baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

здесь С2 — произвольная постоянная.

Теперь общее решение исходного дифференциального уравнения мы запишем в виде:

6.4.Понятиеосистемахобыкновенных дифференциальныхуравнений

При решении некоторых задач физики, механики, экономики часто надо находить функции y1 = y1(x), y2 = y2(x), …, yn = yn(x), которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих искомые функции y1, y2, …, yn, независимую переменную x и производные и (или) дифференциалы искомых функций [22]. В настоящем учебнике кратко рассмотрим системы дифференциальных уравнений первого порядка. Они имеют вид:

(6. 2)

2 1

Система вида (6. 2), правые части которой не содержат производных искомых функций, называется нормальной. Проинтегрировать систему дифференциальных уравнений — значит найти функции y1, y2, …, yn,, удовлетворяющие (6. 2) и начальным условиям

(6. )

если они заданы.

Интегрирование системы (6. 2) проводят следующим образом.

Дифференцируем по х первое уравнение системы (6. 2) и получаем:

Заменяя в этом уравнении производные их вы-

ражениями из (6. 2) получим дифференциальное уравнение

Дифференцируем его по х и, поступая аналогично предыдущему, найдем:

Продолжая далее также, придем к дифференциальному уравнению:

Поэтому исходная система дифференциальных уравнений (6. 2) примет вид:

(6. 4)

2 2

Из первых (n − 1) уравнений системы (6. 4) получаем y2,

(6. 5)

Подставляем выражения для y2, y , …, yn из (6. 5) в последнее уравнение системы (6. 4) и получаем дифференциальное уравнение n-го порядка для определения y1, т. е.

(6. 6)

Решаем уравнение (6. 6) и находим у1

y1 = ψ1(x, C1, C2, …, Cn). (6. 7)

Далее дифференцируем уравнение (6. 7) (n − 1) раз и нахо-

ставляем их в (6. 5) и находим искомые функции y2, y , …, yn, т. е.

(6. 8)

Для того чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям (6. ) надо найти из (6. 7) и (6. 8) соответствующие постоянные C1, C2, …, Cn [22].

Теперь приведем конкретный пример решения системы дифференциальных уравнений.

Пример 6.14. Проинтегрируем систему дифференциальных уравнений

(6. 9)

2

Из второго уравнения системы находим

и, подставив в первое уравнение этой системы, получим

После преобразований получим:

(6.41)

Найдем х из дифференциального уравнения (6.40):

и подставим его значение в (6.41). Тогда получим:

(6.42)

Уравнение (6.42) — это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью, которые рассматривались в п. 6. .2. Решив уравнение (6.42), найдем неизвестную функцию у.

Вначале найдем общее решение дифференциального уравнения без правой части, т. е. y″ + 4y′ + y = 0.

Его характеристическое уравнение имеет вид:

2 4

k2 + 4k + = 0; k1 = −1; k2 = − .

А общее решение следующее:

y1 = C1e−t + C2e− t,

где С1 и С2 — постоянные.

Теперь найдем любое частное решение дифференциального уравнения (6.42)

f (x) = cos t − 4sin t.

Так как числа ±i не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение (6.42) ищем в виде

y2 = Acos t + Bsin t,

где А и В неизвестные постоянные, которые необходимо определить.

Находим y2′ и y2″:

y2′ = −Asin t + Bcos t

y2″ = −Acos t − Bsin t.

Поставляем y2; y2′; y2″ в (6.42) и получаем:

−Acos t − Bsin t − 4Asin t + 4Bcos t + Acos t + Bsin t = = 2cos t − 4sin t

или

2Acos t + 4Bcos t + 2Bsin t − 4Asin t = 2cos t − 4sin t,

или

cos t(2A + 4B) + sin (2B − 4A) = 2cos t − 4sin t, 2A + 4B = 2 → A = 1,

2B − 4A = −4 → B = 0.

Следовательно,

y2 = cos t.

А общее решение дифференциального уравнения (6.42) имеет вид:

Теперь определим неизвестную функцию х по формуле

2 5

в) (6y + 4x)dx + ( y + 8x)dy = 0;

г)

4. Найти общие решения линейных дифференциальных уравнений и частные решения там, где заданы начальные условия:

а)

б)

в)

г)

5.Найти общие решения дифференциальных уравнений:

а) y′ − 2y + 7 = 0; б) y′ − 6y + 9 = 0.

6.Найти общие решения дифференциальных уравнений:

а) y″ = 5x; б) y″ = cos x;

в) y″ = 18x2 + 2; г) y″ = 10x2 + 2x.

7.Решить задачу Коши для дифференциальных уравне-

ний:

а) при б) y″ = sin x при

8.Найти общие решения дифференциальных уравнений:

а) y″ − 5y′ + 6 = 0; б) y″ − y′ + 16 = 0; в) y″ − 22y′ + 12 = 0; г) 6y″ − 10y′ − 7 = 0;

9.Найти частные решения дифференциальных уравне-

ний, удовлетворяющие заданным начальным условиям: а) y″ + 4y′ + = 0, если

2 7

б) y″ − 10y′ + 25 = 0, если

10. Найти общие решения дифференциальных уравнений:

а) y″ − 2y′ + 2y = e4x;

б) y″ − y′ − 2y = e7x;

в) y″ + y′ + 2y = 4x2 − x − 16;

г) y″ + 4y′ + 4y = sin x + 2cos x; д) y″ − 12y′ + 6y = sin x;

е) y″ − 4y′ − 5y = cos x.

11. Решить системы дифференциальных уравнений

а)

б)

вопросыдлясамопроверки

1.Какое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка?

2.Что такое общее решение дифференциального уравнения первого порядка?

. Что такое частное решение и в чем суть начальных условий для дифференциального уравнения первого порядка?

4.Дать формулировку теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.

5.Что является геометрической иллюстрацией общего и частного решений дифференциального уравнения первого порядка?

2 8

6.Что такое дифференциальное уравнения первого порядка с разделяющимися переменными и каким методом его можно решить?

7.Какие дифференциальные уравнения первого порядка называются однородными, каков их метод решения?

8.Какие дифференциальные уравнения первого порядка называются линейными, каков их метод решения?

9.Какиедифференциальныеуравненияназываютсяобыкновенными? Каков их общий вид?

10.Какие функции называются однородными функциями n-го измерения?

11.Как найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами?

12.Чем отличается задание краевых условий от задания начальных условий в дифференциальных уравнениях второго порядка?

1 . Какие дифференциальные уравнения второго порядка

спостоянными коэффициентами называются однородными?

14.Как найти общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

15.Как найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью?

16.Что называется системой дифференциальных уравнений и ее решением?

17.Как система дифференциальных уравнений сводится к одному дифференциальному уравнению высшего порядка.

2 9

7.ряды

7.1.числовыеряды

Выражение ,

где w1, w2, …, wn, … — некоторые числа, называют числовым рядом; w1, w2, …, wn, … — это члены ряда.

Для любого числового ряда можно построить после-

довательность его частичных сумм Sn:

вают суммой ряда и говорят, что этот ряд сходится. Если этот предел не существует, то говорят, что ряд (7.1) расходится и суммы не имеет [ , 11, 22].

Приведем конкретные примеры.

Пример 7.1.

Гармонический ряд расходится.

Пример 7.2.

Геометрическая прогрессия

w + wq + wq2 + … + wqn-1 + … (w 0)

сходится при | q | < 1 и расходится при | q | $ 1. Если | q | < 1, то .

Пример 7.3.

Обобщенно гармонический ряд схо-

дится при a > 1 и расходится при a # 1.

240