baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Теперь интегрируем обе части полученного выражения.

ln|y| = ln|x2 + 4| + lnC, ln|y| = ln|C(x2 + 4)|. y = C(x2 + 4).

Полученное уравнение и есть общее решение исходного дифференциального уравнения. Геометрически оно представляет собой семейство парабол.

По заданным начальным условиям найдем частое решение, т. е. выделим конкретную параболу из полученного семейства.

5 = С (12+4) => 5 = 5С => С = 1.

Поэтому частное решение имеет вид у = х2 + 4. Рассмотрим некоторые классы дифференциальных урав-

нений, которые сводятся к дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными.

6.2.3.Однородныедифференциальныеуравнения

Функция f (x, y) называется однородной функцией n-го измерения относительно аргументов х и у, если при любом k справедливо равенство [22]

f (kx, ky) = kn f (x, y).

Например, функция f (x, y) = 2ху − у2 является однородной функцией второго измерения, так как

2(kx)(ky) − (ky)2 = k2(2xy − y2).

А функция есть однородная функция нуле-

вого измерения, так как

211

Дифференциальное уравнение первого порядка

(6.1)

называется однородным относительно х и у, если функция f(x,y) является однородной функцией нулевого измерения относительно х и у.

мерения зависит только от отношения аргументов. Тогда дифференциальное уравнение (6.1) примет вид

(6.2)

Сделаем замену переменных, обозначим т. е. y = ux,

тогда

После подстановки дифференциальное уравнение (6.2) примет вид

(6. )

т. е. пришли к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными. Преобразуя (6. .), получим

(6.4)

Интегрируя обе части уравнения (6.4), получаем

(6.5)

Так как постоянная С может быть любой, можно записать уравнение (6.5) в виде .

212

Интегрируя уравнение (6.5), получаем u, затем делаем обратную замену и получаем искомое общее решение одно-

родного дифференциального уравнения. При наличии начальных условий можно найти и частное решение.

Пример 6.5. Найдем общее решение дифференциального уравнения

Обе части последнего равенства разделим на х, тогда получим

т. е. исходное дифференциальное уравнение является однородным.

Для его решения используем замену

После замены дифференциальное уравнение примет вид:

Интегрируем обе части последнего равенства

Делаем обратную замену и получаем или

у = хеСх — это и есть общее решение исходного дифференциального уравнения.

Предположим, что заданы начальные условия . Тогда находим частное решение заданного дифференциального уравнения

21

т. е. частное решение имеет вид:

6.2.4.Линейныедифференциальныеуравненияпервогопорядка

К линейным дифференциальным уравнениям относятся дифференциальные уравнения вида:

т. е. линейное относительно неизвестной функции и ее производной. В уравнении (6.6) p(x) и q(х) — известные функции аргумента х [2, 22].

Дифференциальное уравнение (6.6) сводится к двум дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными с помощью следующего приема.

Представим функцию у в виде произведения двух функций y = uv. Одной из этих функций можно распорядиться произвольно, а вторая при этом должна быть определена в зависимости от первой так, чтобы их произведение удовлетворяло исходному дифференциальному уравнению. Свободой выбора одной из функций u и v надо воспользоваться для упрощения дифференциального уравнения, получающегося после замены.

Из равенства y = uv получим y′ = u′v + v′u. Это выражение подставим в (6.6) и получим:

u′v + v′u + p(x)uv = q(х); u′v + u(v′ + p(x)v) = q(х).

В качестве v выберем какое-нибудь частное решение дифференциального уравнения

214

Тогда для нахождения u получим дифференциальное уравнение

Из дифференциального уравнения (6.7) находим v.

Интегрируем обе части последнего выражения

(6.9)

Под неопределенным интегралом в выражении (6.9) понимается какая-то одна первообразная от функции p(x), т. е. v есть вполне определенная функция от х.

Теперь используя найденное значение функции v из уравнения (6.8), находим функцию u.

.

Интегрируем обе части последнего выражения и получаем

(6.10)

В формуле (6.10) для функции u берутся все первообразные. Зная функции u и v, находим искомую функцию у.

(6.11)

Выражение (6.11) является общим решением линейного дифференциального уравнения первого порядка.

Пример 6.6. Найдем общее решение линейного дифферен-

Используем подстановку y = uv y′ = u′v + v′u и получим

215

В качестве v выберем какое-то частное решение диффе-

дифференциального уравнения u′v = x . Находим функцию v

Зная v, находим функцию u

Зная функции u и v, находим исходную функцию у

Выражение (6.12) есть общее решение исходного дифференциального уравнения.

Линейныедифференциальныеуравненияпервогопорядка спостояннымикоэффициентами

Общий вид таких дифференциальных уравнений следующий:

где a, b R [16].

Дифференциальное уравнение вида (6.1 ) решается разделением переменных, т. е.

Интегрируем левую и правую части последнего выражения и получаем:

216

Таккакпостояннаяможетбытьлюбая,обозначим и получаем общее решение дифференциального уравнения (6.1 )

(6.14)

Пример 6.7. Найдем общее решение дифференциального уравнения

y′ + 2y + 5 = 0.

6.3.дифференциальныеуравнения2-гопорядка

6.3.1.Общеепонятие

Дифференциальные уравнения второго порядка имеют следующий вид

или

217

Если уравнение (6.15) можно разрешить относительно второй производной, то оно примет вид [2, 22]

Простейшим случаем дифференциального уравнения второго порядка является дифференциальное уравнение вида

которое решают двукратным интегрированием, т. е.

В качестве примера найдем общее решение дифференциального уравнения

Заметим, что дифференциальное уравнение вида (6.16) имеет бесконечное множество решений, которые задаются формулой

содержащей две произвольные постоянные. Выражение вида (6.18) называется общим решением дифференциального урав-

нения (6.16).

Частное решение дифференциального уравнения (6.16) находится при помощи задания начальных условий:

и

Найдем частные решения рассмотренного дифференциального уравнения y″=x2 при следующих начальных условиях

218

и

Тогда получаем следующую систему уравнений для нахождения постоянных С1 и С2.

Поэтому частное решение исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:

Геометрический смысл начальных условий заключается в том, что помимо точки с координатами (х0, у0), через которую должна проходить интегральная кривая, задают еще угловой коэффициент касательной (y′0) к этой кривой. Так как общее решение дифференциального уравнения второго порядка зависит от двух произвольных постоянных, то через данную точку проходит бесконечное множество интегральных кривых, но одна из них имеет заданный угловой коэффициент (y′0).

Будем считать, что правая часть дифференциального уравнения (6.16) f (x, y, y′) является функцией трех независимых аргументов, так как при задании начальных условий координаты х0, у0 и угловой коэффициент касательной y′0 ничем между собой не связаны.

Тогда сформулируем теорему существования и единственности решения дифференциального уравнения вида (6.16).

Если функция f (x, y, y′) непрерывна в окрестности значений х0, у0, y′0, то дифференциальное уравнение вида (6.16) име-

ет решение y = y(x) такое, что y(x0) = y0 и y′(x0) = y′0. Если кроме этого непрерывны и частные производные

и то это решение единственное [2, 22].

219

Как и для дифференциального уравнения первого порядка, задача отыскания частного решения по начальным условиям называется задачей Коши.

Для дифференциальных уравнений второго порядка выделение частного решения можно проводить путем задания так называемых краевых условий. В этом случае задаются значения функции у в двух различных точках

и

В качестве примера найдем частное решение дифференциального уравнения y″=x2 при следующих краевых условиях:

и.

Подставляяэтизначениявобщеерешениеисходногоуравнения, получим систему уравнений для нахождения неизвестных постоянных С1 и С2.

Таким образом, искомое частное решение имеет вид

В рассмотренном случае получилось одно частное решение, удовлетворяющее заданным краевым условиям, но так бывает не всегда. Дифференциальное уравнение вида (6.16) может не иметь решения, удовлетворяющего заданным краевым условиям или иметь бесконечное множество таких решений. В этом состоит коренное отличие задания краевых условий от задания начальных условий [2, 6, 22].

6.3.2.Линейныеоднородныедифференциальныеуравнениявторого порядкаспостояннымикоэффициентами

К ним относятся дифференциальные уравнения вида

где a R, b R.

220