- •При данном технологическом процессе 76 % всей продукции - 1-го сорта. Найти наивероятнейшее число первосортных изделий из 210 изделий и вероятность этого события.
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •По данным задачи 15 построить линейную модель регрессии у на х и найти точечную оценку: .
Контрольное задание
по «Теории вероятностей и математической статистике»
Вероятность того, что в страховую компанию (СК) в течение года обратится с иском о возмещении ущерба первый клиент, равна 0,16. Для второго клиента вероятность такого обращения равна 0,21. Для третьего клиента – 0,11. Найти вероятность того, что в течение года в СК обратится хотя бы один клиент, если обращения клиентов - события независимые.
Решение:
Воспользуемся теоремой умножения вероятностей для независимых событий. Пусть А - искомое событие, P(I), P(II), P(III) – вероятности обращения в СК первого, второго, третьего клиента соответственно, тогда
Ответ: Р(А) = 0,4094
В магазин поступают телевизоры с трех заводов: 31% с первого завода, 26% - со второго, остальные с третьего. При этом первый завод выпускает 21% телевизоров со скрытым дефектом, второй, соответственно, 11%, а третий - 16%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор в этом магазине? Если в телевизоре обнаружен дефект, то на каком заводе, скорее всего, изготовлен этот телевизор?
Решение:
Для нахождения первой вероятности воспользуемся формулой полной вероятности, т.е.
,
где А- событие, заключающееся в приобретении бракованного телевизора
- вероятность изготовления телевизора на i-ом заводе,
- вероятность изготовления неисправного телевизора на i-ом заводе
.
Вычислим долю брака каждого завода среди всего брака по формуле Байеса, т.е.
Т.к. последняя вероятность самая большая, то бракованный телевизор, скорее всего, будет изготовлен на третьем заводе.
Ответ: ;
дефектный телевизор, скорее всего, будет изготовлен на третьем заводе.
При данном технологическом процессе 76 % всей продукции - 1-го сорта. Найти наивероятнейшее число первосортных изделий из 210 изделий и вероятность этого события.
Решение:
Обозначая вероятность выпуска изделия 1-го сорта через p = 0,76, будем иметь
q = 1 - p = 1 – 0,76 = 0,24 - получение изделия не 1-го сорта. Так как здесь n = 210, то искомое число можно найти из неравенств:
Отсюда наивероятнейшее число изделий 1-го сорта из 210 штук равно 160.
Определим вероятность такого события. Т.к. количество испытаний велико и нет возможности применить формулу Бернулли, то для нахождения вероятности наивернейшего числа воспользуемся локальной теоремой Муавра - Лапласа:
,
где , - диф. функция Лапласа-Гаусса
Определим аргумент функции Лапласа-Гаусса
По таблице значений функции Гаусса определим .
Тогда .
Ответ: к = 160,
Для подготовки к экзамену студенту нужна определенная книга, которая может находиться в каждой из 4-х доступных студенту библиотек с вероятностью 0,4. Составить закон распределения числа посещаемых библиотек. Обход прекращается после получения нужной книги или посещения всех четырех библиотек. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение:
Случайная величина принимает значения 1 2 3 4 по числу посещенных библиотек. Если студент нашел книгу в первой библиотеке, то значит р = 0,4. Если во второй, значит он в первой не нашел с вероятностью q = 0,6 и во второй нашел c вероятностью р = 0,4 и т.д. и т.п. В последней библиотеке он может как найти, так и не найти свою книгу.
-
х
1
2
3
4
р
0,4
0,6 ∙ 0,4 = 0,24
0,6 ∙ 0,6 ∙ 0,4 = 0,144
0,6 ∙ 0,6 ∙ 0,6 ∙ 0,4 + 0,6 ∙ 0,6 ∙ 0,6 ∙ 0,6 = 0,216
Найдем мат. ожидание СВ:
Найдем дисперсию СВ:
Ответ:
-
х
1
2
3
4
р
0,4
0,24
0,144
0,216
В нормально распределенной совокупности 16% значений X меньше 12 и 46% значений X больше 18. Найдите параметры этой совокупности.
Решение:
Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение из интервала определяется формулой:
Решим полученную систему уравнений и, воспользовавшись таблицей значений функции Лапласа, найдем параметры совокупности и .
Ответ: ; .
На фирме заработная плата X сотрудников (в у.е.) задана таблицей:
-
интервалы
Н.Г.
300
320
340
360
380
400
В.Г.
320
340
360
380
400
420
частота
f
10
20
30
25
10
5
Найти: среднее арифметическое и стандартное отклонение S. Построить теоретическое нормальное распределение и сравнить с эмпирическим на уровне значимости α =0,05.