методичка_линейка _2_

этих прямых. Очевидно, что она будет принадлежать как первой, так и второй прямой. Следовательно, ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям. Поэтому для отыскания точки пересечения нужно решить систему уравнений:

A2 x + B2 y + C2 = 0

Решение даст точку пересечения этих прямых. Если система не имеет решения, то прямые не пересекаются, т.е. не имеют общей точки.

Расстояние от точки до прямой

Чтобы найти расстояние от данной точки, до данной прямой, надо уравнение прямой привести к общему виду, вместо текущих координат подставить в левую часть уравнения координаты данной точки и взять абсолютную величину полученного результата.

То есть: если уравнение прямой

L : Ax + By + C = 0 ,

Пример.

Даны прямые y = 2 x + 3, y = −3x + 2 . Найти угол между ними.

Решение:

k1 = 2 , k 2 = −3 . Тогда по формуле для нахождения угла между прямыми находим:

Таким образом, угол ϕ между прямыми:

ϕ = actg1 = 45 O .

100

Пример.

Через точку пересечения прямых 3x − 2 y +1 = 0 и x + 3y − 7 = 0 проведена прямая перпендикулярно первой из данных

прямых. Найти расстояние до полученной прямой от начала координат.

Решение:

1. Находим точку A пересечения прямых:

Следовательно A(1;2).

2.Найдем угловой коэффициент прямой, перпендикулярной к

угловой коэффициент k = − 2 .

3

3. Запишем уравнение искомой прямой:

y − 2 = − 2 (x −1) или 3 y − 6 = −2x + 2 ;

3

2x + 3y −8 = 0 .

Найдем расстояние полученной прямой от начала координат:

Контрольные вопросы

По какой формуле можно найти расстояние между двумя

точками?

Запишите формулу деления отрезка в заданном отношении.

Запишите общее уравнение прямой.

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку в заданном направлении.

101

Составьте уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Запишите уравнение прямой с угловым коэффициентом. Как вычислить угол между прямыми?

Запишите условия перпендикулярности прямых. Как найти расстояние от точки до прямой? Запишите условие параллельности двух прямых.

Задания для самостоятельной работы

параллельно прямой BC ;

уравнение медианы (AM ), проведенной через вершину A ; угол (ϕ), образованный медианой, проведенной из вершины

A , и стороной AB; площадь треугольника AB ; периметр треугольника AB .

102

Тестовые задания

Известно уравнение прямой y = − 1 x + 5 . Указать прямую,

5

перпендикулярную данной прямой Варианты ответов:

а) y = 5x − 4

б) y = − x − 5

в) y = − 1 x + 3 5

г) y = −5x − 4

Известно уравнение прямой y = 2 x + 3 . Указать прямую, параллельную данной прямой:

Варианты ответов:

а) y = 2x − 4

б) y = −4x + 3

в) y = 4x − 1

г) y = − 1 x + 3 4

3. Общее уравнение прямой L на плоскости имеет вид: Варианты ответов:

а) Ax + By + C = 0 , где n = Ai + B j ортогонален прямой L;

б) Ax + By + C = 0 , где n = Ai + B j направляющий вектор прямой L;

называются соответственно Варианты ответов:

а) (1) – параметрическим , (2) - каноническим, (3) - с угловым коэффициентом;; б) (1) - каноническим, (2) – параметрическим, (3) – с угловым коэффициентом;

в) (1) – с угловым коэффициентом, (2) – параметрическим, (3) – каноническим г) (1) – с угловым коэффициентом, (2) – каноническим, (3) –

параметрическим.

Варианты ответов:

а) (1) – параметрическое уравнение прямой в пространстве,

(2)– каноническое уравнение прямой в пространстве,

(3)- направляющий вектор прямой; б) (1) – каноническое уравнение прямой в пространстве,

(2)– параметрическое уравнение прямой в пространстве,

(3)– нормальный вектор прямой – вектор ортогональный к прямой; в)(1) – каноническое уравнение прямой в пространстве,

(2)– параметрическое уравнение прямой в пространстве,

(3)– направляющий вектор прямой – вектор коллинеарный прямой.

г)(1) – каноническое уравнение прямой в пространстве,

(2)– параметрическое уравнение прямой в пространстве,

(3) – направляющий вектор прямой – вектор ортогональный прямой.

104

называются соответственно: Варианты ответов:

а) (1) –уравнение прямой в пространстве, (2) – направляющий вектор прямой; б) (1) – уравнение плоскости в пространстве, (2) – направляющий вектор плоскости;

в) (1) – уравнение плоскости в пространстве, (2) – нормальный вектор плоскости.

г)другой ответ.

г)другой ответ.

При равенстве нулю свободного коэффициента D уравнения общего уравнения плоскости уравнение определяет:

105

Варианты ответов:

а) плоскость, параллельную координатной плоскости xOy; б) плоскость, проходящую через начало координат; в) полуплоскость; г) линию пересечения плоскостей.

Если вторая и третья координаты направляющего вектора прямой в пространстве равны нулю, то лишним является высказывание: Варианты ответов:

а) в знаменателе соответствующего уравнения прямой будут нули; б) прямая перпендикулярна плоскости yOz;

в) прямая перпендикулярна осям Oy и Oz;

г) направляющий вектор перестаёт быть направляющим.

Тематика рефератов

Взаиморасположение прямых на плоскости. Прямая, как линия первого порядка. Различные виды записи прямой.

106

ТЕМА 8 КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

8.1. Эллипс Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости,

для которых, сумма расстояний до 2-х фиксированных этой же плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная (= 2а).

Простейшее (каноническое) уравнение эллипса:

M 2 (0;b)

M 4 (0;−b)

Рис. 8.1. Графическое представление эллипса

Точки М1, М2, М3, М4 – вершины эллипса.

M1 M 3 = 2a -большая ось (a – большая полуось).

M2 M 4 = 2b -малая ось (b – малая полуось).

Так как a > b > 0 .

Точка пересечения осей симметрии называется центром эллипса: т. O(0;0), с- половина фокусного расстояния.

Имеем: a > b > 0 ; a > c ; a2 − c2 = b2 .

107

Замечание: приa = b эллипс превращается в окружность радиуса R = a и с центром в начале координат.

a

a

Рис. 8.2. Характеристика формы эллипса

Для характеристики формы эллипса пользуются эксцентриситетом (ε ).

Эксцентриситетом эллипса называется отношение половины фокусного расстояния (с) к большой полуоси, т.е.

Приε →1, c → a , следовательно, b → 0 и эллипс превращается в сдвоенную большую ось. Чем большеε → 0 , тем больше форма эллипса приближается к окружности.

Приε = 0 c = 0 , имеем окружность x 2 + y 2 = a 2 , т.е. для окружности ε = 0 .

108

Замечание.

F2 (0;c)

b

a

0

F1 (0;−c)

Рис. 8.3. Графическое представление уравнения

Пример

Построить кривую по уравнению и вычислить c, ε , построить фокусы 9x 2 + 25 y 2 = 225

Решение:

c = a 2 − b2 = 25 − 9 = 16 = 4;

ε= c = 4 = 0,8 a 5

109