baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

1 )

14)

15)

16)

17)

18)

Объединениеформулы17и18идаетформулу11таблицынеопределенных интегралов. Заметим, что кроме основной таблицы интегралов существуют таблицы интегралов от элементарных и специальных функций, например. (Брычков Ю. А., Маричев О. И., Прудников А. П. Таблицы неопределенных интегралов. — М.: Наука, 1986; Интегралы и ряды. В т. — М.: Наука, 1986).

Задача “взятия” неопределенного интеграла состоит в том, чтобы преобразовать его к табличному.

Приведем свойства неопределенного интеграла.

1.Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций, т. е.

2.Постоянный множитель подынтегральной функции можно выносить за знак неопределенного интеграла, т. е.

где k [ R.

. Любая формула интегрирования сохраняет свой вид при постановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т. е. если

151

то и

где u = u(x) — любая дифференцируемая функция от x.

В силу свойства таблица неопределенных интегралов (основная таблица) будет справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой дифференцируемой функции от нее, т. е. основная таблица интегралов сразу значительно расширяется [2, 22].

Методыинтегрирования

1. Непосредственное интегрирование. Используется таб-

лица интегралов, свойства неопределенных интегралов и различные преобразования подынтегрального выражения.

Пример 5.1.

Пример 5.2.

Пример 5.3.

Пример 5.4.

[Воспользуемся формулами cos 2x = cos2 x – sin2 x,

152

cos 2x = 1 – 2sin2 x, . Последнее выражение подстав-

ляем вместо подынтегральной функции]

=

[Заметим, что d2x = 2dx заменяем 2х на y, т. е. 2х = y.]

[Возвращаемся к прежнему аргументу] =

Таким образом, в примере 5.4 использовали еще один метод интегрирования (замена переменной), который более подробно рассмотрим ниже.

2. Интегрирование по частям. Этот метод следует из фор-

мулы дифференцирования произведения двух функций. Пусть u(x) и v(x) — дифференцируемые функции аргу-

мента х, тогда имеем

(uv) = u v + v u, или d (uv) = v du + u dv, u dv = d(uv) – v du.

Интегрируем обе части последнего равенства и получим.

(5.2)

Это и есть формула интегрирования по частям.

Этот способ состоит в том, что подынтегральное выражение представляется в виде произведения двух множителей u и dv и заменяется двумя интегрированиями:

1)отыскание v из выражения для dv;

2)отыскание интеграла от vdu.

15

Смысл способа состоит в том, что эти два интегрирования выполнить легче, чем “взять” исходный интеграл [2, 6, 22].

Рассмотрим конкретные примеры и применения данного метода.

Пример 5.5.

В данном примере выбор u и dv производится однозначно, но так бывает не всегда.

Пример 5.6.

но если принять

то

т. е. получим более сложный интеграл, чем исходный.

Бывает случаи, когда формулу (5.2) надо применять несколько раз.

Пример 5.7.

[К интегралу опять применим формулу (5.2), полу-

чим

u = cos x; du = -sin xdx; dv = exdx; v = ex]

=

154

Переносим в левую часть равенства и получим:

(постоянная может быть любой, возьмем ее равной 2С),

Пример 5.8.

Переносим в левую часть и получаем

) Метод замены переменной. Его применяют в том слу-

чае, если исходный интеграл сложно или невозможно с помощью алгебраических и иных преобразований свести к одному или нескольким табличным интегралам [2, 16].

Способ заключается в следующем: заменяется новой переменной такая часть подынтегральной функции, при дифференцировании которой получается оставшаяся часть подынтегрального выражения (не считая постоянного множителя,

155

на который всегда можно умножить или разделить подынтегральное выражение).

Метод замены переменной основан на следующей теореме. Пусть некоторая функция w(t) = x определена и дифференцируема на некотором промежутке [a, b], пусть X — множество значений этой функции, на котором определена функция f (x). Тогда, если на множестве Х функция f (x) имеет первообразную, то на отрезке [a, b] справедлива формула

. (5. )

В некоторых случаях лучше использовать замену пе-

ременной не в виде x = w (t), а t = c (x) [2, 16, 22].

Приведем конкретные примеры.

Пример 5.9.

Найти

[Можно разложить подынтегральную функцию, используя бином Ньютона, но это будет слишком длинно, поэтому де-

чим]

= [Или, возвращаясь к первоначальной переменной х, имеем]

Пример 5.10.

[Теперь делаем замену переменной

[Возвращаем переменную х и получаем]

156

Пример 5.11.

=[Теперь делаем замену переменной

[Возвращаем переменную х и получаем]

Пример 5.12.

[Заметим, что

= [Делаем замену переменной y = x + 7]

[Возвращаем переменную х и получаем]

Пример 5.13.

[Заметим, что

[Теперь делаем замену переменной

157

[Возвращаем переменную х]

Пример 5.14.

[Заметим, что ]

[Теперь делаем замену переменной t = sin2 x]

[Возвращаем переменную х]

Интегрированиерациональныхдробей

ЛюбаярациональнаяфункцияR(x)можетбытьпредставле-

Если степень числителя (m) больше или равна степени знаменателя (n), то, разделив P(x) на Q(x), получим многочлен P1(x) и в остатке многочлен P2(x) не выше (n – 1) степени, т. е.

Интегрирование P1(x) проходит без проблем.

Надо проинтегрировать правильную рациональную дробь,

158

Каждому множителю (x2 + px + q)t соответствует сумма t простейших дробей вида:

(5.4)

Пример 5.15.

[Делаем замену переменной, обозначив тогда получим

Дробь — правильная рациональная дробь; раз-

ложим ее на простейшие дроби (см. 5.4)

где А и В неизвестные коэффициенты, которые необходимо найти. Освобождаясь от знаменателя, имеем:

1 = A(y + 1) + B(y – 1); 1 = Ay + A + By – B.

Приравнивая коэффициенты при y и y0, получим систему уравнений для определения А и В.

159