методичка_линейка _2_

т.е. их результат есть число. Аналогичным образом находится каждый элемент матрицы. Например, требуется перемножить матрицы

10

Свойства операций

2.α ×(A× B) = (αA)× B = A×(α × B).

3.(A× B)×C = A×(B ×C).

4.(A + B)×C = A×C + B ×C .

5.C ×(A + B) = C × A + C × B .

6.A × E = E × A = A .

5) Если в матрице A поменять местами строки и столбцы, то новая матрица AT называется транспонированной по отношению к матрице A :

11

Свойства операций

1. (AT )T = ATT = A, т.е. если над матрицей A дважды произвести операцию транспонирования, то матрица останется неизменной.

2. (A + B )T = AT + BT , т.е. транспонированная матрица суммы двух матриц равна сумме транспонированных матриц.

12

Решение.

Найдем матрицы, транспонированные по отношению к данным

и запишем матрицу, транспонированную по отношению к ней:

Из полученного видно, что: (A × B )T = BT × AT .

13

1.2.Определители.

Определитель – это число, соответствующее квадратной матрице, вычисленное определенным образом.

Определителем второго порядка называется число,

определяемое равенством:

Пример

-2 2 = ( -2) × 4 - 2 ×(-3) = -2 .

-3 4

Определителем третьего порядка называется число,

определяемое квадратной матрицей третьего порядка.

Методы вычисления определителя третьего порядка

1. Метод треугольников (метод Саррюса)

Если элементы определителя третьего порядка записать в таблицу (3 × 3), то порядок его вычисления может быть представлен на рисунке 1.1. Тогда определитель будет равен алгебраической сумме всех произведений, причем произведения первой таблицы берут со знаком “+”, а второй – со знаком “–”.

Рис. 1.1. Элементы третьего порядка

14

Это правило называется правилом Саррюса.

2. Метод дописывания двух столбцов.

Этот способ вычисления определителя третьего порядка заключается в дописывании первых двух столбцов определителя и нахождении суммы произведений по главной диагонали и параллелях к ней за вычетом суммы произведений побочной диагонали и параллелях к ней, т.е.

(1.9)

Пример. Вычислить определитель двумя способами

=-4 - 60 + 0 - (-24 +16 + 0) = -56.

3.Третий способ вычисления определителя основан на

теореме разложения.

Минором элемента определителя aij называется

определитель, полученный из данного путем вычеркивания i -й строки и j-го столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Например, минором элемента a23 определителя

15

a11 a12 ,

a31 a32

т.е. из исходного определителя были вычеркнуты вторая строка и третий столбец.

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется

минор этого элемента, умноженный на (−1)i+ j . То есть, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент является четным числом, то минор берут со знаком “+”, а если нечетным, то со знаком “–”.

При этом полезно иметь в виду следующую схему:

где знаком плюс отмечены места тех элементов, для которых алгебраические дополнения равны минорам, взятым с их собственным знаком; и знаком минус те, для которых алгебраические дополнения равны минорам, взятым с противоположным знаком.

Теорема разложения. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример.

Вычислить определитель путем разложения: а) по первой строке; б) по второму столбцу.

а)

Замечание. Если в задании не указано, по какому столбцу (строке) проводить разложение, то лучше выбирать столбец (строку) с большим числом нулей.

16

Определитель n -го порядка задается квадратной таблицей чисел (элементов определителя), имеющей n строк и n столбцов, обозначается символом

Вычисление определителей порядка больше 3, рекомендуется проводить с помощью теоремы разложения.

Свойства определителей

1. Если в определителе поменять местами строки и столбцы, то его значение не изменится. То есть значение определителя матрицы A равно значению определителя матрицы AT , транспонированной по отношению к матрице A .

2.Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то его знак изменится на противоположный.

3.Если в определителе элементы какой-либо строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Замечание. Обратите внимание на то, что если умножаем матрицу на число, то умножаются все ее элементы на это число, а для того, чтобы умножить определитель на число – достаточно на это число умножить элементы какой либо одной строки (столбца).

4.Если в определителе какую-либо строку (столбец) умножить на некоторое число и сложить с другой строкой (столбцом), то его значение не изменится.

5.Если каждый элемент i -го столбца (строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых первый в i -том столбце (строке) имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой – вторые; элементы, стоящие на остальных местах те же, т.е.

17

необходимо:

I способ

¾вычислить определитель матрицы A (он не должен равняться нулю);

¾найти алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A (по формулам (2));

¾записать обратную матрицу по формуле (1);

¾сделать проверку, т.е. перемножить матрицы A и A−1 , в результате чего должна получиться единичная матрица E .

II способ

¾ при помощи метода элементарных преобразований, который схематически записывается так (E A) →(A−1 E)

Пример. Найти матрицу, обратную данной матрице

Решение.

Вычислим определитель матрицы A, разложив его по элементам первой строки:

= 3 × (12 - 3) - (8 - 6) + 5 × (2 - 6) = 27 - 2 - 20 = 5.

Так как A ≠ 0 то матрица Aимеет обратную.

Найдем алгебраические дополнения элементов заданной матрицы A.

19