baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

5.4.2.Нахождениедлиныдугикривой

Пусть в плоскости х0у уравнением y = f (x) задана кривая линия. Вычислим длину дуги АВ этой кривой, заключенной между прямыми х = а и х = b (см. рис. 5.14).

A

Рис. 5.14

На дуге АВ возьмем точки А, А1, А2, …, В с абсциссами х0 = а, х1, х2, …, b = хn. Проведем хорды АА1, А1А2, …, Аn-1В, длины

181

которых соответственно обозначим Dl1, Dl2, …, Dln. В результате получим ломаную линию А, А1 А2 … Аn-1 В, которая вписана в

дуги АВ называется предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится

кнулю, т. е.

Вкурсах математического анализа доказывается (см., например, [2, 20]), что если на отрезке [a, b] функция f (x) и ее производная f’(x) непрерывны, то этот предел существует и длина дуги АВ находится по формуле

Сначала построим график исходной функции и найдем а и b (см. рис. 5.15)

y = x.

Находим а и b.

182

Найдем

Получившийся определенный интеграл можно брать несколькими способами, например, подстановкой x = shy (где

— гиперболический синус) или методом интегри-

рования по частям, которым мы и воспользуемся. Напомним, что формула интегрирования по частям имеет вид:

В нашем случае имеем

Тогда получим:

таблицы интегралов раздела 5.1). Он равен

18

В нашем случае получаем

.

Поэтому l1 примет вид:

окончательно получаем

.

5.4.3.Объемтелавращения

Рассмотрим тело, которое образовано вращением вокруг оси 0х криволинейной трапеции aABb, ограниченной функцией y = f (x), осью 0х и прямыми x = a и x = b (рис. 5.16).

Разобьем полученное тело на слои с помощью секущихся плоскостей, перпендикулярных к оси 0х и пересекающих ее в точках x0 = a, x1, …, xn-1, xn = b. Каждый слой заменим прямым цилиндром. Объем каждого из этих цилиндров будет равен Vi = = py2i-1 Dxi, [в данном случае поперечные сечения с абсциссами x0 = a, x1, …, xn-1, xn = b есть окружности].

Поэтому объем n-ступенчатого тела будет равен:

Переходим к пределу при n → ` и при стремлении max Dxi → 0 и получаем искомый объем тела вращения [2]:

(5.14)

184

y

B

y=f(x)

A

Рис. 5.16

В том случая, если тело образовано вращением вокруг оси 0у криволинейной трапеции cCDd, ограниченной функцией х = w(у) и прямыми у = с, у = d (рис. 5.17), то его объем находится по формуле

(5.15)

Теперь рассмотрим конкретный пример.

Пример 5.33.

Найдем объем двухосного эллипсоида вращения, канони-

ческое уравнение которого имеет вид , где а и b —

большая и малая полуоси соответственно (одной из моделей Земли как раз и является двухосный эллипсоид вращения, в

185

Тогда по формуле (5.14) получаем:

5.5.Приближенноевычислениеопределенныхинтегралов

В тех случаях, когда подынтегральная функция имеет сложный вид и неясно как ее преобразовать к табличной или же первообразная подынтегральная функции не выражается через элементарные функции, применяют приближенные методы вычисления определенных интегралов.

Приведем несколько способов приближенного интегрирования, исходя из определения интеграла как предела суммы.

а) Формула прямоугольников.

Пусть на [a,b] задана непрерывная функция y = f (x). Надо вычислить . Отрезок [a, b] разделим точками а = х0, х1,

х2,…, хn-1, хn = b на n одинаковых частей длины Dх, где

(см. рис. 5.19).

Значения функции y = f (x) в точках х0, х1, х2,…, хn-1, хn обозначим через у0, у1, у2,…, уn-1, уn.

Теперь составим две суммы:

где S1 есть суммарная площадь прямоугольников, лежащих ниже y = f (x);

187

yn

yn-1

y2

y1

y0

где S2 есть суммарная площадь прямоугольников, лежащих выше y = f (x).

Истинная площадь фигуры, ограниченная y = f (x), удов-

летворяет условию S1 < Sист < S2.

Поэтому можно записать приближенные равенства [1,16]:

(5.18)

(5.19)

Приближенные равенства (5.18) и (5.19) и есть формулы прямоугольников. Ошибка, которую мы совершаем при вычислении интегралов по формулам (5.18) и (5.19) будет тем меньше, чем больше n. Для того чтобы определить, сколько точек деления надо взять, чтобы вычислить интеграл с заданной точностью, надо использовать формулу оценки погрешности, которая получается при приближенном вычислении интеграла. Для метода прямоугольников она имеет вид:

188

где [9].

Приведем конкретный пример.

Пример 5.34.

Используя метод прямоугольников, вычислим приближенно интеграл

, взяв n = 10.

Заметим, что этот интеграл относится к числу неберущихся, т. е. он не выражается в элементарных функциях.

Используем для расчета формулу (5.18).

Теперь по формуле (5.18) имеем:

б) Формула трапеций.

Более точное значение определенного интеграла, чем по (5.18) и (5.19), получим, заменив исходную функцию y = f (x) ломаной линией (см. рис. 5.20).

189

An-1 B

yf(x)

A2

A1

A

Рис. 5.20

То есть площадь криволинейной трапеции aABb заменим площадью фигуры, состоящей из прямоугольных трапеций: aAA1x1, x1A1A2x2, …, xn-1An-1Bb. Их площади будут равны:

. Поэтому определенный

интеграл приближенно будут равен [1, 16]:

,

или

(5.20)

Выражение (5.20) носит название формулы трапеций. Формула оценки погрешности, получающейся при прибли-

женном вычислении интеграла, в этом случае имеет вид [9]:

где

190