baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Искомая матрица имеет размер (4 9) и выглядит следующим образом

2.Матрица смежности.

Пусть задан псевдограф (имеет петли) содержащий n вершин и m ребер.

Матрицей смежности этого графа As называется матрица размера n n, т. е.

As = (aij),

Любой элемент этой матрицы aij в случае ориентированного графа определяется следующим образом [10].

если вершины (ViVj) [ ek и ребро исходит из вершины Vi;

впротивоположном случае.

Вслучае, если граф G неориентированный, то любой элемент его матрицы смежности определяется так:

если вершины Vi и Vj принадлежит ребру ek; в противоположном случае.

41

Искомая матрица смежности имеет размер 4 4 и выглядит так:

В том случае, если граф кроме петель имеет параллельные ребра матрица As находится по следующим правилам [7].

Если задан ориентированный граф, то каждый элемент его матрицы смежности находится так:

числа ребер, выходящих из вершины Vi и входящих в вершину Vj;

впротивоположном случае.

Вслучае неориентированного графа имеем:

числа ребер между смежными вершинами Vi и

Vj;

в противоположном случае.

Найдем матрицу смежности для графа, изображенного на рис 1. 2.

Рис. 1.32

42

Данному графу соответствует матрица смежности размера 4 4, имеющая вид:

Раскраски

Задачи раскраски вершин или ребер графа занимают важное место в теории графов. Особенностью этих задач является существование объектов, которые по каким-то причинам могут быть объединены в одну группу.

Пусть G = (V, Е) — граф, k [ N. Произвольная функция вида f: VG {1, 2, , …, k} называется вершинной k-раскраской, или просто k-раскраской. Раскраска называется правильной, если для любых смежных вершин Vi и Vj выполняется неравенство f(Vi) f(Vj). Граф, для которого существует правильная k-раскраска называется k-раскрашиваемым. В определении раскраски вместо множества {1, 2, , …, k} можно взять произвольное k-элементное множество. Правильную k-раскраску графа можно трактовать как окрашивание каждой его вершины в один из k цветов, при этом смежные вершины должны быть окрашены в разные цвета. При k-раскраске может быть использовано и менее k цветов. Правильную k-раскраску графа G можно рассматривать как разбиение

V1 < V2 < … < Vt = VG, t # k

множествавершинVGнанеболеечемkнепустыхклассов,каждый из которых является независимым множеством. Классы этого разбиения называются цветными классами. Минимальное число k, при котором граф G является k-раскрашиваемым, называется хроматическим числом этого графа и обозначается Х(G). Если Х(G) = k, то граф G называется k-хроматическим.

4

Правильная k-раскраска G при k = Х(G) называется минималь-

ной [10, 27].

Нарис.1. приведенаоднаизправильных4-раскрасок,при- чем меньшим числом цветов этот граф раскрасить нельзя [10].

V6

Рис. 1.33

Плоскиеипланарныеграфы

В некоторых случаях необходимо знать, можно ли изобразить граф на плоскости так, чтобы его изображение удовлетворяло некоторым условиям. Например, в радиоэлектронике при изготовлении микросхем проводники электрического тока не должны пересекаться. Такая же задача возникает при проектировании железнодорожных трасс, когда нежелательны переезды. Поэтому вводится понятие плоского графа.

Плоским называют граф, вершины которого являются точками плоскости, а ребра непрерывными плоскими линиями без самопересечений, соединяющими соответствующие вершины так, что никакие два ребра не имеют общих точек, кроме инцидентной им обоим вершины [10].

Примеры плоских графов показаны на рис. 1. 4.

Любой граф, изоморфный плоскому графу, называется планарным [10]. На рис. 1. 5, а приведен плоский граф, а на рис. 1. 5, б — планарный граф, изоморфный графу на рис. 1. 5, а.

44

Рис. 1.34

Проблема раскраски планарных графов является одной из самых знаменитых в этой теории. Первоначально вопрос формулировался так: достаточно ли четырех красок для такой раскраски произвольной географической карты, при которой любые две соседние страны окрашены в разные цвета. Рассматриваются только те карты, в которых граница любой страны состоит из одной замкнутой линии, а соседними считаются страны, имеющие общую границу ненулевой длины.

Позднее понятие карты сформулировали так: карта — это связный плоский мультиграф без мостов (ребро графа называется мостом, если его удаление увеличивает число компонент графа, мостами являются ребра e и t в графах на рис. 1. 5, а, б).

В1879 г. английский математик А. Кэли сформулировал гипотезу четырех красок так: всякая карта 4-раскрашиваема.

Часто пользуются другой формулировкой: всякий планарный граф 4-раскрашиваем.

В1890 г. Р. Хивуд показал, что если 4 заменить на 5, то гипотеза легко доказывается, т. е. верна теорема: всякий планарный граф 5-раскрашиваем.

45

Эйлеровыцепи

Как уже упоминалось, с задачи о кенингсбергских мостах началась теория графов. На рис. 1. 6 показан план расположения семи мостов на реке Преголь в городе Кенингсберге (ныне Калининград). Задача состоит в том, чтобы пройти каждый мост по одному разу и вернуться в исходную точку [10, 21, 25].

аb

f

B

Рис. 1.36

Так как существенны только переходы через мосты, план города можно свести к изображению графа, в котором ребра соответствуют мостам, а вершины — раз- С личным, разделенным мостами, участ-

gками города (рис. 1. 7).

теорему: конечный граф G является Эйлеровым графом тогда и только тогда, когда: а) граф является связным; б) степени всех его вершин четные.

46

Из теоремы Л. Эйлера следует, что задача о кенингсбергских мостах не имеет решения (граф на рис.1. 7 не Эйлеров, так как степени всех его четырех вершин являются нечетными d(A) = 5; d(B) = ; d(C) = ; d(D) = ).

Если обобщить задачу Л. Эйлера, то надо искать наименьшее число не пересекающихся по ребрам цепей Ni, которые необходимы для того, чтобы покрыть конечный связный граф G, т. е. включающий все его ребра в цепи Ni. Решение этой задачи сводится к задаче Л. Эйлера.

Задачидлясамостоятельногорешения

1.Дано: Х = {-5, 17, 22, 4, 101}; Y = {-17, 0, 22, 4, 102, 505}.

Найти Х < Y, Х > Y, Х\Y, Y\Х, ХDY.

2.Дано: Х=(-`;5]; Y=[-7;607).

Найти Х < Y, Х > Y, Х/Y, Y/Х.

. Докажите, что отрезки [0,1] и [0,5] равномощны.

4.Дано: Х = {1, 2, }; Y = {7, 8} = {(1,7), (1,8), (2,8), ( ,7)}.

Построить матрицу и граф отношения .

5.Сколькими способами в отделе, состоящем из 100 человек можно выбрать начальника и его заместителей?

6.Есть шесть видов конвертов без марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для отправки письма?

7.Из двенадцати человек надо выбрать пять и разместить их на занумерованных стульях (по одному человеку на стул). Сколькими способами это можно сделать?

8.Сколькими способами можно посадить за стол четырех мужчин и четырех женщин так, чтобы женщины и мужчины не сидели рядом?

9.Сколько различных восьмизначных чисел можно составить, используя цифры ,4,5?

10.Найти матрицы инцидентности для 2 графов:

47

вопросыдлясамопроверки

1.Какие способы задания множеств вы знаете?

2.Какое множество называется универсальным?. Какое отношение называется бинарным?

4.Что называется числом сочетаний из n элементов по m?

5.Что называется числом размещений из n элементов по m?

6.Что называется перестановкой из n элементов?

7.Какие графы называются изоморфными?

8.Какие графы называются Эйлеровыми?

9.Что такое степень вершины графа?

10.Какие графы называют деревьями?

11.Что такое k-раскраски графа?

12.Какие графы называют планарными?

48

2.ЭлеМентылинейнОй

ивектОрнОйалгебры

Линейная алгебра — это часть математики, посвященная в основном теории матриц и связанной с нею теории линейных преобразований, векторных пространств. Она включает теорию форм, теорию инвариантов, тензорную алгебру.

В данном учебнике мы рассмотрим понятие матрицы, ее применение для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), а также определители, векторы, собственные числа и векторы матриц.

2.1.Матрицы,определителииихсвойства

Матрицей называется прямоугольная таблица размером m (число строк) на n (число столбцов), заполненная некоторыми математическими объектами [28]. Мы будем рассматривать матрицы, элементами которых являются действительные числа.

Как правило матрицы обозначают большими буквами (A, B,…), а их элементы маленькими буквами с двумя индексами, указывающими номер строки и номер столбца (aij, bij,…). Прямоугольную матрицу размера m n записывают следующим образом:

Если заменить строки матрицы ее столбцами (столбцы строками), то получим транспонированную матрицу, которую обозначают заглавной буквой с индексом T наверху:

49

Рассмотрим некоторые типы матриц [19, 29].

Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то мы имеем квадратную матрицу:

Элементы a11, a22, …, ann называются главной диагональю, а их сумма — это след матрицы.

Элементы a1n, a2(n-1), …, an1 составляют побочную диагональ. Если все элементы матрицы, кроме элементов, стоящих на главной диагонали, равны нулю, то мы имеем диагональную

матрицу:

Если все ненулевые элементы диагональной матрицы равны 1, то мы имеем единичную матрицу:

50