методичка_линейка _2_

(2.1).

Система линейных уравнений называется однородной, если каждое уравнение системы является однородным.

Другими словами, систему линейных уравнений называют однородной, если столбец свободных членов системы является нулевым.

Решением системы линейных уравнений с n неизвестными называется упорядоченный набор из n чисел, которые будучи подставлены в систему, обращают каждое уравнение системы в верное числовое равенство.

говорят о строке решений, во втором – о столбце решений.

Правило Крамера.

Решение системы находят путем деления вспомогательных определителей на главный определитель системы

x1 = 1 / , x2 = 2 / , x3 =∆3 / ∆

Замечание 1. Использование правила Крамера возможно, если определитель системы не равен нулю.

Замечание 2. Формулы Крамера обобщаются и на системы большего порядка.

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы или главным определителем:

30

или третьего столбца столбцом свободных членов системы.

Сформируем главный и вспомогательные определители:

+13(8 +1)= −87 +10 +117 = 127 − 87 = 40

Вычислив все определители, по правилу Крамера найдем переменные:

Проверка:

Для этого случая также можно составить главный и вспомогательные определители, а неизвестные определять по правилу Крамера. Проблема состоит в том, что определители более высокого порядка могут быть вычислены только путем понижения порядка и сведения их к определителям третьего порядка. Это может быть осуществлено способом прямого разложения по элементам строк или столбцов, а также с помощью предварительных элементарных преобразований и дальнейшего разложения.

32

Пример. Решить систему:

Решение. Составим определитель системы и, применив свойства определителей, вычислим его:

(из первой строки вычтем третью, а затем в полученном определителе третьего порядка из третьего столбца вычитаем первый, умноженный на 2). Определитель D ¹ 0 , следовательно, формулы Крамера применимы.

Вычислим остальные определители:

Здесь выполнили те же преобразования, что и для 4 .

33

После подстановки в уравнения найденных значений убеждаемся в правильности решения системы.

2.2. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это метод решения квадратных систем линейных уравнений, в которых определитель системы не равен нулю.

Рассмотрим систему:

Обозначим через A матрицу коэффициентов при неизвестных, через X и B – матрицы-столбцы переменных и правой части.

Систему уравнений можно представить в матричной форме, она примет такой вид:

A × X = B .

Умножим это равенство на обратную матрицу

Мы получили матричную запись решения системы линейных уравнений, из которой можно заключить следующее: чтобы квадратную систему линейных уравнений решить методом обратной матрицы, необходимо найти обратную матрицу и умножить ее “слева” на матрицу-столбец B .

Пример. Решить систему методом обратной матрицы

Ранее мы нашли обратную для матрицы A – в примере 8.

Проверка показывает, что система решена верно.

2.3. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Метод Гаусса является универсальным методом решения систем линейных уравнений. Он заключается в приведении системы к треугольному виду путем последовательного исключения неизвестных и реализуется в несколько этапов:

I этап – выбирается первое ведущее уравнение, содержащее x1 , и с его помощью из всех остальных уравнений исключается x1 .

II этап – первое ведущее уравнение остается неизменным; выбирается второе ведущее уравнение из всех оставшихся и с его помощью исключается неизвестная x2 ;

III этап – первое и второе ведущие уравнения остаются неизменными. Выбирается третье ведущее и с его помощью

исключается x3 и т.д.

Когда система приведена к треугольному виду, то, двигаясь в обратном порядке, находят значения неизвестных величин.

Пример. Решить систему методом Гаусса.

35

Вкачестве первого ведущего выбираем второе уравнение, т.к.

унего первый коэффициент равен единице.

x1 =−1, x2 =1, x3 =2 .

Контрольные вопросы к теме

1.Что называется системой линейных уравнений?

2.Что называется решением системы линейных уравнений?

3.Сформулируйте правило Крамера.

4.Когда невозможно использовать метод Крамера?

5.В чем суть метода Гаусса.

6.Какие преобразования матриц используются при решении систем методом Гаусса?

7.В чем суть метода обратной матрицы.

8.Когда невозможно использовать метод обратной матрицы?

9.Как составить главный определитель при использовании метода Крамера?

10.Каким методом можно решить систему уравнений 4

порядка?

36

Задания для самостоятельной работы

Решите систему уравнений

A.методом Крамера;

B.методом Гаусса;

C.методом обратной матрицы.