3.5 Частотный анализ динамических звеньев с использованием пакета matlab

Наиболее часто для частотного анализа используют SIMULINK 6.1 т.к. он является самым простым способом, а сам пакет MATLAB 7 для частотного анализа в данном случае используют по заданию преподавателя.

Control System Toolbox

Комплект инструментальных средств "Control System"- набор функций MATLAB для моделирования, анализа и проектирования автоматических систем управления. Функции в этом комплекте инструментальных средств работают с широко распространенной классической передаточной функцией и "современными" методами управления в пространстве состояний. С помощью этих инструментальных средств можно моделировать и анализировать системы как в дискретной, так и в непрерывной области. Графики временных характеристик и корневого годографа могут быть быстро вычислены и построены.

Возможности библиотеки

Системное моделирование (System Models):

• Описание дискретных и непрерывных систем.

• Пространство состояний, функции преобразования, полюса и нули, элементарные модели в виде передаточных функций.

• Построение линейной модели системы.

• Модельные преобразования: из дискретной в непрерывную область, модель пространства состояний к передаточной функции и другим моделям.

Анализ (Analysis):

• Функции временных характеристик: импульсная ПФ, зависимость от периода дискретизации, переходная характеристика, обобщенное линейное моделирование.

• Функции частотных характеристик: Боде, Николса, графики сингулярных значений.

Моделирование объекта управления (Control Design):

• Оптимизация обратной связи: выбор коэффициентов демпфирования, запас устойчивости по фазе и амплитуде, расположение полюсов, корневой годограф, интерактивное определение усиления, LQR/LQE проект.

• Реализационная модель: управляемость, реализация с использованием минимального количества компонент математической модели, модель с корректирующим устройством, уменьшение порядка модели.

• Свойства модели: наблюдаемость и управляемость Грамиана, наблюдаемость и управляемость матрицы, нули передачи, уравнение Ляпунова, отклик на ковариацию.

Последовательность выполнения работы

В Control System Toolbox имеется тип данных, определяющих динамическую систему в виде комплексной передаточной функции. Синтаксис команды, создающий LTI-систему c одним входом и одним выходом в виде передаточной функции:

где TF([b_m, …, b₁, b₀], [a_n, …, a₁, a₀])

b_m, …, b₁ – значения коэффициентов полинома В в (1.3);

a_n, …, a₁ – значения коэффициентов полинома A в (1.3).

Для выполнения работы могут применяться команды, приведенные в таблице 1.1. (Л.р. №1).

Для определения корней полиномов степени k, может, также, применяться команда MATLAB roots(P), которая, в качестве аргумента P, получает матрицу коэффициентов полинома [p_k, …, p₀].

Другим вариантом получения графиков динамических характеристик САУ является использование графического интерфейса ППП CST – LTI в viewer, вызов которого осуществляется командой ltiview, которой в качестве параметра можно указать имя переменной, содержащей LTI-объект.

Таким образом, дальнейшее выполнение лабораторной работы состоит из следующих шагов:

1. Изучить теоретические сведения.

2. Запустить систему MATLAB.

3. Создать tf-объект, в соответствии с заданным вариантом.

4. Используя LTI-viewer, или соответствующие команды (табл.2.1) получить динамические характеристики – переходную функцию h(t), импульсно-переходную функцию w(t) и частотные характеристики – диаграмму Боде, частотный годограф Найквиста.

1. Пропорциональное звено

Передаточная функция

где

Создаём tf-объект для данной передаточной функции

w=tf([5],[1])

Transfer function:

5

Построим переходную функцию командой step(w).

Построим импульсную переходную функцию командой impulse(w).

Логарифмическую частотную характеристику (диаграмму Боде) получим, используя команду bode(w)

Определим комплексно-частотную функцию (частотный годограф Найквиста), выполнив команду nyquist(w)

Рис. 2.24. Переходная h(t) и импульсно-переходная функции пропорционального звена

Рис. 2.25. Логарифмические частотные характеристики, комплексно-частотная функция пропорционального звена

2. Апериодическое (инерционное) звено

Передаточная функция

где

Создаём tf-объект для данной передаточной функции

w=tf([5],[0.1 1])

Transfer function:

5

---------

0.1 s + 1

Построим переходную функцию командой step(w).

Построим импульсную переходную функцию командой impulse(w).

Рис. 2.26. Переходная h(t) и импульсно-переходная функция

инерционного звена

Логарифмическую частотную характеристику (диаграмму Боде) получим, используя команду bode(w)

Рис. 2.27. Логарифмические частотные характеристики

инерционного звена

Определим комплексно-частотную функцию (частотный годограф Найквиста), выполнив команду nyquist(w)

Рис. 2.28. Комплексно-частотная функция инерционного звена

3. Апериодическое звено второго порядка

Передаточная функция

Создаём tf-объект для данной передаточной функции

w=tf([5],[0.02 0.3 1])

Transfer function:

5

--------------------

0.02 s^2 + 0.3 s + 1

Построим переходную функцию командой step(w).

Построим импульсную переходную функцию командой impulse(w).

Логарифмическую частотную характеристику (диаграмму Боде) получим, используя команду bode(w)

Рис. 2.29. Переходная h(t) и импульсно-переходная функции

апериодического звена второго порядка

Рис. 2.30. Логарифмические частотные характеристики

апериодического звена 2-го порядка

Определим комплексно-частотную функцию (частотный годограф Найквиста), выполнив команду nyquist(w)

Рис. 2.31. Комплексно-частотная функция апериодического

звена 2-го порядка

4. Колебательное звено

Передаточная функция

При заданных постоянных параметрах k и T рассматриваются три варианта колебательных звеньев:

Создаём три варианта tf-объектов для передаточной функции колебательного звена (w1,w2,w3)

w1=tf([5],[0.01 0.02 1])

Transfer function:

5

---------------------

0.01 s^2 + 0.02 s + 1

w2=tf([5],[0.01 0.08 1])

Transfer function:

5

---------------------

0.01 s^2 + 0.08 s + 1

w3=tf([5],[0.01 0.1414 1])

Transfer function:

5

-----------------------

0.01 s^2 + 0.1414 s + 1

Построим переходные функции командой step(w1,w2,w3).

Рис. 2.32. Переходная функция h(t) колебательного звена

Построим импульсную переходную функцию командой impulse(w1,w2,w3).

Рис. 2.33. Импульсно-переходная функция колебательного звена

Логарифмическую частотную характеристику (диаграмму Боде) получим, используя команду bode(w1,w2,w3)

Рис. 2.34 Логарифмические частотные характеристики колебательного звена

Определим комплексно-частотную функцию (частотный годограф Найквиста), выполнив команду nyquist(w1,w2,w3)

Рис. 2.35. Комплексно-частотная функция колебательного звена

2.4.5.Консервативное звено

Передаточная функция

При заданном постоянном коэффициенте рассматриваются два варианта консервативных звеньев:

T₁=T,

T₂=2T.

Создаём два варианта tf-объектов для передаточной функции консервативного звена (w1,w2)

w1=tf([5],[0.01 0 1])

Transfer function:

5

------------

0.01s^2 + 1

>> w2=tf([5],[0.04 0 1])

Transfer function:

5

------------

0.04 s^2 + 1

Построим переходную функцию командой step(w1,w2). (a)

Построим импульсную переходную функцию командой

impulse(w1,w2). (б)

а) б)

Рис. 2.36. Переходная h(t) и импульсно-переходная функции

консервативного звена

Логарифмическую частотную характеристику (диаграмму Боде) получим, используя команду bode (w1,w2)

Определим комплексно-частотную функцию (частотный годограф Найквиста), выполнив команду nyquist(w1,w2)

Рис. 2.37. Логарифмические частотные характеристики

консервативного звена