9.8 Циркуляція вектора напруженості магнітного поля. Закон повного струму. Магнітний потік. Теорема Остроградського- Гаусса для магнітного поля

Криволінійний інтеграл виду називається циркуляцією вектора, в даному випадку напруженості магнітного поля. Знайдемо її значення на прикладі магнітного поля, створеного прямолінійним нескінченним провідником із струмом І. Виберемо довільний замкнутий контур ℓ, який охоплює провідник (рис.9.12). Враховуючи (9.13), а також те, що

, одержимо

У загальному випадку (9.23)

Циркуляція вектора напруженості магнітного поля дорівнює алгебраїчній сумі струмів, які охоплює цей контур. Це співвідношення називають ще законом повного струму. В (9.23) струми, напрямок яких співпадає з поступальним рухом правого гвинта, який обертається в напрямку обходу контуру, беруться зі знаком (+), а протилежні - зі знаком (-). Слід зауважити, що форма контуру ℓ може бути довільною.

Той факт, що циркуляція вектора напруженості магнітного

поля відмінна від нуля , свідчить про те, що магнітне поле не потенціальне, а вихрове.

Застосуємо закон повного струму (9.23) для розрахунку магнітного поля.

Приклад 1. Поле прямолінійного нескінченного провідника із струмом.

Так як форма контуру не має значення, виберемо його у формі кола, площина якого перпендикулярна до провідника а центр співпадає із провідником (рис.9.13). Це дає право вважати, що величина вектора напруженості у всіх точках контуру однакова, а кут між вектором напруженості і вектором дорівнює 0^о. Тому маємо . Звідки одержуємо відому формулу (9.13) .

Приклад 2 .Поле довгого соленоїда. Виберемо контур ℓ у формі прямокутника рис.9.14. Будемо нехтувати крайовими ефектами, тобто будемо вважати, що магнітне поле зосереджене всередині котушки, а за її межами напруженість дорівнює нулю.

Сума струмів дорівнює . Одержуємо .

Отже напруженість , а індукція

, як і по формулам (9.16).

Приклад 3. Поле тороїда. Тороїд – це котушка, намотана на тороїдальний сердечник (бублик) (рис.9.15,а). Переріз тороїда показаний на рис.9.15,б. Розрахуємо напруженість магнітного поля для трьох областей: 1) всередині осердя; 2) в осерді; 3) зовні за межами осердя. Виберемо в кожній області кільцевий контур ℓ радіусом r і запишемо для кожного із них закон повного струму (9.23).

а). r < R₁. , так як в контур не потрапляє ні один виток із струмом. Отже Н₁ = 0.

б). R₁ < r₂ < R₂. ;

.

в). r₃ > R₂.

, так як контур ℓ₃ охоплює однакову кількість витків з протилежно направленими струмами.

Таким чином, за межами осердя поле відсутнє, а всередині осердя

. (9.24)

В теорії магнетизму, так же, як і в електростатиці, вводиться поняття потоку вектора індукції (рис. 9.16)

. (9.25)

В_n – проекція вектора індукції на перпендикуляр до площадки.

На відміну від потоку вектора електростатичної індукції через замкнуту поверхню, який, як відомо (7.14), дорівнює алгебраїчній сумі зарядів, потік вектора індукції магнітного поля через довільну замкнуту поверхню дорівнює нулю

. (9.26)

Це є теорема Остроградського Гауса для магнітного поля. Рівність нулю означає, що лінії індукції магнітного поля замкнуті і в природі не існує уособлених джерел північного, або південного полюсів магніту.