- •Содержание
- •4. Численные квадратуры 4
- •4. Численные квадратуры
- •4.1. Введение
- •4.2. Одномерные квадратурные правила и формулы
- •4.3. Формулы прямоугольников
- •4.4. Формула трапеций
- •4.5. Метод Ньютона-Котесса
- •4.6. Формула Симпсона (метод парабол)
- •If Odd(k) then {Проверка k на нечетность}
- •4.8. Формула Уэддля (Веддля)
- •4.10. Метод Чебышева
- •4.11. Метод Гаусса
- •4.12. Переход от одного отрезка к другому
- •4.13. Квадратурные правила Гаусса-Кронрода
- •4.14. Интегрирование таблично заданных функций
- •4.15. Эрмитова кубическая квадратура
- •4.16. Двойные и тройные интегралы
- •Литература
Лекции
«ОСНОВНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ,
ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ»
(Часть IV: Численные квадратуры)
Новочеркасск 2012
Содержание
СОДЕРЖАНИЕ 3
4. Численные квадратуры 4
4.1. Введение 4
4.2. Одномерные квадратурные правила и формулы 4
4.3. Формулы прямоугольников 4
4.4. Формула трапеций 5
4.5. Метод Ньютона-Котесса 6
4.6. Формула Симпсона (метод парабол) 6
4.7. Формула Ньютона-Котесса при n=4 (формула Бодэ) 8
4.8. Формула Уэддля (Веддля) 8
4.9. Формула Ньютона-Котесса (n=6) 8
4.10. Метод Чебышева 9
4.11. Метод Гаусса 9
4.12. Переход от одного отрезка к другому 10
4.13. Квадратурные правила Гаусса-Кронрода 11
4.14. Интегрирование таблично заданных функций 13
4.15. Эрмитова кубическая квадратура 14
4.16. Двойные и тройные интегралы 14
ЛИТЕРАТУРА 15
4. Численные квадратуры
4.1. Введение
Этот раздел посвящён решению следующей задачи: вычислить интеграл
.
Это одна из фундаментальных задач математического анализа. Она тесно связана с задачей решения дифференциальных уравнений.
4.2. Одномерные квадратурные правила и формулы
Обычно аппаратом, используемым для построения квадратур, является аппарат интерполирования. Вместо того, чтобы вычислить непосредственно, сперва вычисляют значения функции в заданных точках . Пусть - интерполяционный полином, проходящий через точки . Тогда, если , то и . Поскольку интерполирование полинома не составляет труда, а аппарат интерполирования вполне доступен, такой подход представляется численно реализуемым и эффективным.
Получим простейшие квадратурные формулы. Для этого введём терминологию , которой в дальнейшем будем пользоваться. Назовём -точечной квадратурной формулой равенство .
При этом называются весами, а - узлами квадратурной формулы, - остатком или погрешностью. Веса и узлы зависят от , но не зависят от . Сумму в правой части, которую можно рассматривать как приближение к , часто называют квадратурным правилом. Чтобы приближенно вычислить интеграл, мы вычисляем только квадратурное правило, так как остаток обычно содержит выражение нам недоступные (производные подынтегральной функции). Важное свойство наших формул – их линейность. Это означает, что правило, дающее приближение к интегралу от , можно получить сложением правил, дающих приближение к и .
4.3. Формулы прямоугольников
Простейшие методы из класса методов Ньютона-Котеса, когда подынтегральную функцию на интервале интегрирования заменяем полиномом нулевой степени, т. е. константой. Подобная замена является неоднозначной, так как константу можно выбрать равной значению подынтегральной функции в любой точке интервала интегрирования. Приближенное значение интеграла определится как площадь прямругольника, одна из сторон которого есть длина отрезка интегрирования, а другая – аппроксимирующая константа. Отсюда происходит и название методов.
Наименьшую погрешность из методов прямоугольников имеет метод средних прямоугольников, когда константу берём равной значению в средней точке интервала (Рис.1 а).
Методы левых (Рис.1 б) и правых (Рис.1 в) прямоугольников, заменяющих интеграл нижней и верхней суммами Дарбу, имеют сравнительно невысокую точность.
Для метода средних прямоугольников
где - значение второй производной в точке , где она максимальна, - шаг интегрирования, - количество отрезков разбиения.
Для метода левых прямоугольников
.
Для метода правых прямоугольников
.
Рис. 1. Методы средних (а), левых (б) и правых (в) прямоугольников.
Для метода прямоугольников на отрезке интегрирования.