baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

она способна создавать модели изучаемых явлений1, а во-вто- рых — используется для обработки цифровых данных (как средство расчета).

В настоящее время различные численные и аналитические методы используются не только в естественных, но и в гуманитарных науках, например в социологии, лингвистике, юриспруденции, экономике.

С одной стороны, с помощью математических методов можно более глубоко анализировать сложные экономические явления и процессы, а с другой — проблемы экономики стимулирует разработку новых математических теорий. Например, необходимость решения задач экономического планирования привела к разработке теории линейного программирования в

0-х гг. XX в. [19].

Можно сделать вывод о том, что глубокое изучение экономических процессов и управление ими невозможны без знания современного математического аппарата. Математическая подготовка современного специалиста в области экономики имеет свои специфические особенности, связанные со сложностью проведения финансово-экономических операций и принятия рациональных управленческих решений по ним.

Как наука математика имеет определенное математическое мировоззрение, однако для специалистов в области экономики, менеджмента, психологии и юриспруденции математика является прежде всего мощным инструментарием при проведении необходимых расчетов и исследований, а также фундаментом, на котором строится современное здание высшего профессионального образования.

Материал учебника представлен в виде двух разделов и предназначен для студентов 1-го и 2-го курсов гуманитарных специальностей вузов.

1 Математической моделью изучаемого явления называется логическая конструкция, которая отражает геометрические формы этого явления и количественные соотношения между его числовыми параметрами.

11

Первый раздел “Основы дискретной и высшей математики” состоит из семи глав. В первой главе “Основы дискретной математики” представлены основы теории множеств, введены элементы комбинаторики и основы теории графов. Вторая глава “Элементы линейной и векторной алгебры” посвящена матрицам,векторам,определителямиихсвойствам,атакжедействиям над ними. Приведены методы решения систем линейных алгебраических уравнений. В третьей главе “Функции и пределы” дано определение функции, способы ее задания и основные свойства, а также числовой последовательности и предела. Рассмотрены признаки существования предела, первый и второй замечательные пределы, дано понятие комплексных чисел. В четвертой главе “Основы дифференциального исчисления” кратко рассмотрены такие фундаментальные понятия, как производная, дифференциал, их геометрический смысл, даны понятия функции многих переменных и частных производных, а также приведены некоторые сведения о приложениях дифференциального исчисления (формула Тейлора, правило Лопиталя, исследование функции с помощью производной). В пятой главе “Элементы интегрального исчисления” раскрыто содержание интегрального исчисления, приведены определения и свойства неопределенного, определенного, несобственного и кратного интегралов, а также способы их вычисления. Рассматриваются приложения интегрального исчисления. Шестая глава “Некоторые сведения о дифференциальных уравнениях” написана на основе материала, изложенного в предыдущих главах. В ней представлены обыкновенные дифференциальные уравнения первого и второго порядка с постоянными коэффициентами, а также методы их решения. Особое место занимает решение линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Дано также понятие решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Седьмая глава “Ряды” посвящена исследованию числовых, функциональных и степенных рядов.

Второй раздел “Теория вероятностей и математическая статистика” включает в свой состав шесть глав. Восьмая гла-

12

ва “Случайные события” раскрывает понятия аппарата теории вероятностей, способы нахождения вероятности случайных событий, правила действия с вероятностями и основные теоремы. В девятой главе “Случайные величины” представлена классификация случайных величин, законы распределения случайных величин (СВ) и формы их представления, а также числовые характеристики и распределения СВ и случайного вектора. По объему десятая глава “Функции случайных аргументов” является небольшой и посвящена теоремам и определению числовых характеристик функций случайных аргументов. Прикладное значение имеет содержание одиннадцатой главы “Статистические методы оценивания характеристик продукции”, в которой раскрыта сущность выборочного метода оценивания и основных предельных теорем теории вероятностей (теоремы Чебышева, Бернулли и Ляпунова). Оценивание законов распределения случайных величин, точечное и интервальное оценивание числовых характеристик случайных величин составляют содержание двенадцатой главы “Методы статистической обработки результатов испытаний”. Тринадцатая глава “Статистическая проверка гипотез” раскрывает сущность классического метода и метода последовательного анализа Вальда, а также их соотношение. Заканчивается каждая глава задачами для самостоятельного решения и вопросами для самопроверки.

Представленный курс математики охватывает большинство разделов, изучаемых студентами гуманитарных специальностей вузов. При написании книги авторы придерживались современных точек зрения на понятия, о которых идет речь, и не отступали от общепринятых взглядов. Авторы стремились изложить материал в доступной для студентов форме. При этом материал по дискретной математике, в частности по теории графов, теории вероятностей и математической статистике, будет полезен студентам, изучающим психологию, менеджмент и юриспруденцию. Однако авторы издания не претендуют на исчерпывающую широту охвата учебного материала из-за ограничений на объем книги.

1

разделI ОснОвыдискретнОй

ивысшейМатеМатики

1.ОснОвыдискретнОйМатеМатики

1.1.Понятиемножества

Понятие множества не определяется через другие понятия математики, т. е. оно является первичным. Появилось оно в конце XIX в. в работах Г. Кантора (о сравнении мощностей множеств) [5, 8]. Г. Кантор определил множество как “объединение в одно целое объектов хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью”. Разумеется, это определение не может рассматриваться как строгое математическое, его, впрочем, не существует, так как понятие множества является исходным, на его основе строятся остальные понятия математики.

Множество состоит из каких-то объектов. Например, существует множество натуральных чисел (N), множество всех звезд нашей Галактики, множество всех жителей Российской Федерации и т. д. Объекты, входящие в данное конкретное множество являются его элементами. Различают конечные (состоящие из конечного числа элементов) и бесконечные множества.

Множества будем обозначать заглавными буквами A, B, C,…, X, Y, Z, а их элементы — малыми буквами а, b, с, …, x, y, z. Тот факт, что элемент х принадлежит множеству Х обозначают так: х [ Х, а не принадлежит — х Х.

14

Если все элементы множества Х являются также элементами множества Y, то множество Х есть подмножество множества Y. Это записывается следующим образом Х , Y или Y . Х.

Множество всех подмножеств множества Y называется степенью этого множества и обозначается 2y или P(Y).

Множество Х и Y являются равными (состоят из одних и тех же элементов) Х = Y, если Х , Y или Y . Х. Может использоваться следующая запись Х # Y, т. е. либо Х = Y, либо Х , Y (является собственным подмножеством множества Y).

Вводится понятия пустого множества ([), которое не содержит не одного элемента. Например, множество решений уравнения х2 + 4 = 0 есть пустое множество.

Способызаданиямножеств[5,8]

а) Словесное описание.

Например, множество Х есть множество всех прямых, проходящих через точку А плоскости .

б) Перечисление элементов, входящих в множество. Например, Х = {-7, 0, 12, 12 , 700}. Элементы в приведенном

списке могут располагаться в любом порядке и должны быть различны, т. е. множества Х = {5, 5, 7} и Y = {5, 7} равны между собой. Если во множестве есть совпадающие элементы, то его называют семейством Z = (5, 9, 9, 12, 12, 2 ) и заключают в круглые скобки.

в) Описание свойств элементов, входящих в множество.

Х = {x | [(х – )(х – 5)] > 0}, т. е. элементами множества Х будут только те числа, которые удовлетворяют неравенству

(х – )(х – 5) > 0.

Если обозначить через Q(х) свойства элементов, входящих во множество Х, то для задания этого множества в общем случае можно использовать следующую запись Х = {х | Q(х)}, т. е. множество Х состоит из тех элементов х, которые удовлетворяют свойству Q(х). Множество, которое содержит все рассматриваемые в некоторой задаче множества, называется универсальным и обозначается U.

15

Например, в качестве U можно взять множество N (заметим, что в некоторых монографиях оно начинается не с единицы, а с нуля).

Z = {z [ N | z < 6}, т. е. Z = {1, 2, , 4, 5}.

Для сокращения записи в математике используют кванторы всеобщности, существования, существования и единственности [17]:

; — квантор всеобщности (перевернутая первая буква английского слова All);

' — квантор существования (перевернутая первая буква английского слова Exists);

'! — квантор существования и единственности. Например, запись (;х [ Х) Р(х) означает: для всех х из

множества Х справедливо Р(х); запись ('у [ Y) R(у) — существует у из множества Y такое, что справедливо R(у); запись ('!z [ Z) М(z) — существует единственное z из множества Z такое, что справедливо M(z).

Операциинадмножествами[5,26]

Пусть задано универсальное множество U. Множество всех его подмножеств есть 2U. Заданы также множества Х и Y, причем Х [ 2U и У [ 2U.

Дополнением множества Х называется множество Х элементов множества U, которые не принадлежат Х:

Х = {х [ U | х Х}.

Графически операции над множествами (рис. 1.1) можно изображать с помощью кругов Эйлера (диаграмм Венна):

Пересечение (X > Y) двух множеств Х и Y состоит из элементов, принадлежащих обоим этим множествам (рис. 1.2):

X > Y={x | x [ X и x [ Y}

Объединение (Х < Y) двух множеств Х и Y состоит из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Х и У (рис. 1. ):

16

U

U

X У

Рис. 1.2

Х < Y

U

X У

Рис. 1.3

X < Y={x | x [ X или x [ Y}

Разность (Х\Y) двух множеств Х и Y состоит из элементов, принадлежащих X, но не принадлежащих Y (рис. 1.4):

X\Y = {x | x [ X и x Y}

17

Х\Y

U

XУ

Рис. 1.4

Аналогично определяется разность (Y\Х) множеств Y и Х

(рис. 1.5):

Y\X = {y | y [ Y и y X}

Y\Х

U

X

Рис. 1.5

Симметрическая разность (ХDУ) множеств Х и Y состоит из элементов, которые принадлежат ровно одному из множеств

Х и Y (рис. 1.6):

XDY=(X\Y) < (Y\X)=(X < Y)\(X > Y)

ХDY

U

X

Рис. 1.6

18

Теперь рассмотрим конкретный числовой

Пример.

Дано множество: Х = {-5, 0, , 17, 28, , 100}. Y = {-7, 0, 5, 17, , 108}.

Х> Y = {0, 17, }.

Х< Y = {-7, -5, 0, , 5, 17, 28, , 100, 108}. Х\Y = {-5, , 28, 100}.

Y\Х = {-7, 5, 108}.

ХDY = {-7, -5, , 5, 28, 100, 108}.

Мощностьмножеств

Число элементов в конечном множестве Х называют его мощностью и обозначают |X| или #Х.

Например, X = {5, 12, 2 , 111}, |X| = 4.

Если известны мощности множеств Х и Y, то можно найти мощность их объединения по формуле:

|X < Y| = |X| + |Y| – |X > Y|.

В общем случае имеем [5]:

Для подсчета элементов в конечных множествах можно использовать комбинаторику.

Если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, то в них одинаковое количество элементов.

Взаимная однозначность показывает, что каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго и наоборот.

Рассмотрим пример осуществления этого принципа. Каких подмножеств больше у 100-элементного множества:

мощности 60 или мощности 40.

19

Используем понятие числа сочетаний из n элементов по k (они отличаются только составом элементов) (более подробно в п. 1.2). Число сочетаний находится по формуле

где n! = 1 2 … n (читается n факториал). В нашем случае имеем:

Поэтому у 100-элементного множества одинаковое количество подмножеств мощности 60 и 40 элементов.

Два множества называются равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Для конечных множеств это означает, что в них одинаковое количество элементов.

Но это определение годится и для бесконечных множеств. Например, отрезки [0,1] и [0,10] равномощны, так как отображение х 10х дает нужное соответствие. [5,8].

Можно также доказать, что интервал (0,1) и луч (0, +`) равномощны. Искомое взаимно однозначное соответствие име-

Так же доказывается, что множество бесконечных последовательностей цифр 0, 1, 2, равномощно множеству бесконечных последовательностей цифр 0 и 1.

Тот факт, что множество Х равномощно (эквивалентно) множеству Y записывается так: X~Y (|X| = |Y|).

Множество называется счетным, если оно равномощно множеству натуральных чисел (N).

Например, множество целых чисел (Z) равномощно N, т. е.

Z~N.

Доказывается (см. [5]):

1) подмножество счетного множества конечно или счетно;

20