baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

С числами связано функциональное тождество, которое называется формулой бинома Ньютона

При а = 1 имеем

Пример 1.12. Используя бином Ньютона найти (1 + b)7.

1.3.Основытеорииграфов

Впервые термин “граф” был употреблен венгерским математиком Д. Кенигом в 19 6 г. Но начало теории графов было положено Л. Эйлером в 17 6 г., когда он решил задачу о кенигсбергских мостах и нашел критерий существования в графе специального маршрута (эйлерова цикла). Но как математическая дисциплина теория графов сформировалась именно в первой трети ХХ в. Эта теория располагает аппаратом решения различных прикладных задач из разных областей науки и техники, например, сетевое планирование и управление [10, 21]. В настоящее время теория графов — один из наиболее быстро развивающихся разделов математики.

Предположим, что V — это непустое конечное множество, а V(2) — это множество всех его двухэлементных подмножеств. Множество Е является произвольным подмножеством множес-

тва V(2), т. е. E # V(2).

Тогда графом (G) называется пара множеств (V, E), т. е. G = (V,E),гдеVG—множествовершинграфа,аEG—множество его ребер [10, 21, 25]. Любое ребро графа определяется парой его вершин. Если все пары вершин упорядоченные, то граф назы-

1

вается ориентированным (его ребра обозначают стрелками), в противном случае он — неориентированный. В том случае, если в графе есть ориентированные и неориентированные ребра, он называется смешанным. Ориентированный граф G можно задать как отношение, т. е. как подмножество прямого произведения множества его вершин V само на себя.

G # V V.

Вэтомслучаемножествовсехдвухэлементныхподмножеств V(2) заменяется декартовым произведением V V = V(2) [10].

Графы обычно изображаются в виде рисунков, на которых вершины изображаются кружками (точками), а ребра отрезка-

ми (рис. 1.12).

Приведем конкретный пример.

Пример 1.13. Пусть задано множество V={1,2, }. Тогда

2

множества V(2). Употребление термина “семейство” говорит о том, что элементы множества V(2) могут повторяться (возможны параллельные ребра) [10].

Если граф не имеет петель и параллельных ребер его называют простым (см. рис. 1.1 ). Граф G называется графом порядка n, если он содержит n вершин. (На рис. 1.18 приведен граф восьмого порядка.) [21].

Рис. 1.18

Граф, который не имеет ребер (состоит только из вершин) называется пустым (рис. 1.19).

Граф, не имеющий вершин, называется ноль-графом ([). Две вершины называются смежными, если они являются кон-

4

то используют понятия инцидентности, т. е. ребро инцидентно своим концевым вершинам (например, ребро e инцидентно

вершинам V2 и V ).

Число инцидентных вершине ребер называется степенью (валентностью) этой вершины и обозначается d(Vi). Например, степень вершины V2 равна (d (V2) = ) [10, 21, 27].

Вершина степени 1 называется висячей, вершина степени ноль — изолированной, а петля при вершине добавляет в степень этой вершины двойку.

V1 V V4

Рис. 1.21

Например, вершина V4 на рис. 1.21 является висячей, а вершина V6 — изолированной, а степень вершины V1 равна 4 (dV1 = = 4, два ребра и петля).

Граф называют полным, если две любые его вершины смежные (см. рис. 1.1 ).

Приведем без доказательства две теоремы [10].

Теорема 1.1. Сумма степеней вершин графа равна удвоенному числу его ребер. У графа на рис. 1.21 имеется 7 ребер, а сумма степени его вершин равна — 14.

Теорема 1.2. Число вершин нечетной степени в любом графе четно. Например, у графа, изображенного на рис. 1.21 таких вершин две (V4 и V5).

Может оказаться, что один и тот же граф изображается разными рисунками. Говорят, что два графа G1 и G2 изоморфны, если существует такое взаимнооднозначное соответствие между множествами их вершин и ребер, что соответствующие ребра графов ицидентны соответствующим вершинам этих

5

графов [25]. Если ребра ориентированы, то их направления также должны соответствовать друг другу.

На рис. 1.22 приведен пример изоморфных графов [10].

Рис. 1.22

В тех случаях, когда необходимо различать изоморфные графы помечают их вершины и (или) ребра (рис. 1.2 ).

вершины и ребра в маршруте могут повторяться. Например,

маршрут V1e1 V2e5 V4e6 V1e8 V6e7 V4 на рис. 1.24.

Маршрут называют открытым, если его конечные вершины различны, в противном случае он является замкнутым, на-

пример маршрут V1e1 V2e5 V4e6 V1e8 V6e7 V4e6V1 на рис. 1.24. Маршрут называют цепью, если все его ребра различны.

Цепь является открытой, если ее конечные вершины различны, в противном случае она — замкнутая.

6

V6

Рис. 1.25

На рис. 1.25 V2e1 V e V5e1 V1e5 V e8V4 — открытая цепь, а V1e1 V5e V e2 V2e1 V e7 V1 — замкнутая цепь.

Открытую цепь называют путем, если все ее вершины раз-

личны, например V4e8 V e6 V1e11 V6 на рис. 1.25.

Замкнутую цепь называют циклом, если все ее вершины за исключением концевых различны, например V e V5e1 V1e7

V на рис. 1.25.

Две несовпадающие вершины Vi и Vj в графе G называется связными, если существует маршрут Vi - Vj.

Граф G называют связным, если две его любые несовпадающие вершины могут быть соединены маршрутом. Например, связными являются графы на рис. 1.24 и 1.25, а несвязным — граф, изображенный на рис. 1.26.

7

Рис. 1.26

Деревьяилес

Большую роль в различных отраслях науки имеют связные ациклические (не имеющие циклов) графы, которые на множест- веVвершинимеютЕ=(V–1)ребер,т. е.G=(V,(V–1)).Этиграфы носят название деревьев [10, 21]. Заметим, что (V – 1) — это минимальное количество ребер для того, чтобы граф был связным.

Примерами древовидной структуры являются генеалогический граф, схема вертикали управления любой организации, совокупность всех файлов, размещенных на диске ПЭВМ. Пример дерева приведен на рис. 1.27.

Несвязный граф, компонентами которого являются деревья, называется лесом (рис. 1.28).

Матрицыграфов

1.Матрица инцидентности.

Рассмотрим простой граф G (без петель и параллельных ребер), имеющий n вершин и m ребер. Ему соответствует матрица инцидентности размера n m, т. е.

АI = [aij], где

8

12 1 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2 24 25 26

27 28 29 0 1

Рис. 1.27

Рис. 1.28

Каждый элемент этой матрицы aij в случае ориентированного графа определяется следующим образом [10, 21].

если ребро j инцидентно вершине i и исходит из нее;

если ребро j инцидентно вершине i и входит в нее;

если ребро j неинцидентно вершине i.

В случае неориентированного графа имеем

9

если ребро j инцидентно вершине i; если ребро j неинцидентно вершине i.

Рассмотрим конкретный пример. Имеем ориентированный граф, имеющий 5 вершин и 7 ребер. (рис. 1.29).

Рис. 1.29

Ему соответствует матрица инцидентности размера 5 7 следующего вида

40