- •Часть 1
- •Раздел 1. Элементы общей теории сигналов
- •1.1 Классификация сигналов
- •1.2. Некоторые элементы функционального анализа сигналов
- •1.3 Основы теории ортогональных сигналов
- •Раздел 2. Спектральные представления сигналов
- •2.1. Понятие о спектре периодических и непериодических сигналов
- •2.2 Спектральное представление периодических сигналов
- •2.3 Спектральное представление непериодических сигналов
- •2.4 Теоремы о спектрах
- •2.5 Спектральные представления сигналов с использованием негармонических функций
- •Раздел 3. Сигналы с ограниченным спектром
- •3.1. Некоторые математические модели сигналов с ограниченным спектром
- •3.2 Теорема Котельникова
- •3.3. Узкополосные сигналы
- •3.4. Аналитический сигнал и преобразования Гильберта
- •Раздел 4. Основы корреляционного анализа сигналов
- •4.1. Взаимная спектральная плотность сигналов. Энергетический спектр
- •4.2. Автокорреляционная функция сигналов
- •4.3. Акф дискретного сигнала
- •4.4. Взаимокорреляционная функция двух сигналов
- •Раздел 5. Модулированные сигналы
- •5.1. Сигналы с амплитудной модуляцией
- •5.2 Сигналы с угловой модуляцией
- •5.3. Дискретные формы угловой модуляции
- •5.4 Сигналы с импульсной модуляцией
- •Раздел 6. Основы теории случайных процессов
- •6.1. Случайные процессы. Основные понятия и определения
- •6.2. Характеристики случайных процессов
- •6.3. Моментные функции случайных процессов
- •6.4. Свойства случайных процессов
- •6.5. Функция корреляции двух случайных процессов
- •6.6. Измерение характеристик случайных процессов
- •6.7. Спектральное представление стационарных случайных процессов. Теорема Винера-Хинчина
- •6.8 Типовые модели случайных сигналов
- •6.9 Узкополосные случайные сигналы
- •Раздел 7. Основные элементы цифровой обработки сигналов
- •7.1. Дискретное преобразование Фурье
- •7.2. Быстрое преобразование Фурье
- •Раздел 1.Каналы электросвязи
- •Тема1.1 Общие сведения о каналах электросвязи и их классификация
- •1.2 Математические модели каналов электросвязи
- •1.2.1 Математические модели непрерывных каналов связи
- •1.2.2 Математические модели дискретных каналов связи
- •Раздел 2 Основные положения теории передачи информации
- •2.1 Информационные параметры сообщений и сигналов
- •2.2 Взаимная информация
- •Эффективное кодирование дискретных сообщений
- •Тема 2.4. Информация в непрерывных сигналах
- •Тема 2.5. Пропускная способность канала связи
- •Тема 2.6. Теорема к. Шеннона
- •Тема 2.7. Информация в непрерывных сообщениях. Эпсилон-энтропия
- •Раздел 3. Оптимальный приём дискретных сообщений
- •Тема 3.1. Постановка задачи оптимального приёма дискретных сообщений как статистической задачи. Понятие помехоустойчивости
- •3.2. Элементы теории решений
- •3.3. Критерии качества оптимального приёмника
- •3.4 Алгоритм оптимального приёма при полностью известных сигналах. Когерентный приём
- •3.5 Структурное построение оптимального приёмника
- •3.6 Реализация алгоритма оптимального приёма на основе согласованных фильтров. Свойства согласованного фильтра
- •3.8 Потенциальная помехоустойчивость систем с различными видами манипуляции
- •3.9 Приём сигналов с неопределённой фазой (некогерентный приём)
2.5 Спектральные представления сигналов с использованием негармонических функций
Для представления непрерывных сигналов используются различные системы ортогональных функций.
Для представления непрерывных сигналов используются преимущественно ортогональные функции и полиномы Лежандра, Чебышева, Лагерра и Эрмита.
1) Полиномы Лежандра (1-го рода) определяются формулой:
,
Ряд выглядит следующим образом:
,
Спектральные коэффициенты определяются формулой:
,
2) Полиномы Чебышева (1-го рода) определяются формулой:
Ряд:
- коэффициенты
ряда
График полинома Чебышева 4-го порядка:
Полиномы Чебышева обеспечивают наименьшую максимальную ошибку аппроксимации на интервале . Эффективны для аппроксимации АЧХ различных фильтров.
3) Полиномы Лагерра определяются формулой
Так как полиномы Лагерра образуют систему расходящихся при функций, то удобнее пользоваться функциями Лагерра
Разложение в ряд по функциям Лагерра
коэффициенты должны определяться по формуле:
Функции Лагерра получили широкое распространение в измерительной технике и в многоканальных системах связи, что объясняется простотой их генерирования.
4) Полиномы Эрмита определяются формулой:
Разложение в ряд по нормированным функциям Эрмита:
- коэффициенты ряда (спектральные составляющие)
Полиномы Эрмита отличаются от полиномов Лагерра тем, что полиномы Лагерра определены на интервале, представляющем собой полуось , а полиномы Эрмита – на интервале, представляющем собой всю ось .
Для представления дискретных сигналов используются в основном функции Уолша.
Чаще всего используются функции Уолша, которые на отрезке своего существования принимают лишь значения .
Введём безразмерное время , тогда k-ая функция Уолша обозначается символом .
Разложение сигнала в ряд по функциям Уолша на заданном отрезке времени имеет вид:
- коэффициенты ряда.
Графики функций Уолша
Вейвлет – анализ.
Если сигнал не имеет чёткого периодического характера, то алгоритмы преобразования Фурье становятся менее эффективными.
Эта проблема в последние годы решается с помощью нового подхода в теории и технике сигналов – вейвлет–анализа.
Wavelet – в переводе с английского “небольшая волна” или “небольшое колебание”.
С помощью вейвлет–анализа можно представлять как дискретные, так и непрерывные сигналы.
а) В основе дискретного вейвлет–анализа лежит использование исходного (или порождающего) вейвлета Хаара. Эта функция существует на отрезке [0,1] и принимает одно из двух возможных значений.
- безразмерное время
Ортонормированная базисная система вейвлетов Хаара строится за счёт операций сдвига во времени и изменения временного масштаба.
Тогда сигнал можно разложить в ряд по этим функциям, следующим образом:
На основании предыдущего, коэффициенты являются скалярными произведениями исходного сигнала и соответствующей базисной функции:
Данный ряд отличается от изучавшегося ранее тем, что суммирование производится не по одному, а по двум индексам.
Вейвлет – спектр сигнала, принимающего вещественные значения , можно образно представить себе как некоторый “лес” из вертикальных отрезков, размещенных над j k – плоскостью в точках с целочисленными координатами. При этом координата j указывает на скорость изменения сигнала, а координата k – на положение вдоль оси времени.
б) Для анализа непрерывных сигналов пользуются непрерывными вейвлетами.
Примером может служить вейвлет типа “сомбреро”:
Вейвлет–преобразованием является функция двух переменных:
По своему смыслу вейвлет–преобразование соответствует преобразованию Фурье, только вместо функции используется вейвлет .
Вейвлет–преобразование является функцией двух аргументов, первый из которых аналогичен периоду колебания (т.е. обратной частоте), а второй – смещению сигнала вдоль оси времени.
Обратное вейвлет–преобразование:
Вейвлет–анализ особенно эффективен при решении задач сжатия и распознавания сигналов. Алгоритмы вейвлет–анализа представлены в составе прикладного пакета Mathlab.