методичка_линейка _2_

Добавил:

Upload2020 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет экономики и торговли им. М. Туган-Барановского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

λy1 + μy2 +νy3 = y

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.11.2020

Размер:

1.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Тестовые задания

1. Какого способа разложения на множители не существует? Варианты ответов:

а) с помощью формул сокращённого умножения; б) с помощью теорем нахождения корней квадратного уравнения; в) схема Горнера; г) вынесение за скобки общего множителя.

2. Выберете верное разложение многочлена f ( х)

= 2x3 − 6x − 4 на

множители

Варианты ответов:

а) 2 ( х +1)2 ( х − 2) ;

б) 2 ( х+1)( х − 2)2 ;

в) 2 ( х +1)( х − 2) ( х − 1) ;

г) 2( х −1) ( х − 2)2 .

3. Найдите коэффициент А в разложении

х2 − 4

(х + 3)2 (х −

х +

2) ( х + 3)2

3 х − 2

Варианты ответов:

а) -1;

б) 2;

в) 4;

г) -2.

4. Остаток от деления многочлена f ( x) = x3 − 8x − 7

на x + 3 равен

Варианты ответов:

а) -10; б) -4; в) 5; г) 4.

5. Закончите утверждение. Кратность корня многочлена f (x) = аn xn +... + а1x + а0 называется:

Варианты ответов:

а) степень многочлена n;

б) натуральное число k такое, что многочлен f (x) делится на

( х − а)k и на ( х − а)k +1 ;

в) натуральное число kтакое, что многочлен f (x) делится

на( х − а)k , но не делится на ( х − а)k +1 ; г) нет правильного ответа.

6. Известно, что один из корней многочлена

f ( x) = x4 + x3 + x2 − 4x +10 равен числу1 +i . Какое из следующих чисел обязано быть корнем этого многочлена:

Варианты ответов:

а) 1;

б) 1 + 2i ; в) 1 −i ;

г) нет правильного ответа.

7. Известно, что один из корней многочлена равен числу2 −3i . Какое из следующих чисел обязано быть корнем этого многочлена: Варианты ответов:

а) 2;

б) 2 +3i ; в) 3 −i ;

г) нет правильного ответа.

8. Укажите корень многочлена f ( x) = x4 + x3 + x2 − 4x +1 Варианты ответов:

а) 1;

б) 1 + 2i ; в) 1 −i ;

г) нет правильного ответа.

8. Укажите многочлен, корнем которого является число i: Варианты ответов:

а) f ( x) = x4 − x3 + 5x2 − 4x + 2 ; б) f ( x) = x3 − x2 − 4x +1;

в) f ( x) = 2 x5 + x3 − x2 − 4 x +1 ; г) f ( x) = x3 + x2 + x +1 .

9. Остаток от деления многочлена

f ( x) = x4 + 2x3 −8x2 + x − 7 на x − 2 равен Варианты ответов:

а) -10; б) -4; в) 5; г) 4.

10. Выберете верное разложение многочлена f (х) = 3x2 −9x + 6 на

множители Варианты ответов:

а) 3(х −1)(х − 2);

б) 3(х+ 1)(х −1);

в) 3(х +2)(х −1) ;

г) 3 (х −1)(х − 2).

Тематика рефератов

1.Теорема Гаусса

2.Методы разложения многочлена на множители.

3.Нахождение корней многочленов.

СМЫСЛОВОЙ МОДУЛЬ II ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЭЛЕМЕНТЫ

АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ТЕМА 5

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

5.1.Основные понятия

Вектором называется направленный отрезок

в котором

точка A рассматривается как начало, а точка B – как его конец.

Проекцией вектора

на ось U называется длина вектора

′

– проекции точек A

и B на ось U

(основания

где A и

перпендикуляров, проведенных из точек A и B на ось U ):

прU AB =

′

(5.1)

A B

Проекция вектора на ось равна его модулю, умноженному на

косинус угла наклона вектора к этой оси:

прU

× cos ϕ ,

(5.2)

где ϕ - угол наклона вектора

к оси U .

Замечание. Если направление вектора совпадает с направлением оси, то берем полученное значение со знаком “+”, в противоположном случае – со знаком “–”.

Координатами вектораa называются проекции этого вектора на оси координат:

ax = прx a , ay = прy a , az = прz a

и записываются:

= (ax , a y , az ) или

= axi

+ a y j + az k .

(5.3)

Координаты вектора

равны разностям соответствующих

координат его конца B(xB , yB , zB ) и начала A(xA , y A , z A ), т.е.

= (xB - xA , yB - y A , zB - z A ).

(5.4)

Длиной (модулем) вектора

называется длина отрезка AВ

и обозначается

. Длина (модуль) вектора

= (ax , a y , az )

равна

корню квадратному из суммы квадратов его координат:

	= ax2 + a y2 + az2 .	(5.5)

a

Коллинеарными называются два параллельных или лежащих на одной прямой вектора. Векторы коллинеарны тогда и только

тогда, когда

их

координаты

пропорциональны,

т.е. векторы

= (xa , ya , za )

= (xb , yb , zb )

коллинеарны, если

выполняется

соотношение:

(5.6)

Нулевым вектором 0 называется вектор, длина которого равна нулю. Этот вектор считается коллинеарным любому вектору.

Единичным вектором (ортом) называется вектор, длина которого равна единице.

Компланарными называются три вектора и более векторов, если они, будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости.

Равными называются два коллинеарных вектора, имеющих одинаковые направления и одинаковые длины.

Противоположными называются два коллинеарных вектора одинаковой длины и противоположных по направлению. Вектор, противоположный вектору a – есть вектор ( − a ), т.е.

−

− (−

) =

(5.7)

Пример. При каком значении k

векторы

= ( k; − 2)

= (5; 6)

будут коллинеарными?

Решение. Для того, чтобы векторы были коллинеарными, необходимо, чтобы их координаты были пропорциональны, т.е.

xb	= yb
xa		ya	.	(5.8)

Подставим координаты векторов в это соотношение:

5 = 6 , k −2

тогда

k = −10 = − 5 .

6 3

Пример. Даны точки

A(2; −1; 5),

B (1; −2; 4). Найти проекцию

вектора

на ось U , если известно,

что вектор и ось образуют

между собой угол в60 o .

Решение.

× cos ϕ .

В нашем

случае

, ϕ = 60o .

Найдем

прU

координаты

вектора

По

формуле

a = AB = (xB - xA , yB - y A , zB - z A ), получим, что

a = AB = (−1; −1; −1).

Определим длину вектора:

a = AB = ax2 + a2y + az2 = (−1)2 + (−1)2 + (−1)2 = 3 .

Итак,

×cosφ =

×cos 60o =

прU

5.2. Линейные операции над векторами

Суммой двух векторов

называется

вектор

который идет из начала вектора a в конец вектора b , при условии, что начало вектора b приложено к концу вектора a . При сложении векторов их координаты складываются, т.е. если a = (xa , ya , za ),

b = (xb , yb , zb ), то

	=		+		= (xa + xb , ya + yb , za + zb ).
				b		(5.9)
c		a

Суммой векторовa1 , a2 ,..., an называется вектор a , идущий из начала вектора a1 в конец вектора an , при условии, что начало вектора a2 приложено к концу вектора a1 , начало вектора a3 – к концу вектора a2 , и т.д. пока не дойдет до вектора an .

Если a1 = (x1 , y1 , z1 ), a2 = (x2 , y2 , z2 ),…, an = (xn , yn , zn ), то

a = a1 + a2 +... + an = (x1 + x2 +... + xn ; y1 + y2 +... + yn ; z1 + z2 +... + zn ).

a2 a3 a4

a2 a3 a4 a1

Замечание. Если конец вектора an совпадает с началом вектора a1 , то сумма

a1 + a2 + ... + an = 0 и вектор a является нулевым.

Разностью векторовb и a называется вектор c = b − a , который в сумме с вектором a составляет вектор b .

Разностью двух векторов, приведенных к общему началу, является вектор, идущий из конца “вычитаемого” вектора в конец “уменьшаемого”.

При вычитании векторов их координаты вычитаются, т.е. если

a = (xa , ya , za ), b = (xb , yb , zb ), то

c = b −a = (xb − xa , yb − ya , zb − za ).

Произведением вектора

на числоα

называется

вектор,

который коллинеарен вектору

, имеет

длину

направление такое же как у вектора

, если

α > 0 ,

противоположное, если α < 0 . При умножении вектора a = (x, y, z ) на число α координаты вектора умножаются на это число, т.е.

		=α		= (αx, αy, αz ).	(5.10)
	c		a

Свойства линейных операций над векторами

1.a + b = b + a .

2.(a + b )+ c = a + (b + c ).

3.(λ + μ)a = λa + μa .

4.λ × (μ × a )= (λ × μ)× a .

5.λ(a + b )= λa + λb .

6.a + (− a )= 0 .

7.a + 0 = a .


	Разложение векторов по базису
Пусть	x1 , x2 , ..., xn -		векторы пространства R;			c1 , c2 , ...,cn -
скаляры,	тогда	вектор	x = c1 x1 + c2 x2 +... + cn xn			называется
линейной комбинацией векторов x1 , x2 , ..., xn .
Если	вектор	x = c1 x1 + c2 x2 +... + cn xn равен нулю тогда и
только тогда, когда		все числа		c1 = c2 = ... = cn = 0 ,	то	говорят, что
векторы x1 , x2 , ..., xn линейно независимы.
Если вектор x = c1 x1 + c2 x2 +... + cn xn равен нулю и среди чисел
c1 , c2 , ..., cn	есть хотя бы одно, отличное от нуля, то говорят, что
векторы x1 , x2 , ..., xn линейно зависимы.
Теорема 1.	Если	векторы		x1 , x2 , ..., xn ,	принадлежащие

пространству R , линейно зависимы, то по крайней мере, хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.

Если нам задана в трехмерном пространстве система декартовых прямоугольных координат, то вместе с нею мы будем рассматривать тройку векторов, которую обозначим символами

i , j, k . Эти векторы определяются следующими условиями:

1)вектор i лежит на оси Ox , вектор j – на оси Oy , вектор k – на оси Oz ;

2)каждый из векторов i , j, k направлен на своей оси в положительную сторону;

=1,

=1.

3) векторы i

j, k - единичные, т.е.

Любой

вектор в

пространстве

может

быть выражен

при помощи линейных операций. Представление

черезi

j, k

вектора

виде

суммы

λi

+ μj +ν k

называется

разложением

вектора

по

базису

Числа

λ, μ, ν

называются

i , j, k .

коэффициентами этого разложения; векторы λi

μj, ν k

называются составляющими (или компонентами) вектора

по

базису i

, j, k .

Теорема 2.

Каким бы ни был вектор

, он всегда может быть

быть

разложен по базису i

, j, k , т.е. может

представлен в виде

a = Xi +Yj + Z k

Коэффициенты этого разложения определяются как проекции вектора на координатные оси, т.е.

X = прx a , Y = прy a , Z = прz a .

Замечание. Разложение векторов можно производить не только по базису i , j, k .

Замечание. Три вектора a1 = (x1 , y1 , z1 ), a2 = (x2 , y2 , z2 ), a3 = (x3 , y3 , z3 ) могут являться базисом пространства R3 , если определитель, составленный из координат этих векторов будет не равным нулю, т.е.

x1 x2 x3

y1 y2 y3 ¹ 0 .

z1 z2 z3

Теорема 3. Каким бы ни был вектор a , он всегда может быть выражен в виде линейной комбинации векторов

a1 , a2 , a3 , т.е.

a = λa1 + μa2 +νa3 .

Такое выражение вектора a называется разложением его по базису a1 , a2 , a3 .

Например, если требуется разложить вектор a = (x, y, z ) по

базису a1 = (x1 , y1 , z1 ), a2 = (x2 , y2 , z2 ), a3 = (x3 , y3 , z3 ), т.е. представить в виде: a = λa1 + μa2 +νa3 , следует выполнить такие действия:

1) проверить, действительно ли векторы a1 , a2 , a3 образуют базис в пространстве R3 , т.е.

	x1	x2	x3
D =	y1	y2	y3	¹ 0 ;
	z1	z2	z3

2) Найти λ, μ, ν из системы

Представить

в виде

= λ

a1 + μ

2 +ν

(в базисе

2 ,

3 вектор

a1 ,

будет иметь координаты

= {λ, μ, ν}).

Пример.

Показать, что векторы

a1 = (1; 3; 4),

2 = (− 2; 1; −1),

= (1; − 4; 3)

образуют трехмерный базис и найти координаты

вектора

= (5; − 6; 11) в этом базисе.

Решение.

- 2

D = 3

1 - 4 = 42 ¹ 0 .

4-1 3

Определитель не равен нулю, т.е.

векторы

образуют

a1 , a2 , a3

трехмерный базис.

2) Для вычисления координат вектора

в этом базисе составим

систему линейных уравнений:

λ - 2μ +

ν =

3λ + μ - 4ν = - 6

4λ - μ + 3ν =

Отсюда,

5 - 2 1

1 5 1

1 - 2 5

λ =

- 6 1 - 4

= 1 ,

μ =

3 - 6 - 4

= -1, ν =

3 1 - 6

= 2 .

11 -1 3

4 11

4 -1 11

3) Таким

образом,

a1 −

2 + 2

3 .

То

есть вектор

в базисе

имеет координаты:

= {1; −1; 2}.

a1 , a2 , a3

Радиус-вектор, его длина и направляющие косинусы

Радиус-вектором точки M (x, y, z ) называется вектор

	=		= xi

		OM		+ yj	+ zk ,	(5.11)
r

идущий из начала координат в точку M , его длина

x 2 + y 2 + z 2

Направляющими косинусами вектора

называются

cosα , cos β , cosγ ,

где α, β, γ – углы, которые составляет вектор

с осями

координат (они определяют направление вектора).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.20201.52 Mб17методичка_линейка _2_.pdf
#
03.11.202055.57 Кб2ссылки.pdf