baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

при х → 0 у → 0,

тогда получим:

Пример 3.9.

т. е. бесконечно малое.

Пример 3.10.

Пример 3.11.

Пример 3.12.

Пример 3.13.

101

Пример 3.14.

Необходимо свести данный предел к первому замечательному пределу. Для этого делаем замену переменной, т. е. arcsin x = y, x = sin y, при х → 0 у → 0.

Тогда получим:

3.3.комплексныечисла

Комплексным числом t называется выражение следующего вида:

t = p + ig, p [ R, g [ R,

где i — мнимая единица (i2 = -1) [2].

В том случае, если р = 0 имеем чисто мнимое число t = ig. А если g = 0, то t = p, т. е. является действительным числом.

Поэтому множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел (С), т. е. R , C.

Величина p есть действительная часть комплексного числа t и обозначается p = Ret, а g — мнимая часть комплексного числа t и обозначается g = Imt [2].

Комплексные числа t = p + ig и = p – ig, отличающиеся только знаком мнимой части, называются комплексно сопряженными [2, 16].

102

Пример 3.15.

Комплексные числа t = 5 + 7i; = 5 – 7i являются комплексно сопряженными.

Два комплексных числа t1 = p1 + ig1 и t2 = p2 + ig2 будут равны только в том случае, когда равны их действительные и

мнимые части, т. е. p1 = p2 и g1 = g2

Пример 3.16.

Найти x и у из равенства 7у + 4хi = 18 – 9i.

Исходя из условия равенства комплексных чисел, получим

7y = 18 → y = 18/7;

4x = –9 → x = –9/4.

Любое комплексное число t = p + ig можно изобразить точкой А (р, g) на плоскости 0pg такой, что р = Rеt, g = Imt и, наоборот, каждую точку А (p, g) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа t (рис. .10).

Рис. 3.10

Плоскость 0pg называется комплексной плоскостью, ось 0р — действительной осью, а 0g — мнимой осью.

С каждой точкой А плоскости 0pg связан радиус-вектор

. Угол, образованный этим радиусом-вектором с поло-

его главным значением и обозначается аrg t. Заметим, что

-p < аrg t # p.

10

Значение аргумента находят по формулам (см. рис. .10).

где — модуль комплексного числа t [2, 16].

Алгебраической формой комплексного числа называется запись вида t = p + ig. А модуль и аргумент w комплексного числа можно рассматривать как полярные координаты вектора , изображающего комплексное число t (см. рис. .10).

Тогда получаем р = r cos w; g = r sin w; и, следовательно, комплексное число t = r(cos w + i sin w) можно записать в виде, который называется тригонометрической формой комплексного числа.

Пример 3.17.

Записать в тригонометрической форме комплексное число t = 1 + i.

Поэтому

arg t = w = p/4.

Следовательно, получим

Из формулы Эйлера cos w + i sin w = exp (iw) следует показательная форма комплексного числа [16]:

t = r exp (iw),

где r = |t|, а w = arg t.

Пример 3.18.

Найдем показательную форму комплексного числа.

104

Задачидлясамостоятельногорешения

1. Найти области определения функций:

1.1.

1.2.y = log5 (6 cos x – 2);

1. .

1.4. y = 5x – 16x2 + 2x – 7. 2. Найти пределы функций:

2.1.

2.2.

2. .

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

2.11.

2.12.

105

. Найти значение х и у из равенств:

а) 17x + 15i = 2 – 8iy;

b)6x – (5x – y)i = 7 + 2i;

c)(16 – i)x + (12 + 6)y = 10 + 6i;

d)(1 i – 10)x + (12 – 1 i)y = 12 – 2 i.

4.Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах.

a) b)

c)t = 2 – 2i;

d)t = 6i.

5. Записать комплексные числа в алгебраической и тригонометрической формах.

a)

b)

c)

d)

вопросыдлясамопроверки

1.Что называется функцией одной независимой переменной?

2.Перечислить основные элементарные функции.

. Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.

4. Что такое предел функции y=f(x) при x → x0?

Дайте определение правого и левого пределов функции y =

=f(x).

5.Дайте определение предела последовательности.

106

6.Какая функция называется бесконечно большой величиной при x → x0?

7.Какова связь между бесконечно большой и бесконечно малой величинами?

8.Сформулировать правила предельного перехода в случае арифметических действий.

9.В чем состоит правило предельного перехода для непрерывной функции?

10.Какое число называется комплексным?

11.Какие комплексные числа называются чисто мнимыми?

12.Какие комплексные числа называются сопряженными?

1 . Что называется модулем и аргументом комплексного числа?

14.Как записываются комплексное число в тригонометрической форме?

15.Как записываются комплексное число в показательной

форме?

4.ОснОвыдиФФеренциальнОгОисчисления

Дифференциальное исчисление — это раздел математического анализа, связанный в основном с понятиями производной и дифференциала функции.

4.1.Производнаяпервогопорядка.дифференциал. Производнаявторогопорядка

Производной функции y = f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при произвольном стремлении последнего к нулю [2, 20, 22].

т. е. производная функции

107

есть некоторая функция, полученная по определенным правилам из заданной функции.

Значение производной функции y = f(x) в какой-то точке x0 обозначают обычно так:

f (x0) или .

Механический смысл производной — это предел средней скорости за бесконечно малый промежуток времени.

Геометрический смысл производной вытекает из следующей теоремы.

Теорема 4.1. Если значение производной от функции y = f(x) при x = x0 равно , то прямая, проведенная через точку M0(x0, y0) с угловым коэффициентом, равным , является касательной к графику функции в точке M0.

Геометрический смысл производной иллюстрируется на рис. 4.1.

108

Проведем через точки M0 и M1 секущую, угол между секущей и положительным направлением оси 0x равен:

Будем перемещать точку M1 по кривой в сторону точки M0 т. е. устремим Dx к нулю. Предельным значением секущей будет касательная, проходящая через точку M0. Тогда получим

[2, 16, 17]:

Установим связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Она видна из следующей теоремы,

Теорема 4.2. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке она непрерывна. Обратное утверждение неверно. В качестве примера возьмем функцию y = |x|. Ее график показан на рис. 4.2.

Из него видно, что в точке х = 0 данная функция не имеет определенной касательной, а значит, не имеет в этой точке и производной.

Из определения производной следует способ ее вычисления. Найдем производную функции y = xn, где n [ Z, исходя из

определения производной

109

Итак, (xn) = nxn–1, например (x8) = 8x7.

Можно доказать, что полученная формула верна для всех n [ R [22].

Из приведенного примера видно, что использовать определение производной для ее вычисления дело достаточно трудоемкое. Поэтому гораздо проще, используя определение производной, вывести производные основных элементарных функций и сформулировать правила дифференцирования алгебраической суммы, произведения, частного функций, сложной функции, обратной функции. По полученным формулам и правилам можно будет находить производные любых элементарных функций [2].

Производныеосновныхэлементарныхфункций

(xn) = nxn-1;

(ax) = ax ln a; (ex) = ex;

(sin x) = cos x;

110