним планом , однак таку саму суму грошей ( ) воно може мати, реалізувавши ресурси за оптимальними цінами . За умов використання інших планів на підставі основної нерівності теорії двоїстості можна стверджувати, що прибутки від реалізації продукції завжди менші, ніж витрати на її виробництво.Теорема (друга теорема двоїстості для симетричних задач). Для того, щоб плани X* та Y* відповідних спряжених задач були оптимальними, необхідно і достатньо, щоб виконувалися умови доповнюючої нежорсткості: Економічний зміст другої теореми двоїстостістосовно оптимального плану Х* прямої задачі. Якщо для виготовлення всієї продукції в обсязі, що визначається оптимальним планом Х*, витрати одного і-го ресурсу строго менші, ніж його загальний обсяг , то відповідна оцінка такого ресурсу буде дорівнювати нулю. Якщо ж витрати ресурсу дорівнюють його наявному обсягові,то його оцінка буде строго більшою від нуля. Економічне тлумачення другої теореми двоїстості щодо оптимального плану Y* двоїстої задачі: у разі, коли всі витрати на виробництво одиниці j-го виду продукції перевищують її ціну сj, і в оптимальному плані прямої задачі обсяг такої продукції дорівнює нулю. Якщо витрати = , то її необхідно виготовляти в обсязі, який визначає оптимальний план прямої задачі .Теорема (третя теорема двоїстості). Додатним (ненульовим) компонентам оптимального розвязку однієї із взаємно двоїстих задач відповідають нульові компоненти оптимального розвязку другої задачі, тобто для будь-яких і=1,2,..mі j=1,2,..n: якщо хj>0, то у m+j = 0; якщо хn+I>0, то уі =0 і аналогічно якщо уі >0, то хn+і =0; якщо у m+j>0, то x j = 0. Із попередньої і даної теореми випливає, що якщо розв’язати одну із взаємно двоїстих задач , тобто знайти її оптимальний розвязок і оптимум лінійної функції, то можна записати оптимальний розвязок і оптимум лінійної функції другої задачі.