- •Содержание
- •1. Численные методы в электротехнических задачах
- •1.1. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (слау)
- •1.1.1. Классификация методов
- •1.1.2. Обусловленность системы уравнений
- •1.1.3. Собственные значения и собственные векторы матриц
- •1.1.4. Векторные нормы
- •1.1.5. Методы решения некорректных задач
- •1.1.6. Точные методы расчёта слау
- •1.1.6.1. Классический метод Гаусса
- •I, j, k : IntType;
- •1.1.6.2. Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •I,j,k: IntType;
- •I, j, k : IntType;
- •1.1.6.3. Гауссово исключение и lu-разложение
- •1.1.6.4. Матрично-векторные формы - разложения
- •1.1.6.5. Алгоритм Донгарры-Айзенштата.
- •Var I,j,k,s : Integer;
- •Var I,j,k : Integer;
- •1.1.6.6. Метод вращения
- •I, j, k : IntType;
- •I, j, k : IntType;
- •1.1.6.7. Схема Жордана
- •I,j,k : IntType;
- •I, j, k : IntType;
- •1.1.6.8. Факторизация
- •1.1.6.9. Метод квадратных корней (Холесского)
- •I, j, k : IntType;
- •1.1.6.10. Итерационное уточнение
- •1.1.6.11. Особенности решения слау для ленточных симметричных и несимметричных матриц
- •Алгоритм классического метода Гаусса для ленточной симметричной матрицы
- •I, j, k,k1, n , Jend : IntType;
- •I, j, k,k1, n , Jend, c : IntType;
- •1.1.7. Итерационные методы слау
- •1.1.7.1. Решение слау методом простых итераций
- •I, j, k : IntType;
- •X0 : tVector;
- •1.1.7.2. Решение слау методом Гаусса-Зейделя
- •I, j, k : IntType;
- •X0 : tVector;
- •1.1.7.3. Метод релаксации
- •I, j, k : IntType;
- •X0 : tVector;
- •Литература
Лекции
«ОСНОВНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ,
ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ
ЗАДАЧАХ»
(Часть I: Решение СЛАУ)
Новочеркасск 2012
Содержание
СОДЕРЖАНИЕ 3
1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ 4
1.1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ 5
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ) 5
1.1.1. Классификация методов 5
1.1.2. Обусловленность системы уравнений 6
1.1.3. Собственные значения и собственные векторы матриц 6
1.1.4. Векторные нормы 7
1.1.5. Методы решения некорректных задач 8
1.1.6. Точные методы расчёта СЛАУ 10
1.1.6.1. Классический метод Гаусса 11
1.1.6.2. Метод Гаусса с выбором главного элемента 16
1.1.6.3. Гауссово исключение и LU-разложение 19
1.1.6.4. Матрично-векторные формы - разложения 21
1.1.6.5. Алгоритм Донгарры-Айзенштата. 22
1.1.6.6. Метод вращения 23
1.1.6.7. Схема Жордана 25
1.1.6.8. факторизация 27
1.1.6.9. Метод квадратных корней (Холесского) 28
1.1.6.10. Итерационное уточнение 32
1.1.6.11. Особенности решения СЛАУ для ленточных симметричных и 33
несимметричных матриц 33
1.1.7. Итерационные методы СЛАУ 47
1.1.7.1. Решение СЛАУ методом простых итераций 47
1.1.7.2. Решение СЛАУ методом Гаусса-Зейделя 49
1.1.7.3. Метод релаксации 51
ЛИТЕРАТУРА 54
1. Численные методы в электротехнических задачах
Решение задач можно условно разделить на этапы:
- формулирование задачи; - математическая постановка; - физический и математический анализ; - численный анализ;
- разработка вычислительного алгоритма.
Формулирование задачи – определение цели, которой необходимо достичь, с учетом четкого изложения условий задачи, необходимых исходных данных и границ изменения параметров.
Математическая постановка задачи заключается в математическом описании сформулированной задачи с помощью математических выражений, т.е. в составлении математической модели задачи.
Физический и математический анализ заключаются в анализе существования и единственности решения, определении математических методов, которые можно использовать для решения сформулированной задачи.
Численный анализ включает выбор наиболее приемлемого метода решения задачи, разработку его во всех деталях и запись в виде алгоритма.
Метод решения – это точное описание, по которому каждому набору исходных данных из области допустимых значений можно сопоставить решение.
Алгоритм – точное предписание последовательности операций, которую надо провести над исходными данными и промежуточными результатами вычислений, чтобы получить искомый результат.
При разработке алгоритма вычислений необходим учет ограничений, налагаемых вычислительными средствами (быстродействие, объем памяти, точность представления чисел и т.п.).
Эффективность математических методов и реализующих их алгоритмов оценивается на основе:
количества действий, которые надо выполнить для получения решения;
количества различных данных, которые необходимо сохранять на отдельных этапах вычислительного процесса.
Решение любой задачи связано с возникновением трех основных погрешностей:
Неустранимой погрешности, полученной из-за допущений, принятых при упрощенном описании явлений и объектов.
Погрешности метода, возникающей, если он не допускает точного аналитического решения и использует приближенные методы решения.
Вычислительной погрешности, обусловленной необходимостью округления чисел при выполнении арифметических операций.
Существенное значение при решении практических задач имеют погрешности измерений.