4. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Основные формулы и определения
● Уравнение гармонических колебаний материальной точки имеет вид: x = A sin(ω0 t + α) или x = A cos(ω0 t + α), где x – смещение частицы от положения равновесия; A – амплитуда; α – начальная фаза; ω0 – круговая (или циклическая) частота собственных колебаний, которая связана с периодом: ω0 = 2π/Т.
Скорость колеблющейся точки равна первой производной, а ускорение равно второй производной от смещения по времени.
● Для того чтобы сложить два колебания одного направления и одинаковой частоты (или периода), нужно воспользоваться методом векторных диаграмм. Для этого надо представить каждое колебание в виде вектора, длина которого равна амплитуде, а угол наклона к оси абсцисс равен начальной фазе. Тогда результирующая амплитуда A находится по теореме косинусов: А2 = А12 + А22 + 2 · А1 · А2 · cos(∆φ), где А1 и А2 – амплитуды складываемых колебаний; ∆φ – разность фаз.
●Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид:
ξ= А sin(ωt – kx), где ξ – смещение частиц среды от положения равновесия; A – амплитуда волны; k = ω/v – волновое число; ω – круговая частота; v – скорость распространения волны. Длина волны λ и скорость её распространения v связаны соотношением: λ = v Т = v/ν , где Т – период волны; ν – частота колебаний частиц среды.
●Вектор плотности потока энергии упругой волны равен произведению
объёмной плотности энергии на вектор скорости распространения упругой |
||||
волны: |
j |
= w · v. |
ј |
|
● Вектор |
плотности потока энергии |
электромагнитной волны равен |
||
|
|
|
ј |
Е |
векторному произведению: = [ E · H ], где – напряженность электрического |
||||
поля; |
H |
– |
напряженность магнитного |
поля электромагнитной волны. |
Направление векторного произведения можно определить по правилу правого винта (или буравчика). Согласно этому правилу, если поворачивать первый
вектор ( E ) ко второму ( H ), то поступательное движение буравчика покажет направление векторного произведения ( j ).
Тест 4-1
Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой А = 4 см и периодом Т = 2 с. Если смещение точки в момент времени, принятый за начальный, равно нулю, то точка колеблется (в соответствии с уравнением в СИ)...
Варианты ответов: |
|
1) х = 0,04 sin(2t); |
2) х = 0,04 cos(2t); |
3) x = 0,04 sin(π t); |
4) x = 0,04 cos(π t). |
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
гармонических |
колебаний |
|
||||
имеет |
вид: |
x = A · sin(ω0 t + α) |
или |
|
|||
x = A · cos(ω0 t + α), где |
A – |
амплитуда; α – |
|
||||
начальная фаза; ω0 – |
частота |
собственных |
|
||||
колебаний, которая связана с периодом: ω0 = |
|
||||||
2π/Т. По условию задачи: А = 0,04 м; |
α = 0; |
|
|||||
ω0 = 2π/2 = π; |
x(0) = 0. |
Начальному |
условию |
|
|||
удовлетворяет формула 3. |
|
|
|
|
|||
Ответ: вариант 3. |
|
|
|
|
|
||
Задание С4-1 для самостоятельного |
|
||||||
решения |
|
|
точка |
|
совершает |
Рис. 81 |
|
Материальная |
|
|
|||||
гармонические |
колебания |
с |
амплитудой |
|
|||
А = 4 см и периодом Т = 2 с. Смещение точки в момент времени, принятый за начальный, равно нулю. Найдите смещение точки в момент времени t = Т/8.
Варианты ответов:
1) 4 см; 2) 2 см; 3) 2 
2 см; 4) √2 см.
Тест 4-2
Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами и равными амплитудами А0. При разности фаз ∆φ = 3π/2 амплитуда результирующего колебания равна...
Варианты ответов:
1) 5А0/2; 2) А0√2; 3) 2А0; 4) 0.
Решение
Для того чтобы сложить два колебания одинаковой частоты (или периода) и одинакового направления, нужно воспользоваться методом векторных диаграмм. Нужно представить каждое колебание в виде вектора, длина которого равна амплитуде, а угол наклона к оси абсцисс равен начальной фазе. Тогда для нахождения результирующей амплитуды нужно применить теорему косинусов:
А2 = А12 + А22 + 2 · А1 · А2 · cos ∆φ, где ∆φ – разность фаз. На рис. 81 показана векторная диаграмма, соответствующая условию теста 4-2. В нашем примере
векторы А1 и А2 имеют одинаковую длину, так как их амплитуды одинаковы: А1 = А2 = А0, а угол между векторами А1 и А2 равен разности фаз: ∆φ = 3π/2 = –
π/2.
Применим теорему косинусов для нахождения результирующей амплитуды: А2 = А02 + А02 + 2 · А0 · А0 · cos(– π/2).
Так как cos(– π/2) = 0, то А2 = А02 + А02 и результирующая амплитуда,
найденная по теореме Пифагора, будет равна: А = А 0 
2 . Ответ: вариант 2.
Тест 4-3
Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами. Результирующее колебание имеет максимальную амплитуду при разности фаз, равной…
Варианты ответов:
1) 0; 2) π; 3) π/4; 4) π/2.
Решение
При сложении гармонических колебаний одинакового направления нужно воспользоваться методом векторных диаграмм, а именно, каждое колебание представить в виде вектора. Если эти векторы имеют одинаковое направление, т. е. разность фаз равна нулю, то их амплитуды складываются и результирующая амплитуда будет максимальной.
Ответ: вариант 1.
Задание С4-2 для самостоятельного решения
Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми частотами и равными амплитудами А0. При разности фаз ∆φ = π/2 амплитуда результирующего колебания равна...
Варианты ответов:
1) 0; 2) А0 
3 ; 3) 2А0; 4) А0 
2 .
Задание С4-3 для самостоятельного решения
Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми частотами и равными амплитудами А0. При разности фаз ∆φ = π амплитуда результирующего колебания равна...
Варианты ответов:
1) 0; 2) А0 
3 ; 3) 2 А0; 4) А0 
2 .
Тест 4-4
Уравнение движения пружинного маятника d2x/dt2 + (b/m) · dx/dt + (k/m) · x = 0
является дифференциальным уравнением...
Варианты ответов:
1)Вынужденных колебаний;
2)Свободных затухающих колебаний;
3)Свободных незатухающих колебаний.
Решение
Проанализируем варианты ответов.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид: d2x/dt2 + 2β · (dx/dt) + ω02x = F/m,
где β – коэффициент затухания; ω0 – частота собственных колебаний; F – вынуждающая сила; m – масса маятника. Это уравнение является неоднородным, т. е. правая часть уравнения не равна нулю.
Так как в заданном уравнении правая часть равна нулю, то рассматриваемое уравнение является однородным. Следовательно, оно представляет собой уравнение свободных колебаний. В дифференциальном уравнении свободных затухающих колебаний должно присутствовать слагаемое, содержащее первую производную от смещения по времени, связанное с наличием силы трения. Такое слагаемое есть в этом уравнении. Поэтому рассматриваемое уравнение является дифференциальным уравнением свободных затухающих колебаний.
Ответ: вариант 2.
Тест 4-5
На рис. 82, 83 изображены зависимости от времени координаты и ускорения материальной точки, колеблющейся по гармоническому закону.
|
a, м/c2 |
|
x, м |
||
|
|
|
|
|
|
t, c |
t, c |
Рис. 82 |
Рис. 83 |
Циклическая частота ω0 колебаний точки равна: |
|
Варианты ответов: |
|
1) 1 с–1 ; 2) 2 с–1 ; 3) 4 с–1 ; 4) 3 с–1 . |
|
Решение
Пусть уравнение гармонических колебаний имеет вид:
x = A cos(ω0 t + α 0).
Тогда найдем ускорение как вторую производную от смещения по времени: а = – A ω02 cos(ω0 t + α0). Из сопоставления этих формул получим: а = – ω02 х. Из графиков для одного и того же момента времени t найдём х и а. Например, для t = 0,8 с х = 1 м, а = –4,0 м/с2. Подставим эти числа в последнюю формулу и найдём ω02 = 4. Отсюда ω0 = 2 с–1 .
Ответ: вариант 2.
Задание С4-4 для самостоятельного решения
На рис. 84, 85 изображены зависимости от времени координаты и ускорения материальной точки, колеблющейся по гармоническому закону. Найдите циклическую частоту колебаний точки.
x, м |
a, м/c2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t, c |
|
|
|
|
|
t, c |
|
|
|
Рис. 84 |
|
|
|
Рис. 85 |
|
|
|
|
|||
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1) 3 с–1 ; 2) 1 с–1 ; 3) 2 с–1 ; 4) 4 с–1 . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Тест 4-6 |
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
На |
рис. 86 |
изображен |
график |
|||||
|
|
|
|
|
|
затухающих колебаний, где S – |
колеблющаяся |
||||||
|
|
|
|
|
|
величина, описываемая уравнением: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
S(t) = Ao e– t/τ sin(ω1 t + φ). |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Определите время релаксации τ (в с). |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
t, с |
1) 3; |
2) 1; 3) 2; |
4) 0,5. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Временем релаксации называется время, |
||||||
|
|
|
|
|
|
в течение которого амплитуда уменьшается в |
|||||||
|
|
Рис. 86 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
е раз (е |
= 2,7… ). Из рис. 86 |
видно, что в |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
момент времени t1 = 0 амплитуда равна А1 = 2,7, а в момент времени t2 = 2 с амплитуда А2 = 1. Следовательно, время релаксации τ = t2 – t 1 = 2 – 0 = 2 с, так как за это время амплитуда уменьшилась А1/А2 = 2,7 = е раз.
Ответ: вариант 3.
Задание С4-5 для самостоятельного решения
Воспользовавшись рис. 86, определите логарифмический декремент затухания. Напомним, что логарифмическим декрементом затухания называется логарифм натуральный отношения двух последовательных амплитуд,
отличающихся на период: χ = ln(A1/A2), где A1 – амплитуда в момент времени, принятый за начальный; A2 – амплитуда спустя период.
Варианты ответов:
1) 0,5; 2) 3; 3) 1; 4) 2.
Тест 4-7
Уменьшение амплитуды колебаний в системе с затуханием характеризуется временем релаксации. Если при неизменном коэффициенте трения среды увеличить в 2 раза массу грузика на пружине, то время релаксации…
Варианты ответов: |
|
1) увеличится в 2 раза; |
2) уменьшится в 4 раза; |
3) увеличится в 4 раза; |
4) уменьшится в 2 раза. |
Решение
Время релаксации вычисляется как величина, обратная коэффициенту затухания: τ = 1/β. Для пружинного маятника коэффициент затухания равен: β = r/(2m), где r – коэффициент трения (или коэффициент сопротивления среды); m
– масса грузика на пружине. Тогда время релаксации равно τ = 2m/r.
При r = const, если массу грузика увеличить в 2 раза, то время релаксации увеличится в 2 раза.
Ответ: вариант 1.
Задание С4-6 для самостоятельного решения
Уменьшение амплитуды колебаний в системе с затуханием характеризуется временем релаксации. Если при неизменной массе грузика на пружине увеличить коэффициент трения среды в 2 раза, то время релаксации…
Варианты ответов: |
|
1) увеличится в 2 раза; |
2) уменьшится в 4 раза; |
3) увеличится в 4 раза; |
4) уменьшится в 2 раза. |
Тест 4-8
Точка М одновременно колеблется по гармоническому закону вдоль осей координат ОХ и OY с различными амплитудами, но одинаковыми частотами. При разности фаз π/2 траектория точки М имеет вид (рис. 87)...
Рис. 87
Варианты ответов:
1) фигура 1; 2) фигура 2; 3) фигура 3; 4) фигура 4.
Решение
При сложении взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты, но с различными амплитудами, траектория результирующего движения точки представляет собой эллипс. Уравнение произвольно ориентированного эллипса имеет вид:
x2/A2 + y2/B2 – 2 · ( x/A) · (y/B) · cos ∆φ = sin2 ∆φ,
где A и B – амплитуды колебаний вдоль осей x и y.
По условию задачи ∆φ = π/2. Поскольку cos(π/2) = 0 и sin(π/2) = 1, то уравнение траектории будет иметь вид: x2/A2 + y2/B2 = 1, что представляет собой уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат. Такой эллипс представлен на рис. 87 фигурой 1.
Ответ: вариант 1.
Задание С4-7 для самостоятельного решения
На рис. 87 представлены различные траектории точки М, которая одновременно колеблется по гармоническому закону вдоль осей координат ОХ и OY с различными амплитудами.
Если точка М колеблется с одинаковыми частотами, то при разности фаз ∆φ = 0, траектория точки М имеет вид...
Варианты ответов те же, что в тесте 4-8.
Тест 4-9
Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси ОХ, имеет вид ξ = 0,01 sin(103t – 2 x). Тогда скорость распространения волны (в м/с) равна...
Варианты ответов:
1) 500; 2) 2; 3) 1 000.
Решение
Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид: ξ = А sin(ωt – kx), где k = ω/v – волновое число; ω – круговая частота; v – скорость распространения волны. Из сопоставления этой формулы с формулой, данной в условии задачи, следует, что ω = 103; k = 2. Вычислим скорость распространения волны: v = ω/k = 103/2 = 500.
Ответ: вариант 1.
Тест 4-10
Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси ОХ, имеет вид ξ = 0,01 sin 103(t – x/500). Длина волны (в м) равна...
Варианты ответов:
1) 1 000; 2) 2; 3) 3,14.
Решение
Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х:
ξ = А sin(ωt – kx),
где ω – круговая частота; k – волновое число, равное k = 2π/λ, в нашей задаче имеет вид: ξ = 0,01 sin(103t – 10 3 · x/500).
Отсюда k = 103/500 = 2. Поэтому λ = 2π/k = 2π/2 = π = 3,14.
Ответ: вариант 3.
Задание С4-8 для самостоятельного решения
Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси ОХ со скоростью 500 м/с, имеет вид ξ = 0,01 sin(103t – kx). Волновое число k (в м–1 ) равно...
Варианты ответов:
1) 5; 2) 2; 3) 0,5.
Задание С4-9 для самостоятельного решения
Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси ОХ со скоростью 500 м/с, имеет вид ξ = 0,01 sin(ωt – 2 x). Циклическая частота ω (в с–1 ) равна...
Варианты ответов:
1) 1 000; 2) 159; 3) 0,001.
Задание С4-10 для самостоятельного решения
Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси ОХ со скоростью 500 м/с, имеет вид ξ = 0,01 sin(103t – 2 x). Волновое число k имеет размерность…
Варианты ответов:
1) с; 2) 1/м; 3) 1/с; 4) м.
Тест 4-11
Для продольной волны справедливо утверждение...
Варианты ответов:
1)Возникновение волны связано с деформацией сдвига;
2)Частицы среды колеблются в направлении распространения волны;
3)Частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны.
Решение
Продольной волной называется такая волна, в которой частицы среды колеблются в направлении распространения волны. Поперечной волной называется волна, в которой частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны. Возникновение поперечной волны связано с деформацией сдвига. Для продольной волны справедливо утверждение: частицы среды колеблются в направлении распространения волны.
Ответ: вариант 2.
Задание С4-11 для самостоятельного решения
Определите расстояние от центра землетрясения до сейсмической станции, если скорости распространения продольных и поперечных волн соответственно равны: v1 = 4 км/с, v2 = 3 км/с и время задержки сигнала τ = 20 секунд.
Варианты ответов:
1) 520 км; 2) 240 км; 3) 120 км.
Тест 4-12
Сейсмическая упругая волна, падающая со скоростью 5,6 км/с под углом 45° на границу раздела между двумя слоями земной коры с различными свойствами, испытывает преломление, причем угол преломления равен 30°. Во второй среде волна будет распространяться со скоростью…
Варианты ответов:
1) 1,4 км/с; 2) 2,8 км/с; 3) 4,0 км/с; 4) 7,8 км/с.
Решение
Если рассматривать только направление распространения волны, то для упругой волны можно применить понятие луча и использовать закон преломления лучей.
По закону преломления лучей отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению скоростей распространения волны в первой и во второй средах: sin α /sin β = v1/v2. Отсюда скорость распространения волны во второй среде равна: v2 = v1 · sin β/sin α.
Проведём вычисления:
v2 = 5,6 · sin 30°/sin 45° = 5,6 · (1/2)/( 
2 /2) = 5,6/1,41 = 3,97… = 4,0 км/с.
Ответ: вариант 3.
Тест 4-13
|
На рис. 88 представлена мгновенная |
|||
|
фотография |
электрической |
составляющей |
|
|
электромагнитной волны, переходящей из |
|||
|
среды 1 в среду 2 перпендикулярно границе |
|||
|
раздела АВ. |
|
|
|
|
Относительный показатель преломления |
|||
|
среды 2 относительно среды 1 равен… |
|||
|
Варианты ответов: |
|
||
|
1) 1,75; |
2) 1,5; |
3) 1; |
4) 0,67. |
Рис. 88 |
Решение |
|
|
|
|
Относительный |
|
показатель |
|
преломления равен отношению скорости распространения волны в первой среде к скорости её распространения во второй среде: n21 = v1/v2. Длина волны λ и скорость её распространения v связаны соотношением: λ = v/ν, где ν – частота волны. При переходе через границу раздела двух сред частота волны не изменяется, поэтому выполняется следующее соотношение: λ1/λ2 = v1/v2.
Из рис. 88, на котором |
показана половина длины волны, следует, что |
λ1 = 0,375 · 2 = 0,75 мкм и |
λ2 = 0,25 · 2 = 0,5 мкм. Поэтому относительный |
показатель преломления равен: n21 = v1/v2 = λ1/λ2 = 0,75/0,5 = 1,5. Ответ: вариант 2.
Задание С4-12 для самостоятельного решения
Выберите правильные варианты ответов.
Волна переходит из среды 1 в среду 2, преломляясь, как показано на рис. 89. При переходе через границу раздела уменьшаются…
|
Варианты ответов: |
|
|
|
1) |
скорость волны; |
2) длина волны; |
|
3) |
частота колебаний; |
4) волновое число. |
Рис. 89 |
Тест 4-14 |
электромагнитной энергии |
|
|
Плотность потока |
||
имеет размерность...
Варианты ответов:
1) В·А/м2; 2) В·А·м2; 3) В·А·с/м2; 4) В·А·с·м2.
Решение
Плотность потока энергии электромагнитной волны численно равна энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны. Энергия, переносимая волной за единицу времени, называется мощностью. Мощность в механике (для упругой волны) измеряется в ваттах, мощность электромагнитной энергии измеряется в вольтах, умноженных на
ампер (В·А). Плотность потока электромагнитной энергии имеет размерность В·А/м2.
Ответ: вариант 1.
Задание С4-13 для самостоятельного решения
Плотность потока энергии упругой волны имеет размерность...
Варианты ответов:
1) Вт/м2; 2) Дж/м2; 3) Дж·м2; 4) Вт·м2.
Тест 4-15
Если увеличить в 2 раза объемную плотность энергии и при этом увеличить в 2 раза скорость распространения упругих волн, то плотность потока энергии...
Варианты ответов:
1) увеличится в 4 раза; 2) увеличится в 2 раза; 3) останется неизменной.
Решение
Плотность потока энергии упругой волны по модулю равна произведению объёмной плотности энергии на скорость распространения упругой волны: j = w · v. При увеличении в 2 раза объемной плотности энергии w и в 2 раза скорости распространения упругой волны v объёмная плотность энергии увеличится в 4 раза.
Ответ: вариант 1.
Задание С4-14 для самостоятельного решения
Если уменьшить в 2 раза объемную плотность энергии при неизменной скорости распространения упругих волн, то плотность потока энергии…
Варианты ответов:
1) уменьшится в 2 раза;
3) останется неизменной.
Тест 4-16
Рис. 90
2) уменьшится в 4 раза;
Колебательный контур состоит из последовательно соединенных емкости, индуктивности и резистора. К контуру подключено переменное напряжение
(рис. 90).
При некоторой частоте внешнего напряжения амплитуды падений напряжений на элементах цепи соответственно равны UR = 4 В; UL = 3 В; UС = 6 В. При этом амплитуда приложенного напряжения равна...
Варианты ответов:
1) 3 В; 2) 4 В; 3) 5 В; 4) 13 В.
Решение
Если в колебательный контур подключено переменное напряжение, описываемое уравнением: U = Um cos(ωt), то в цепи потечет переменный ток, который вызовет на элементах цепи соответствующие падения напряжения UR, UL и UC. Расчёты показывают, что падение напряжения на индуктивности UL опережает по фазе на π/2 падение напряжения на активном сопротивлении UR, а падение напряжения на ёмкости UC отстаёт по фазе на π/2 от падения напряжения на активном сопротивлении UR. Наглядно это можно
изобразить с помощью метода векторных диаграмм (рис.
Рис. 91 91).
Амплитуда приложенного напряжения Um должна быть равна векторной сумме амплитуд этих напряжений. По теореме Пифагора:
Um2 = (UL – UC)2 + UR2.
Проведём вычисления: Um2 = (3 – 6) 2 + 42 = 32 + 42 = 25 = 52.
Отсюда: Um = 5 В. Ответ: вариант 3.
Задание С4-15 для самостоятельного решения
Колебательный контур состоит из последовательно соединенных емкости, индуктивности и резистора. К контуру подключено переменное напряжение (рис. 90). При некоторой частоте внешнего напряжения амплитуды падений напряжений на элементах цепи соответственно равны: UR = 4 В; UL = 3 В; UC = 3 В. При этом амплитуда приложенного напряжения равна...
Варианты ответов:
1) 5 В; 2) 10 В; 3) 4 В; 4) 3 В.
Тест 4-17
На рис. 92 показана ориентация векторов напряженности электрического ( E )
Е и магнитного ( H ) полей в электромагнитной волне. Вектор плотности потока энергии электромагнитного поля ориентирован в направлении...
Варианты ответов: |
|
|
|
|
1) направление 4; |
2) направление 1; |
|
||
3) направление 2; |
4) направление 3. |
|
||
Решение |
|
|
|
|
Вектор плотности |
ј |
потока энергии |
|
|
|
|
|
|
|
электромагнитной волны равен векторному |
|
|||
ј |
|
|
|
|
произведению: = [ E · |
|
H ]. Направление |
Рис. 92 |
|
векторного произведения можно определить
по правилу правого винта (или буравчика). Согласно этому правилу, если поворачивать первый вектор ( E ) ко второму вектору ( H ), то поступательное движение буравчика покажет направление векторного произведения ( j ). В нашем
случае вектор плотности потока энергии ориентирован в направлении 1, т. е. в сторону распространения электромагнитной волны.
Ответ: вариант 2.
Задание С4-16 для самостоятельного решения
На рис. 93 показана ориентация векторов напряженности электрического ( Е ) и
На рис. 95 показана ориентация векторов напряженности электрического ( E ) и
магнитного ( H ) полей в электромагнитной волне. Вектор плотности потока энергии электромагнитного поля ориентирован в направлении...
|
|
|
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
1) направление 1; |
2) направление 2; |
|
|
|
|
3) направление 3; |
4) направление 4. |
Рис. 95 |
|
Тест 4-18 |
|
||
|
|
|
|||
На рис. 96 представлена |
|
|
|||
зависимость |
|
|
относительной |
|
|
амплитуды колебаний силы тока |
|
|
|||
в катушке индуктивностью 1 мГн, |
|
|
|||
включенной |
в |
колебательный |
|
|
|
контур. Емкость |
конденсатора |
|
|
||
этого контура равна... |
|
|
|||
Варианты ответов: |
|
|
|||
1) 0,1 нФ; |
|
2) 1 нФ; |
|
|
|
3) 100 нФ; |
4) 10 нФ. |
|
|
||
Решение |
|
|
|
|
|
Резкое |
|
|
возрастание |
|
|
амплитуды |
|
|
вынужденных |
Рис. 96 |
|
колебаний |
|
|
(резонанс) |
|
|
наблюдается |
при |
совпадении |
|
|
|
частоты собственных колебаний с частотой вынужденных колебаний ω0 = ωр. Частота собственных колебаний в колебательном контуре вычисляется по
формуле: ω0 = 1/ |
LC , где L – |
индуктивность; C – ёмкость. Поэтому 1/ |
||
|
LC |
= ωр. Отсюда C = 1/(L ωр2). По |
||
условию задачи L = 1 мГн = 10–3 |
Гн. |
|||
Из графика рис. 96 |
ωр = 106 рад/с. |
|
||
Вычислим ёмкость конденсатора:
C = 1/(10–3 · 1012) = 10–9 Ф = 1 нФ.
Ответ: вариант 2.
Задание С4-19 для
самостоятельного решения
На рис. 97 представлена зависимость относительной амплитуды колебаний напряжения на
Рис. 97
Тест 4-19
На рис. 98 представлена зависимость амплитуды колебаний груза на пружине с
жесткостью |
k = 10 Н/м от |
частоты внешней силы. |
|
|
Определите |
максимальную |
энергию |
системы. |
|
Варианты ответов:
1) 40 Дж; 2) 0,002 Дж;
3) 0,02 Дж; 4) 20 Дж.
Решение
Полная энергия колеблющейся системы равна W = m ω2 A2/2, где m – масса; ω
– частота колебаний, равная частоте вынужденных колебаний системы; А – амплитуда колебаний. Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты внешней силы. При совпадении частоты собственных колебаний ω0 с частотой вынужденных колебаний наблюдается резонанс, т. е. резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. При резонансе амплитуда будет
максимальной А = Аmax, |
резонансная |
частота равна |
ωр = ω0 и |
максимальная |
|
энергия системы будет |
равна Wmax = m ω02 Amax2/2. |
Учтем, что |
коэффициент |
||
жесткости пружины равен: k = m ω02, |
где ω0 – частота собственных колебаний. |
||||
Тогда Wmax = k Amax2/2. |
|
|
|
|
|
Найдем из рис. 98: Amax = 2 см = 0,02 = 2 · 10–2 м. Вычислим максимальную |
|||||
энергию: Wmax = 10 · (2 · 10 ) /2 = 2 · 10 = 0,002 Дж. |
|
|
|||
|
–2 |
2 |
–3 |
|
|
Ответ: вариант 2.
Задание С4-20 для самостоятельного решения
На рис. 98 представлена зависимость амплитуды колебаний груза массой 0,1 кг на пружине от частоты внешней силы. Коэффициент жесткости пружины равен…
Варианты ответов:
1) 1 000 Н/м; 2) 1 Н/м; 3) 100 Н/м; 4) 10 Н/м.
Задание С4-21 для самостоятельного решения
На рис. 98 представлена зависимость амплитуды колебаний груза на пружине с жесткостью k = 10 Н/м от частоты внешней силы. Масса колеблющегося груза равна…
Варианты ответов:
1) 1 т; 2) 10 кг; 3) 0,1 кг; 4) 0,01 кг.
Задание С4-22 для самостоятельного решения
На рис. 98 представлена зависимость амплитуды колебаний математического маятника от частоты внешней силы.
Длина маятника равна…
Варианты ответов:
1) 0,2 м; 2) 0,1 м; 3) 0,02 м; 4) 1 м.
Задание С4-23 для самостоятельного решения
На рис. 98 представлена зависимость амплитуды колебаний груза на пружине с жесткостью k = 10 Н/м от частоты внешней силы. Максимальная скорость колебаний равна…
Варианты ответов:
1) 2 м/с; 2) 20 м/с; 3) 0,2 м/с; 4) 0,02 м/с.
Задание С4-24 для самостоятельного решения
На рис. 98 представлена зависимость амплитуды колебаний физического маятника от частоты внешней силы. Максимальное ускорение маятника равно…
Варианты ответов:
1) 2 м/с2; 2) 20 м/с2; 3) 0,2 м/с2; 4) 0,02 м/с2.