УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА ФИЗИКИ

1. МЕХАНИКА

Основные формулы и определения

● Согласно второму закону Ньютона, произведение массы тела на его

направлению, направлено перпендикулярно скорости и равно:

an = v2/R,

где v – скорость точки; R – радиус кривизны траектории.

Тангенциальное ускорение aτ характеризует изменение скорости по величине (или по модулю), направлено параллельно скорости и равно производной от скорости по времени: aτ = dv/dt.

●Импульсом тела называется произведение массы тела на его скорость: p

=m · v . Импульсом системы тел называется сумма импульсов всех тел, входящих в систему. Импульс замкнутой системы тел сохраняется.

●Кинетическая энергия поступательного движения тела равна Wk = mv2/2. Потенциальная энергия тела, поднятого на высоту h, равна Wp = m g h, где g

=9,8 м/с2 – ускорение свободного падения, причём высота h намного меньше

радиуса Земли RЗемли.

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины равна: Wp = k x2/2, где k – коэффициент упругости; x – деформация (изменение длины пружины).

●Полная механическая энергия тела равна сумме кинетической и

потенциальной энергий: WПОЛН. = Wk + Wp.

Закон сохранения энергии формулируется так: полная механическая энергия замкнутой системы, между телами которой действуют только консервативные силы (например, сила тяжести, сила упругости), сохраняется.

●Если потенциальная энергия зависит только от одной координаты, то проекция силы на ось х равна производной от потенциальной энергии по этой

координате, взятой с обратным знаком: Fx = – dWp . dx

● Угловой скоростью называется производная от угла поворота по времени: ω = dφ/dt.

Угловым ускорением называется производная от угловой скорости по времени: ε = dω/dt.

●Моментом инерции материальной точки называется произведение массы материальной точки на квадрат её расстояния до оси вращения: I = m r 2.

●Моментом инерции твёрдого тела называется сумма произведений масс

проходящей через центр масс тела, равен:

1)Для обруча (полого цилиндра) I0 = m R2;

2)Для сплошного цилиндра (диска) I0 = m R2/2;

3)Для шара I0 = (2/5) m R2;

4)Для стержня I0 = (1/12) m l2, где l – длина стержня.

Согласно теореме Штейнера, момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями: I = I0 + m · d2.

● Момент силы равен векторному произведению радиус-вектора на силу: M = [r × F ] , где r – радиус-вектор, проведенный от оси вращения в точку приложения силы. Модуль момента силы равен:

M = F · r · sin(α),

где α – угол между силой и радиус-вектором r .

● Момент импульса материальной точки равен векторному произведению радиус-вектора на импульс: L = [r × p], где r – радиус-вектор, проведенный от оси вращения до материальной точки. Модуль момента импульса материальной точки равен L = m · v · r · sinα, где α – угол между вектором импульса m и

радиус-вектором r .

Модуль момента импульса твердого тела численно равен произведению момента инерции тела на его угловую скорость: L = I · ω.

● Согласно основному закону динамики вращательного движения, результирующий момент сил, действующих на тело, равен производной от момента импульса по времени: M = dL/dt. В другой форме: M = I · ε (при

I = const).

Тест 1-1

Если aτ и an – тангенциальное и нормальное ускорение, то соотношения aτ > 0 и an = 0 справедливы для...

Варианты ответов:

1)Равномерного и прямолинейного движения;

2)Ускоренного и прямолинейного движения;

3)Равномерного и криволинейного движения;

4)Ускоренного и криволинейного движения;

5)Замедленного и криволинейного движения;

6)Равномерного движения по окружности.

Решение

Нормальное ускорение an характеризует изменение скорости по направлению. Следовательно, если an = 0, то скорость по направлению не изменяется, и движение будет прямолинейным. Тангенциальное ускорение aτ

характеризует изменение скорости по модулю (или величине). Поэтому, если aτ > 0, то скорость по модулю возрастает, и движение будет ускоренным.

Ответ: вариант 2.

Задание С1-1 для самостоятельного решения

Если aτ и an – тангенциальная и нормальная составляющие ускорения, то соотношения: aτ = 0, an = 0 справедливы для...

Варианты ответов:

Равномерного прямолинейного движения; Равномерного ускоренного движения; Равномерного движения по окружности.

Задание С1-2 для самостоятельного решения

Выясните, каким будет характер движения, если:

1) aτ < 0, an > 0; 2) aτ = 0, an = const; 3) aτ > 0, an > 0.

Смотрите варианты ответов для теста 1-1.

Тест 1-2

Решение

Полное ускорение равно векторной сумме нормального и тангенциального ускорения: a = an + aτ . Нормальное ускорение характеризует изменение

скорости по направлению и равно an = v2/R, где v – скорость точки; R – радиус кривизны траектории. Так как по условию задачи v = const, а R при движении, показанном на рис. 9 (т. е. по часовой стрелке), уменьшается, то an

увеличивается. Другая составляющая ускорения – тангенциальное ускорение aτ – характеризует изменение скорости по величине (или по модулю) и равно

производной от скорости по времени: aτ = dv/dt. Так как скорость v = const, то её производная равна нулю и aτ = 0. Тогда а = an , т. е. полное ускорение по

модулю равно нормальному ускорению. Следовательно, полное ускорение увеличивается.

Ответ: вариант 1.

Задание С1-3 для самостоятельного решения

Объясните, что будет происходить с величиной полного ускорения при движении точки по спирали в обратном направлении (см. рис. 9), если v =

const?

Варианты ответов те же, что в тесте 1-2.

Задание С1-4 для самостоятельного решения

Точка М движется по спирали в направлении, указанном стрелкой (см. рис. 9). Нормальное ускорение по величине не изменяется. При этом величина скорости…

Варианты ответов:

1) увеличивается; 2) не изменяется; 3) уменьшается.

Задание С1-5 для самостоятельного решения

Точка М движется по спирали с постоянной по величине скоростью в направлении, указанном стрелкой (см. рис. 9). При этом величина нормального ускорения...

Варианты ответов:

1) увеличивается; 2) не изменяется; 3) уменьшается.

Задание С1-6 для самостоятельного решения Точка М движется по спирали в направлении, противоположном тому,

которое указано стрелкой на рис. 9. Нормальное ускорение по величине не изменяется. При этом величина скорости…

Варианты ответов:

1) увеличивается; 2) не изменяется; 3) уменьшается.

Тест 1-3

Точка движется по окружности с постоянным тангенциальным ускорением. Если проекция тангенциального ускорения на направление скорости положительна, то величина нормального ускорения…

Варианты ответов:

1) уменьшается; 2) не изменяется; 3) увеличивается.

Решение

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и равно an = v2/R, где v – скорость точки; R – радиус кривизны траектории. Так как по условию задачи точка движется по окружности, то R = const.

Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине (или по модулю) и равно aτ = dv/dt. По условию aτ = const и проекция тангенциального

ускорения на направление скорости положительна. Следовательно, движение по окружности будет равноускоренным. Поскольку при равноускоренном движении скорость по модулю увеличивается, то величина нормального ускорения an по

модулю такжеувеличивается. Ответ: вариант 3.

Задание С1-7 для самостоятельного решения

Тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. Как должна измениться скорость тела, чтобы при увеличении радиуса в 4 раза нормальное ускорение не изменилось?

Тест 1-4

Материальная точка М движется по окружности со скоростью v . На рис. 10 показан график зависимости vτ от времени ( τ – единичный вектор положительного направления; vτ – проекция v на это направление). На рис. 11 укажите направление вектора полного ускорения.

vτ

Варианты ответов:

1) направление 1; 2) направление 2; 3) направление 3; 4) направление 4.

изменение скорости по модулю (или величине), и нормального ускорения an ,

характеризующего изменение скорости по направлению. Рассмотрим, как направлены

t

Рис. 12

касательной к траектории (направление 1 на рис. 11), то направление тангенциального ускорения aτ при равнозамедленном движении

будет противоположно направлению 1.

При движении тела по окружности скорость изменяется по направлению, и нормальное ускорение an будет направлено к центру окружности (направление

3 на рис. 2). Результирующее ускорение, равное векторной сумме a = aτ + an , будет иметь направление 4.

Ответ: вариант 4.

Тест 1-5

Материальная точка М движется по окружности со скоростью v . На рис. 12 показан график зависимости vτ от времени ( τ – единичный вектор положительного направления, vτ – проекция v на это направление). На рис. 13 укажите направление силы, действующей на точку М в момент времени t1.

Варианты ответов:

Решение

Согласно второму закону Ньютона, ускорение пропорционально результирующей силе, действующей на тело. Полное ускорение тела складывается из векторной суммы тангенциального ускорения aτ , которое

характеризует изменение скорости по модулю, и нормального ускорения an ,

характеризующего изменение скорости по направлению. Из рис. 12 следует, что для момента времени t1 скорость по модулю линейно возрастает. Следовательно, движение будет равноускоренным, и вектор тангенциального ускорения aτ будет совпадать по направлению с вектором скорости v τ

(направление 1 на рис. 13).

При движении тела по окружности скорость изменяется по направлению, и нормальное ускорение an будет направлено к центру окружности (направление

3 на рис. 13). Результирующее ускорение равно векторной сумме a = aτ + an

потенциальная энергия равна 400 Дж. Если на поверхности Земли его потенциальная энергия равна нулю и силами сопротивления воздуха можно пренебречь, скорость, с которой оно упадёт на Землю, составит…

Варианты ответов:

1) 14 м/с; 2) 20 м/с; 3) 10 м/с; 4) 40 м/с.

Решение

Поскольку силами сопротивления воздуха можно пренебречь, то нужно применить закон сохранения энергии, согласно которому потенциальная энергия тела, поднятого над Землёй, равна его кинетической энергии в конце падения: Wp = Wk. Кинетическая энергия тела равна Wk = mv2/2. Отсюда

Задание С1-10 для самостоятельного решения

Определите, на какую высоту было поднято тело массой 2 кг, если его потенциальная энергия равна 400 Дж.

Варианты ответов:

1) 200 м; 2) 20 м; 3) 2 м.

Задание С1-11 для самостоятельного решения

Тело начинает двигаться равноускоренно. Определите, во сколько раз путь, пройденный телом за шестую секунду, больше пути, пройденного телом за третью секунду.

Варианты ответов:

Скорость шайбы в точке С…

Рис. 16

Тест 1-10

Частица движется вдоль окружности радиусом 1 м в соответствии с уравнением φ(t) = 2π (t2 – 6 t + 12), где угол φ – в радианах, время t – в секундах. Частица остановится в момент времени…

Варианты ответов:

1) 1 с; 2) 2 с; 3) 3 с; 4) 4 с.

Решение

Угловой скоростью ω называется производная от угла поворота по времени: ω = dφ/dt. Если частица остановится, то её угловая скорость станет равной нулю. Возьмём производную и приравняем её нулю. Тогда получим: (2t

– 6) = 0. Отсюда t = 3 с.

Ответ: вариант 3.

Тест 1-11

Обруч массой m = 0,3 кг и радиусом R = 0,5 м привели во вращение, сообщив ему энергию вращательного движения 1 200 Дж, и опустили на пол так, что его ось вращения оказалась параллельной плоскости пола (рис. 19). Если обруч начал двигаться без проскальзывания, имея кинетическую энергию поступательного движения

Решение

Работа равна изменению кинетической энергии тела: А = W2 – W1. По условию задачи начальная кинетическая энергия обруча равна W = 1 200 Дж. Конечная кинетическая энергия обруча при движении параллельно плоскости пола складывается из суммы кинетических энергий поступательного и вращательного движения: W2 = mv2/2 + Iω2/2, где v – линейная скорость; ω –

∆р = 32 + 42 = 5 кг·м/с. Тогда средняя сила удара по

модулю равна: F = 5 = 50 Н.

0,1

Ответ: вариант 1.

Задание С1-14 для самостоятельного решения

Теннисный мяч с импульсом 5 кг·м/с летел в горизонтальном направлении и после абсолютно упругого удара отскочил в обратном направлении от ракетки теннисиста. Длительность удара была равна ∆t = 0,2 с. Определите среднюю силу удара.

Варианты ответов те же, что в тесте 1-13.

Тест 1-14

Планета массой m движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится звезда массой М (рис. 24). Если r

– радиус-вектор планеты, то справедливым является утверждение...

Варианты ответов:

относительно центра звезды не равен нулю; Момент импульса планеты относительно центра звезды при движении по

орбите не изменяется; Для момента импульса планеты относительно центра звезды справедливо

выражение: l = mvr.

Решение

Проанализируем правильность утверждений.

1. Модуль момента силы равен: M = F · r · sin(α), где α – угол между силой F и радиус-вектором r . Сила тяготения F направлена в сторону,

противоположную радиус-вектору r , т. е. α = 180о, sin(α) = 0 и M = 0. Поэтому первое утверждение является неверным.

2.Второе утверждение является правильным, так как оно соответствует закону сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется. Поэтому момент импульса планеты относительно центра звезды при движении по орбите не изменяется.

3.Третье утверждение является неправильным, так как модуль момента

импульса равен L = mvr · sinα, где α – угол между вектором импульса m v и радиус-вектором планеты r . Очевидно, что этот угол, а также v в процессе движения изменяются, но mvr sinα = const.

Ответ: вариант 2.

Задание С1-15 для самостоятельного решения

Планета движется вокруг звезды по круговой орбите. Рассмотрите, какие утверждения из вариантов ответов к тесту 1-14 будут верными.

Задание С1-16 для самостоятельного решения

Определите направление вектора момента импульса L , если изображенный на рис. 24 эллипс лежит в плоскости чертежа.

Варианты ответов:

1)Перпендикулярно чертежу к нам;

2)Перпендикулярно чертежу за чертёж;

3)Вдоль импульса m v .

Тест 1-15

Диск радиуса R вращается вокруг вертикальной оси равноускоренно по часовой стрелке (рис. 25). Укажите направление вектора углового ускорения.

Варианты ответов:

1) направление 1; 2) направление 2;

3) направление 3; 4) направление 4.

Решение

При вращении тела поворот ϕ можно

изобразить в виде вектора, направленного вдоль оси вращения в соответствии с правилом правого винта. Это значит, что если головка винта движется по окружности в направлении вращения, то поступательное движение винта укажет направление вектора поворота. В нашем случае при

вращении тела по часовой стрелке винт (буравчик) будет закручиваться, и вектор угла поворота будет иметь направление 4. При ускоренном вращении направление вектора углового ускорения ε совпадает с направлением вектора

поворота. Следовательно, вектор углового ускорения надо изобразить в направлении 4.

ускорение при равномерном вращении равно отношению изменения угловой

иt. Пусть t1 = 0, ω1 = –10 рад/с и t2 = 2 с, ω2 = –20 рад/с.

Тогда ω = –20 – (–10) = –10 рад/с, t = 2 – 0 = 2 с, ε = (–10)/2 = –5 рад/с2.

Следовательно, тангенциальное ускорение точки равно: a τ = (–5) ·1 = –5 м/с2. Ответ: вариант 4.

Тест 1-17

Диск и цилиндр имеют одинаковые массы и радиусы (рис. 27). Для их моментов инерции справедливо соотношение...

Варианты ответов:

1) IЦ > IД; 2) IЦ = IД; 3) IЦ < IД.

Рис. 27

Решение

Моменты инерции сплошного цилиндра и диска вычисляются по одинаковой формуле: I = mR2/2. Эта формула показывает, что момент инерции не зависит от длины цилиндра.

Следовательно, IЦ = IД. Ответ: вариант 2.

Задание С1-17 для самостоятельного решения

Тонкостенная трубка и кольцо имеют одинаковые массы и радиусы (рис. 28). Для их моментов инерции справедливо соотношение...

Варианты ответов:

Тест 1-18

Если момент инерции тела увеличить в 2 раза, а скорость его вращения уменьшить в 2 раза, то момент импульса тела...

Варианты ответов:

1) увеличится в 4 раза;

2) уменьшится в 4 раза;

3) уменьшится в 2 раза;

4) не изменится.

Решение

Момент импульса тела численно равен произведению момента инерции тела на его угловую скорость: L = I · ω. Поэтому, если один сомножитель увеличить в 2 раза, а другой

уменьшить в 2 раза, то результат не изменится. Ответ: вариант 4.

Тест 1-19

При расчете моментов инерции тела относительно осей, не проходящих через центр масс, используют теорему Штейнера. Если ось вращения тонкостенной трубки перенести из центра масс на образующую (рис. 29), то момент инерции относительно новой оси увеличится в...

Варианты ответов:

1) 4 раза; 2) 2 раза; 3) 3 раза; 4) 1,5 раза.

Рис. 29

Задание С1-18 для самостоятельного решения

Из жести вырезали три одинаковые детали в виде эллипса. Две детали разрезали пополам вдоль разных осей симметрии. Затем все части отодвинули друг от друга и расставили так, как показано на рис.

1) I 1 = I 2 > I 3; 2) I 1 < I 2 = I 3; 3) I 1 = I 2 < I 3.

Тест 1-21

Вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω1 свободно вращается система из невесомого стержня и массивной шайбы, которая удерживается нитью на расстоянии R1 от оси вращения (рис. 32). Отпустив нить, шайбу перевели в положение 2, и она стала двигаться по окружности радиусом R2 = 2R1 с угловой скоростью...

Рис. 32

Варианты ответов:

1) ω2 = ω1/2; 2) ω2 = ω1/4; 3) ω2 = 4ω1; 4) ω2 = 2ω1.

Решение

Задача решается по закону сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется. Данную систему можно рассматривать как замкнутую, так как момент силы, перемещающей шайбу вдоль стержня, относительно оси вращения равен нулю. Поэтому момент импульса шайбы до перемещения равен моменту импульса шайбы после перемещения: L1 = L2. Момент импульса твердого тела равен произведению момента инерции тела на угловую скорость: L = I ω, поэтому по закону сохранения момента импульса получим: I1ω1 = I2ω2. Шайбу можно рассматривать как материальную точку, момент инерции которой равен произведению массы на квадрат её расстояния до оси вращения: I = m · R2. Тогда

получим: mR12ω1 = mR22 ω2. Отсюда: ω2 = R12ω1/R22 = ω1 · (R1 /R2)2. Так как по условию задачи R2 = 2R1 , т о ω2 = ω1/4.

Ответ: вариант 2.

Задание С1-19 для са мостоятельного решения

Вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω1 св бодно вращается система из невесомого стержня и массивной шайбы, которая удерживается нитью на расстоянии R 1 от оси вращения (рис. 32). Шайбу перевели в положение 2, и она стала двигаться по окружности радиусом R2 = 2R1/3

с угловой скоростью...

Варианты ответов:

1) ω2 = 3ω1/2; 2) ω2 = 9ω1/4; 3) ω2 = 4ω1/9; 4) ω2 = 2ω1/3.

Задание С1-20 для са мостоятельного решения

Вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω1 св бодно вращается система из невесомого стержня и массивной шайбы, которая удерживается нитью на расстоянии R1 от оси вращения (рис. 33). Потя нув нить, шайбу перевели в положение 2, и она стала двигаться по окружнос ти радиусом R2= R1/2 с угловой скоростью...

Варианты ответов:

1) ω2 = 4ω1; 2) ω2 = 2ω1; 3) ω2 = ω1/4; 4) ω2 = ω1/2.

Рис. 33

Тест 1-22

Проекция угловой скорости ωz тела относительно неподвижн ой оси z имеет вид, представленный на рис. 34. Укажите график, правильно отражающий зависимость от времени

кинетической энергии вращающегося тела.

Рис. 34

Варианты ответов:

Решение

График зависимости проекции угловой скорости ωz от времени представляет собой прямую, проходящую через начало координат, уравнение

вид: Wк = Iz · (– Κ t)2 / 2 = (Iz Κ2 / 2) · t2. График функции Wк(t) будет представлять собой параболу, изображенную на рисунке варианта ответа 2.

Ответ: вариант 2.

Тест 1-23

Проекция момента импульса тела относительно

Решение

График зависимости проекции момента импульса LZ от времени t, как видно из рис. 35, представляет собой параболу, проходящую через начало координат. Уравнение этой параболы имеет вид: Lz = – Κ t2, где Κ – константа. Момент импульса вращающегося тела связан с угловой скоростью ω соотношением: LZ = Iz ω, где Iz – момент инерции тела относительно оси z.

Следовательно, уравнение для угловой скорости будет иметь вид: ω = LZ / Iz = –

прямую, изображенную на рисунке варианта ответа 1. Ответ: вариант 1.

Тест 1-24

Сплошной и полый цилиндры, имеющие одинаковые массы и радиусы, вкатываются без проскальзывания на горку. Если начальные скорости тел одинаковы, то…

Варианты ответов:

1)Оба тела поднимутся на одну и ту же высоту;

2)Выше поднимется полый цилиндр;

3)Выше поднимется сплошной цилиндр.

Решение

Согласно закону сохранения энергии, при вкатывании на горку полная кинетическая энергия тела переходит в потенциальную энергию:

mv2/2 + Iω2/2 = mgh,

где m – масса тела; I – момент инерции тела; v и ω – линейная и угловая скорости, причем ω = v/R; R – радиус; h – высота; g – ускорение силы тяжести.

Согласно условию задачи, все величины в формуле для энергии являются постоянными, кроме I. Следовательно, высота, на которую поднимется тело, зависит от значения момента инерции: чем больше момент инерции, тем выше поднимется тело. Для сплошного цилиндра (диска) I = m R2/2, для полого (обруча) I = m R2.

Так как момент инерции полого цилиндра больше, чем сплошного, то выше поднимется полый цилиндр.

Ответ: вариант 2.

Задание С1-21 для самостоятельного решения

Сплошной и полый цилиндры, имеющие одинаковые массы и радиусы, скатываются без проскальзывания с горки высотой h. Какое из тел быстрее придёт к основанию наклонной плоскости? Укажите вариант ответа.

Варианты ответов:

1)Быстрее скатится полый цилиндр;

2)Оба тела скатятся одновременно;

3)Быстрее скатится сплошной цилиндр.

Тест 1-25

Физический маятник совершает колебания вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рис. 36. Для данного положения маятника момент силы тяжести направлен...

Варианты ответов:

Вниз в плоскости рисунка; Вверх в плоскости рисунка;

От нас перпендикулярно плоскости рисунка;

К нам перпендикулярно плоскости рисунка.

Рис. 36

Решение

Момент силы равен векторному произведению радиус-вектора на силу:

Направление вектора момента силы определяется по правилу векторного произведения двух векторов, т. е. это вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы, и направленный так, что если посмотреть с его конца, то поворот от первого перемножаемого вектора ко второму будет виден против часовой стрелки. Иначе, при повороте вектора r к

вектору F = mg буравчик будет выкручиваться и его поступательное движение

покажет направление момента силы. Следовательно, вектор M направлен к нам перпендикулярно плоскости рис. 36.

Ответ: вариант 4.

Задание С1-22 для самостоятельного решения

Укажите направление момента силы для физического маятника, представленного на рис. 37.

Варианты ответов те же, что в тесте 1-25.

Тест 1-26

Рис. 37

Материальная точка двигалась вдоль оси x равномерно с некоторой скоростью vx. Начиная с момента времени t = 0, на нее стала действовать сила Fx, график временной зависимости которой представлен на рис. 38

График, правильно отражающий зависимость величины проекции импульса материальной точки рх от времени, будет выглядеть…

Рис. 38

Варианты ответов:

Решение

Согласно второму за кону Ньютона, производная от и мпульса тела по времени равна результирующей силе, действующей на тело. Д ля движения тела вдоль оси x этот закон и меет вид: Fx = dpx/dt. По условию задачи на первом этапе движения (т. е. при 0 < t < t1) Fx = const. Обозначим эту константу через F0. Тогда dpx / dt = F0 и завис имость проекции импульса материальной точки px от времени t будет линейной функцией: p = p0 + F0 · t. Графи к этой функции представляет собой воз растающую прямую, что соответ ствует рисункам

вариантов 1 и 3.

Чтобы выбрать один рисунок из двух, проанализируем движение на втором этапе, т. е. при t1 < t < t2. Из графика для проекции силы Fx( t) следует, что на этом этапе Fx = 0, следовательно, dpx / dt = 0 и px = con st. Тогда график зависимости проекции и мпульса от времени px(t) будет представлять собой прямую, параллельную оси абсцисс, что соответствует рисунку варианта 3.

Ответ: вариант 3.

Решение

Работа равна скал ярному произведению вектора силы на вектор

перемещения:

А = F · ∆r ,

где F = Fx · i + Fy · j – вектор силы; ∆ r = ∆x · i + ∆y · j – вектор перемещения.

Если раскрыть скалярное произведение, то получим формулу для работы в

другом виде: А = Fx · ∆x + Fy · ∆y, где ∆x = x2 – x1 и ∆y = y2 – y1.

Так как частица перемещается из начала координат в точку с координатами

Fy · ∆y.

Из рис. 39 следует, что проекции силы на оси координат равны: Fx = 3Н, Fy = 2Н. Из условия задачи следует, что проекции вектора перемещения на оси координат равны: ∆x = 0; ∆y = 5 м. Поэтому работа равна: А = 3 · 0 + 2 · 5 = 10 Дж.

Ответ: вариант 4.

Тест 1-29

К точке, лежащей на внешней поверхности диска, приложены 4 силы. Если ось вращения проходит через центр О диска перпендикулярно плоскости рис. 40, то

плечо силы F1 равно...

Варианты ответов:

1) b; 2) 0; 3) c; 4) a.

Рис. 40

Решение

Плечом силы называется кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. Более наглядно это можно

показать на примере силы F3 (см. рис. 40). Для силы F3 линией действия будет прямая b, а перпендикуляр а, проведённый к ней от оси вращения, т. е. из точки О, будет являться плечом силы F3 .

Аналогично, линией действия силы F1 будет прямая, являющаяся продолжением силы F1 , которая на рис. 40 не показана, но она параллельна прямой а. Перпендикуляр b, опущенный из точки приложения силы на прямую a, параллельную линии действия силы, будет являться плечом силы F1 .

Ответ: вариант 1.

Задание С1-23 для самостоятельного решения

Из рис. 40 определите, чему равно плечо силы F4 .

Варианты ответов те же, что в тесте 1-30.

Задание С1-24 для самостоятельного решения

Из рис. 40 определите, чему равно плечо силы F2 .

Варианты ответов те же, что в тесте 1-29.

Тест 1-30

Два тела массами m1 и m2 соединены нерастяжимой нитью, перекинутой

через невесомый блок (рис. 41). Если m1 > m2, а Т – сила натяжения нити, то уравнение второго закона Ньютона для тела массой m1 в проекции на направление движения имеет вид...

Варианты ответов:

1) m1 A = T – M1 G; 2) m1A = M1 G – T;

3) m1 A = M1 G + T.

Решение

Рис. 41

Согласно второму закону Ньютона, произведение массы тела на его ускорение равно результирующей силе, действующей на тело. На каждое тело действует две силы: сила тяжести, направленная вниз, и сила натяжения нити, направленная в противоположную сторону. Так как выполняется условие m1 > m2, то груз m1, поскольку он тяжелее, движется вниз и его ускорение направлено вниз, сила тяжести направлена вниз и сила натяжения нити направлена в противоположную сторону (рис. 42). Тогда

Задание С1-25 для са мостоятельного решения

Два тела массами m1 и m2 соединены нерастяжимой нитью, перекинутой

через невесомый блок. Если m1 > m2 и Т – сила натяжения нити, то уравнение второго закона Ньютона для тела массой m2 в проекции на направление

движения имеет вид...

Варианты ответов :

1) m2 A = T – M2 G; 2) m2A = M2 G – T;

3) m2 A = M2 G + T.

Тест 1-31

Диск начинает вращаться под действием момента сил, график временн ой зависимости которого представлен на рис. 43. Укажите график, правильно отражающ ий зависимость угловой скорости диска от времени.

Рис. 43

Варианты ответов:

Решение

Зависимость угловой скорости от времени даётся уравнением:

ω = ω0 + ε · t,

где ω0 – начальная у гловая скорость; ε – угловое ускорение. Начальная скорость ω0 = 0, так как п о условию задачи диск начинает в ращаться. Угловое ускорение можно найти из основного закона динамики вращательного движения: ε = М/I, где М – момент силы; I – момент инерци и. Так как момент силы М = const на промежутке времени 0 < t < t1 и момент инерции диска

(I = mR2/2) тоже постоянен, то ε1 = const. Тогда зависимость угловой скорости от времени будет иметь вид: ω = ε1 · t. График этой функции представляет собой прямую, проходящую через начало координат. Для момента времени t = t1 угловая скорость равна ω1 = ε1 · t1.

Для промежутка времени t1 < t < t2 момент силы М = 0 и угловое ускорение ε2 = 0, следовательно, ω = ω1= const. График зависимости угловой скорости от времени на этом промежутке времени будет представлять собой прямую, параллельную оси абсцисс. Поэтому график, правильно отражающий зависимость угловой скорости диска от времени на всём временном интервале, представлен на рисунке варианта 3.

Ответ: вариант 3.

Тест 1-32

Момент импульса тела относительно неподвижной оси изменяется по

Решение

Согласно основному закону динамики вращательного движения, результирующий момент сил, действующих на тело, равен производной от момента импульса по времени: M = dL/dt. По условию задачи: L = at2, производная dL/dt = 2at, поэтому момент силы равен: M = 2at. Следовательно, график зависимости момента сил от времени представляет собой прямую, проходящую через начало координат, что соответствует рисунку варианта 3.

Ответ: вариант 3.

Задание С1-26 для самостоятельного решения

Укажите график, правильно отражающий зависимость от времени величины момента сил, действующих на тело, если момент импульса тела относительно неподвижной оси изменяется по закону L = a t.

Варианты ответов те же, что в тесте 1-32.

Тест 1-33

Космический корабль пролетает мимо вас со скоростью 0,8с (с – скорость света в вакууме). По вашим измерениям его длина равна 90 м. В состоянии покоя его длина наиболее близка к…

Варианты ответов:

1) 55 м; 2) 90 м; 3) 150 м; 4) 110 м.

Решение

Если длина космического корабля, движущегося со скоростью v = 0,8с, где с

– скорость света в вакууме, равна L0, то с точки зрения неподвижного наблюдателя, находящегося на Земле, его длина будет равна L. Согласно выводу, сделанному из специальной теории относительности Эйнштейна,

L = L0 × 1 - v2/ с2 , т. е. размеры тел сокращаются в направлении движения. Тогда длина космического корабля в состоянии покоя будет равна: L0 =

L / 1 - v2 / с2 .

Проведём вычисления: L0 = 90 / 1 - 0,82 = 90/0,6 = 150 м. Ответ: вариант 3.

Тест 1-34

Космический корабль с двумя космонавтами на борту летит со скоростью v = 0,8с (с – скорость света в вакууме). Один из космонавтов медленно поворачивает метровый стержень из положения 1, параллельного направлению движения, в положение 2, перпендикулярное этому направлению. Тогда длина стержня с точки зрения другого космонавта…

Варианты ответов:

1)Изменится от 0,6 м в положении 1 до 1,0 м в положении 2;

2)Равна 1,0 м при любой его ориентации;

3)Изменится от 1,0 м в положении 1 до 0,6 м в положении 2;

4)Изменится от 1,0 м в положении 1 до 1,67 м в положении 2.

Решение

Согласно выводу теории относительности Эйнштейна, размеры тел сокращаются в направлении движения. Но так как космонавты не движутся относительно друг друга, а находятся в одной кабине, то длина стержня будет равна L0 = 1 м при любой его ориентации.

Ответ: вариант 2.

Задание С1-27 для самостоятельного решения

Космический корабль летит со скоростью v = 0,8с (с – скорость света в вакууме). Один из космонавтов медленно поворачивает метровый стержень из положения 1, перпендикулярного направлению движения корабля, в положение 2, параллельное этому направлению. Тогда длина этого стержня с точки зрения наблюдателя, находящегося на Земле...

Варианты ответов:

1)Изменится от 1,0 м в положении 1 до 0,6 м в положении 2;

2)Равна 1,0 м при любой его ориентации;

3)Изменится от 0,6 м в положении 1 до 1,0 м в положении 2;

4)Изменится от 1,0 м в положении 1 до 1,67 м в положении 2.

Тест 1-35

Пи-ноль-мезон, двигающийся со скоростью 0,8с (с – скорость света в вакууме) в лабораторной системе отсчета, распадается на два фотона γ1 и γ2. В собственной системе отсчета мезона фотон γ1 был испущен вперед, а фотон γ2 – назад относительно направления полета мезона. Скорость фотона γ1 в лабораторной системе отсчета равна …

Варианты ответов:

1) 0,8с; 2) 1,67с; 3) 1,8с; 4) 1с.

Решение

Согласно второму постулату теории относительности Эйнштейна, скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчёта и не зависит от скорости движения источников и приёмников света. Поэтому, если в собственной системе отсчёта, движущейся со скоростью v = 0,8с, был испущен фотон в направлении движения системы, то его скорость в этой системе отсчёта равна u'х = с. Скорость фотона в лабораторной системе отсчёта также равна uх = с. Это можно показать с помощью релятивистского закона сложения скоростей:

uх = (u'х + v) / (1 + v · u'х/с2).

Подставим в эту формулу численные значения:

uх = (с + 0,8с) / (1 + 0,8с · с/с2) = с.

Ответ: вариант 4.

Тест 1-36

Пи-ноль-мезон, двигающийся со скоростью 0,8с (с – скорость света в вакууме) в лабораторной системе отсчета, распадается на два фотона γ1 и γ2. В собственной системе отсчета мезона фотон γ1 был испущен вперед, а фотон γ2 – назад относительно направления полета мезона. Скорость фотона γ2 в лабораторной системе отсчета равна…

Варианты ответов:

1) –0,2 с; 2) +0,8с; 3) –1,0 с; 4) +1,0с.

Решение

Если в собственной системе отсчёта, движущейся со скоростью v = 0,8с, был испущен фотон в направлении, противоположном направлению движения системы, то его скорость в этой системе отсчёта равна u'х = – с. Скорость фотона в лабораторной системе отсчёта также равна uх = – с. Это можно доказать с помощью релятивистского закона сложения скоростей:

uх = (u'х + v)/(1 + v · u'х/с2).

Подставим в эту формулу численные значения:

uх = (– с + 0,8с)/(1 – 0,8 с · с/с2) = –0,2 с/0,2 = – с.

Ответ: вариант3.

Тест 1-37

Твердое тело из состояния покоя начинает вращаться вокруг оси Z с угловым ускорением, проекция которого изменяется во времени, как показано на графике рис. 44.

Угловая скорость вращения тела достигнет максимальной величины в момент времени, равный…

Варианты ответов:

1) 2 с; 2) 10 с; 3) 5 с; 4) 3 с.

ограниченной графиком функции εz(t), двумя ординатами t = t1 и t = t2 и осью абсцисс t. Площадь фигуры можно рассчитать как число клеток, ограниченное графиком функции, умноженное на цену деления одной клетки. В нашем случае цена деления равна 1 рад/с. Причём, площадь фигуры выше оси абсцисс t нужно брать со знаком «+», а ниже – со знаком «–».

Таким образом, в момент времени t = 2 с площадь фигуры равна двум клеткам. Следовательно, угловая скорость в этот момент будет равна ω(2) = 2 рад/с. В момент времени t = 3 с угловая скорость достигнет величины ω(3) = 2 + 1 = 3 рад/с. В момент времени t = 5 с угловая скорость может быть найдена как разность двух площадей: ω(5) = 3 – 4 = –1 рад/с. В момент времени t = 10 с угловая скорость равна: ω(10) = –1 – 10 = –11 рад/с.

Таким образом, угловая скорость достигнет максимальной по модулю величины в момент времени t =10 с.

Ответ: вариант 2.

Задание С1-28 для самостоятельного решения

Твердое тело, момент инерции которого равен I = 10 кг · м2, из состояния покоя начинает вращаться вокруг оси Z с угловым ускорением, проекция которого изменяется во времени, как показано на графике рис. 44. Момент силы, действующий на тело в момент времени t = 2 с, равен…

Варианты ответов:

1) 20 Н · м; 2) 0; 3) 40 Н · м; 4) 2 Н · м.

Тест 1-38

Шарик, прикрепленный к пружине и насаженный на горизонтальную направляющую, совершает гармонические колебания (рис. 45).

на цену деления одной клетки. Причём, площадь фигуры выше оси абсцисс x нужно брать со знаком «+», а ниже – со знаком «–».

В нашем случае сила упругости по закону Гука равна: Fx = – kx, k – коэффициент упругости, x1 = 0, x2 = 40 мм, цена деления одной клетки равна 10 Н٠мм = 10–2 Дж. Таким образом, работа силы упругости при смещении шарика из положения 0 в положение В равна: А = –4 ٠10–2 Дж.

Ответ: вариант 1.

Задание С1-29 для самостоятельного решения

На графике рис. 46 представлена зависимость проекции силы упругости пружины Fx на положительное направление оси х от координаты шарика.

Работа силы упругости при смещении шарика из положения А в положение В составляет…