7. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА

Основные формулы и определения

● Рассмотрим законы теплового излучения абсолютно черного тела: закон Стефана – Больцмана и закон смещения Вина.

По закону Стефана – Больцмана энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвёртой степени термодинамической температуры:

Rэ = σ · Т4,

где σ – постоянная Стефана – Больцмана. Энергетическая светимость Rэ численно равна площади фигуры, охватываемой графиком функции rλ,T и осью абсцисс λ. Функция rλ,T называется спектральной плотностью энергетической светимости. Эта функция зависит от длины волны λ (частоты ν) и температуры Т. График функции rλ,T (λ) представляет собой кривую с максимумом.

Согласно закону смещения Вина, длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела, обратно пропорциональна термодинамической температуре:

λmax = b/Т,

где b – постоянная Вина; Т – термодинамическая температура.

● Закономерности внешнего фотоэффекта объясняются с помощью формулы Эйнштейна:

hν = A + mv2max/2,

где h – постоянная Планка; ν – частота падающего света; А – работа выхода электрона из металла; mv2max/2 – максимальная кинетическая энергия вылетевших электронов.

● Длина волны де Бройля равна:

λ = h/p,

где h – постоянная Планка; p – импульс частицы. Импульс равен произведению массы частицы на её скорость: р = m · v.

● В квантовой механике имеет место соотношение неопределённостей:

∆x · px ≥ ħ,

где ∆x – неопределённость координаты микрочастицы; px – неопределённость соответствующей компоненты импульса; ħ = h/(2π) – постоянная Планка, делённая на 2π.

● Частота кванта энергии, излучаемого атомом водорода при переходе электрона с одной орбиты (с номером n) на другую (с номером m), описывается обобщённой формулой Бальмера:

ν = R(1/m2 – 1/ n2),

частоты группируются по сериям, причём число m характеризует номер серии, а число n определяет линию в данной серии. Частота связана с длиной волны соотношением: ν = с/λ, где с – скорость света в вакууме.

Рис. 119

Решение

Согласно закону Вина, длина волны λmax, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела, обратно пропорциональна термодинамической температуре: λmax = b/Т, где b – постоянная Вина; Т – термодинамическая температура. Если температуру уменьшить в 4 раза, то длина волны λmax увеличится в 4 раза.

Ответ: вариант 2.

Решение

Согласно закону Вина, длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела,

Т2 = Т1 · (λ1max/λ2max). По условию задачи Т1 = 6 000 К. Подставим численные значения и найдём Т2 = 6 000 · (500/2 000) = 1 500 К. Таким образом, кривая 2

соответствует температуре Т2 = 1 500 К. Ответ: вариант 1.

Тест 7-3

На рис. 121 показана кривая зависимости спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела от частоты при различных температурах. Наибольшей температуре соответствует график…

выше температура. Из рисунка видно, что наибольшую площадь охватывает график 3, поэтому он соответствует наибольшей температуре.

Ответ: вариант 3.

Задание С7-1 для самостоятельного решения

На рис. 122 изображена кривая зависимости спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела от длины волны при Т. При температуре T1 площадь под кривой увеличилась в 16 раз. Температура T1 равна…

На рис. 123 представлены две зависимости задерживающего напряжения U3 от частоты ν падающего света для внешнего фотоэффекта. Укажите верные утверждения.

Варианты ответов:

1) Зависимости получены для двух различных металлов;

2) С помощью этих зависимостей можно U3 определить значение постоянной планка;

3) А2 < а1, где а1 и а2 – значения работы выхода электронов из соответствующего металла.

νРешение

Закономерности внешнего фотоэффекта

объясняются с помощью формулы Эйнштейна:

hν = A + mv2max/2, где h – постоянная Планка; ν – частота падающего света; А – работа выхода

электрона из металла; mv2max/2 – максимальная кинетическая энергия вылетевших электронов, которая связана с задерживающей разностью потенциалов Uз соотношением:

mv2max/2 = eUз. Тогда формула Эйнштейна будет иметь вид: hν = A + eUз, где e – заряд электрона. Из последней формулы получим: Uз = (h/e) · ν – A/e. Анализ

этой формулы, которая с математической точки зрения является уравнением прямой, позволит ответить на все вопросы теста.

1)При ν = 0 найдем точку пересечения прямой с осью ординат: Uз = – A/e. Так как e < 0, то А = eUз. Поскольку на графике рис. 123 изображены две прямые, то мы имеем дело с двумя работами выхода, а это значит, что зависимости получены для двух различных металлов. Следовательно, первое утверждение верно.

2)С помощью этих зависимостей можно определить значение постоянной Планка. Для этого найдём точку пересечения прямой с осью абсцисс, положив

Uз = 0. Тогда получим: hν0 = A и отсюда h = А/ν0. То есть второе утверждение тоже является верным.

3)Третье утверждение является неверным, так как из графика рис. 123

видно, что выполняется неравенство |Uз1| < |Uз2|, поэтому А1 < А2. Ответ: верны утверждения 1 и 2.

Тест 7-5

В опытах по внешнему фотоэффекту изучалась зависимость энергии фотоэлектронов от частоты падающего света. Для некоторого материала фотокатода на рис. 124 исследованная зависимость представлена линией b.

При замене материала фотокатода на материал с меньшей работой выхода

4) а, параллельной линии b.

Решение

Закономерности внешнего фотоэффекта объясняются с помощью формулы

Эйнштейна: hν = A + mv2max/2, где h – постоянная Планка; ν – частота падающего света; А – работа выхода электрона из металла; mv2max/2 = Wκ –

максимальная кинетическая энергия вылетевших электронов. Иначе уравнение Эйнштейна можно записать в виде: hν = A + Wκ. Отсюда зависимость кинетической энергии фотоэлектронов от частоты падающего света описывается уравнением: Wκ = hν – A. С математической точки зрения это уравнение представляет собой уравнение прямой, где коэффициент при переменной ν равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс. В нашем уравнении тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс равен h – постоянной Планка, поэтому наклон прямой не должен изменяться при замене материала. Следовательно, вариант ответа 3) отпадает как неверный.

Проанализируем остальные варианты ответов. Для этого ещё раз рассмотрим уравнение Wκ = hν – A. Из этого уравнения следует, что при Wκ = 0 hν0 = A, где ν0 – частота, называемая красной границей фотоэффекта. Понятно, что чем меньше красная граница фотоэффекта, тем меньше работа выхода. Значение частоты, соответствующей красной границе фотоэффекта, можно найти из рис. 124, из которого следует, что ν1 < ν0 < ν2, поэтому А1 < А0 < А2. Следовательно, при замене материала фотокатода на материал с меньшей работой выхода зависимость Wκ(ν) будет соответствовать прямой а.

Ответ: вариант 4.

Задание С7-2 для самостоятельного решения

В опытах по внешнему фотоэффекту изучалась зависимость энергии фотоэлектронов от частоты падающего света. Для некоторого материала фотокатода исследованная зависимость представлена линией b на рис. 124. При замене материала фотокатода на материал с большей работой выхода зависимость будет соответствовать прямой...

Варианты ответов:

1)b, т. е. останется той же самой;

2)а, параллельной линии b;

3)d, параллельной линии b;

4)с, имеющей меньший угол наклона, чем линия b.

Тест 7-6

На рис. 125 представлены две вольтамперные характеристики вакуумного фотоэлемента. Если Е – освещенность

фотокатода, a ν – частота падающего на него света, то справедливо следующее утверждение…

Варианты ответов:

Рис. 125

Решение

Из вольт-амперных характеристик, изображенных на рис. 125, можно определить силу тока насыщения, т. е. значение фототока, при котором ток максимален и не зависит от приложенного напряжения, а также определить величину задерживающего напряжения, при котором фототок прекращается.

Согласно закону Столетова, сила фототока IНАС насыщения пропорциональна освещенности катода. Так как для двух вольт-амперных характеристик токи насыщения одинаковы, то освещенности катода, при которых они сняты, тоже будут одинаковы (Е1 = Е2), что соответствует вариантам ответов 1 и 3. Выберем один вариант из этих двух.

Согласно формуле Эйнштейна: hν = A + mv2max/2, где h – постоянная Планка; ν – частота падающего света; hν – энергия фотона; А – работа выхода электрона из металла; mv2max/2 – максимальная кинетическая энергия электрона. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов пропорциональна величине задерживающего напряжения: mv2max/2 = e Uз, где e – заряд электрона. Таким образом, hν = A + eUз. Отсюда следует, что Uз тем больше, чем больше частота падающего света.

Так как величина задерживающего напряжения для первой кривой больше, чем для второй, то ν1 > ν2, то есть верным будет утверждение 3.

Ответ: вариант 3.

Задание С7-3 для самостоятельного решения

На рис. 126 приведены две вольтамперные характеристики вакуумного фотоэлемента. Если Е

– освещенность фотоэлемента, а λ – длина волны падающего на него света, то...

Варианты ответов:

Примечание: связь между частотой падающего света ν и длиной волны λ даётся уравнением: ν = c/λ, где c – скорость света в вакууме.

Рис. 126

Тест 7-7

Если протон и нейтрон двигаются с одинаковыми скоростями, то отношение их длин волн де Бройля λp/λn равно...

Варианты ответов:

Решение

Длина волны де Бройля равна: λ = h/p, где h – постоянная Планка; p – импульс частицы. Импульс равен произведению массы частицы на её скорость:

р = m · v. Но так как массы протона и нейтрона практически одинаковы, а скорости равны по условию задачи, то равны их импульсы и, следовательно, равны длины волн де Бройля. Тогда отношение длин волн де Бройля протона и нейтрона равно λр/λn = 1.

Ответ: вариант 2.

Тест 7-8

Параллельный пучок света падает по нормали на зачернённую плоскую поверхность, производя давление р. При замене поверхности на зеркальную давление света не изменяется, если угол падения (отсчитываемый от нормали к поверхности) будет равен...

Варианты ответов:

1) 60°; 2) 0°; 3) 30°; 4) 45°.

Решение

Согласно квантовой теории, давление света обусловлено тем, что каждый фотон при соударении с поверхностью передаёт ей свой импульс. Импульс силы равен изменению импульса тела. Давление света пропорционально изменению импульса фотона. Это значит, что во сколько раз изменяется импульс отдельного фотона, во столько раз изменяется давление.

При падении на зачернённую поверхность фотоны полностью поглощаются, и изменение импульса каждого фотона по модулю равно его первоначальному импульсу р0. При падении фотона на зеркальную поверхность происходит отражение по законам упругого соударения тел: угол падения равен углу отражения, причем по модулю импульс фотона не изменяется. Тогда изменение импульса отдельного фотона равно: ∆римп = 2р0 cosα, где α – угол падения (отсчитываемый от нормали к поверхности). По условию задачи

давление не изменяется, значит, ∆римп = р0 = 2р0 cosα. Отсюда: cosα = 1/2 и угол падения α = 60°.

Ответ: вариант 1.

Задание С7-4 для самостоятельного решения

Если зеркальную пластинку, на которую падает свет, заменить на зачернённую той же площади, то световое давление…

Варианты ответов:

1) уменьшится в 2 раза; 2) останется неизменным; 3) увеличится в 2 раза.

Задание С7-5 для самостоятельного решения

Если зачернённую пластинку, на которую падает свет, заменить на зеркальную той же площади, то световое давление…

Варианты ответов:

1) уменьшится в 2 раза; 2) останется неизменным; 3) увеличится в 2 раза.

Ре = cos φ. Отсюда Ре = Рф/cos φ. Вычислим импульс электрона отдачи: Ре =

Рф/cos 30° = Ре /( 3 /2) = 2Ре/ 3 .

Ответ: вариант 4.

Задание С7-6 для самостоятельного решения

На рис. 127 показаны направления движения падающего фотона γ, рассеянного фотона γ' и электрона отдачи е. Угол рассеяния 90°, направление движения электрона отдачи составляет с направлением движения падающего фотона угол φ = 30°. Если импульс электрона отдачи Ре , то импульс падающего

фотона Рф равен...

Задание С7-7 для самостоятельного решения

На рис. 127 показаны направления движения падающего фотона γ, рассеянного фотона γ' и электрона отдачи е. Угол рассеяния 90°, направление движения электрона отдачи составляет с направлением движения падающего

Тест 7-11

Высокая монохроматичность лазерного излучения обусловлена относительно большим временем жизни электронов в метастабильном состоянии ~10–3 с. Учитывая, что постоянная Планка ћ = 6,6 · 10–16 эВ·с, ширина метастабильного уровня (в эВ) будет не менее…

Варианты ответов:

1) 1,5 · 10–19 ; 2) 1,5 · 10–13 ; 3) 6,6 · 10–13 ; 4) 6,6 · 10–19 .

Решение

В квантовой теории имеет место соотношение неопределённостей для энергии и времени: ∆E · ∆t ≥ ћ, где ∆E – неопределённость энергии некоторого состояния системы; ∆t – промежуток времени, в течение которого система может существовать в этом состоянии. Применительно к нашей задаче ∆t – это время жизни электрона в метастабильном состоянии; ∆E – ширина метастабильного уровня. Следовательно, ширина метастабильного уровня равна: ∆E = ћ / ∆t.

Проведём вычисления и получим: ∆E = 6,6 · 10–16 /10–3 = 6,6 · 10–13 эВ·с. Ответ: вариант 3.

Тест 7-12

Положение атома углерода в кристаллической решетке алмаза определено с погрешностью ∆х = 5 · 10–11 м. Учитывая, что постоянная Планка равна ħ = 1,05 · 10–34 Дж·с, а масса атома углерода т = 1,99 · 10–26 кг, неопределенность скорости ∆vx его теплового движения (в м/с) составляет не менее...

Варианты ответов:

1) 1,06; 2) 9,43 · 10–3 ; 3) 0,943; 4) 106.

Решение

В квантовой механике имеет место соотношение неопределённостей, согласно которому произведение неопределённости координаты микрочастицы на неопределённость соответствующей компоненты импульса должна быть

неопределённость соответствующей компоненты скорости: ∆vx = ћ/(∆x · m).

Задание С7-9 для самостоятельного решения

Положение пылинки массой m = 10–9 кг можно установить с неопределенностью ∆х = 0,1 мкм.

Учитывая, что постоянная Планка ħ = 1,05 · 10–34 Дж·с, неопределенность скорости ∆vx (в м/с) будет не менее...

Варианты ответов:

1) 1,05 · 10–21 ; 2) 1,05 · 10–24 ; 3) 1,05 · 10–18 ; 4) 1,05 · 10–27 .

Задание С7-10 для самостоятельного решения

Протон локализован в пространстве в пределах ∆х = 1,0 мкм.

Учитывая, что постоянная Планка ħ = 1,05 · 10–34 Дж·с, а масса протона т = 1,67 · 10–27 кг, неопределенность скорости ∆vx (в м/с) составляет не менее...

Варианты ответов:

1) 1,59 · 10–2 ; 2) 1,59 · 10–5 ; 3) 6,29 · 10–5 ; 4) 6,29 · 10–2 .

Тест 7-13

Стационарным уравнением Шредингера для линейного гармонического осциллятора является уравнение...

Варианты ответов:

1) ∆ψ + (2m/ħ2)Eψ = 0; 2) ∆ψ + 2m/ħ2 (E + Ze2/4π ε0r)ψ = 0; 3) d2ψ/dx2 + (2m/ħ2)Eψ = 0; 4) d2ψ/dx2 + 2m/ħ2(E – m ω02x2/2)ψ = 0.

Решение

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае трёхмерной задачи имеет вид: ∆ψ + (2m/ħ2) · (Е – U)ψ = 0, где ∆ – оператор Лапласа; ψ(x, y, z, t) – волновая функция, которая зависит от координат и от времени. Оператор Лапласа от волновой функции равен сумме вторых частных производных от волновой функции по декартовым координатам:

∆ψ = ∂2ψ/∂х2 + ∂2ψ/∂y2 + ∂2ψ/∂z2.

Для одномерного случая ∆ψ = ∂2ψ/∂х2. Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи имеет вид:

∂2ψ/∂х2 + (2m/ħ2) · (Е – U)ψ = 0,

где Е – полная энергия; U – потенциальная энергия частицы.

Для линейного гармонического осциллятора потенциальная энергия равна: U = mω02 x2/2, где ω0 – частота собственных колебаний; m – масса частицы. Поэтому уравнение 4 является стационарным уравнением Шредингера для линейного гармонического осциллятора.

Ответ: вариант 4.

Тест 7-14

Стационарным уравнением Шредингера для частицы в одномерном ящике с бесконечно высокими стенками является уравнение...

Варианты ответов:

1) ∆ψ + (2m/ħ2)Eψ = 0; 2) d2ψ/dx2 + 2m/ħ2(E – m ω02x2/2)ψ = 0; 3) d2ψ/dx2 + (2m/ħ2)Eψ = 0; 4) ∆ψ + 2m/ħ2(E + Ze2/4π ε0r)ψ = 0.

Решение

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи имеет вид: ∂2ψ/∂х2 + (2m/ħ2) · (Е – U)ψ = 0, где Е – полная энергия; U – потенциальная энергия частицы. Для частицы в одномерном ящике с бесконечно высокими стенками потенциальная энергия частицы U = 0. Поэтому стационарным уравнением Шредингера для частицы в одномерном ящике с бесконечно высокими стенками является уравнение d2ψ/dx2 + (2m/ħ2)Eψ = 0.

Ответ: вариант 3.

Задание С7-11 для самостоятельного решения

Стационарным уравнением Шредингера для частицы в трехмерном ящике с бесконечно высокими стенками является уравнение...

Варианты ответов:

1) ∆ψ + 2m/ħ2(E + Ze2/4π ε0r)ψ = 0;

2)d2ψ/dx2 + 2m/ħ2(E – m ω02x2/2)ψ = 0;

3)∆ψ + (2m/ħ2)Eψ = 0;

4)d2ψ/dx2 + (2m/ħ2)Eψ = 0.

Тест 7-15

Стационарным уравнением Шредингера для электрона в водородоподобном ионе является уравнение...

Варианты ответов:

1)∆ψ + 2m/ħ2(E + Ze2/4π ε0r)ψ = 0;

2)d2ψ/dx2 + (2m/ħ2)Eψ = 0;

3)∆ψ + (2m/ħ2)Eψ = 0;

4)d2ψ/dx2 + 2m/ħ2(E – m ω02x2/2)ψ = 0.

Решение

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае трёхмерной задачи имеет вид: ∆ψ + (2m/ħ2) · (Е – U)ψ = 0, где ∆ψ – оператор Лапласа; Е – полная энергия; U – потенциальная энергия частицы. Для электрона в водородоподобном ионе потенциальная энергия равна U = – Ze2/(4π ε0 r).

Поэтому стационарным уравнением Шредингера для электрона в водородоподобном ионе является уравнение: ∆ψ + 2m/ħ2(E + Ze2/4π ε0r)ψ = 0.

Ответ: вариант 1.

Тест 7-16

Нестационарным уравнением Шредингера является уравнение...

Варианты ответов:

1)∆ψ + 2m/ħ2(E + Ze2/4π ε0r)ψ = 0;

2)d2ψ/dx2 + 2m/ħ2(E – m ω02x2/2)ψ = 0;

3)(– ħ2/2m)∆ψ + U(x, y, z, t)ψ = iħ ∂ψ/∂t;

4)d2ψ/dx2 + (2m/ħ2)Eψ = 0.

Решение

Состояние системы называется стационарным, если её потенциальная энергия не зависит от времени.

Если потенциальная энергия зависит от времени U(x, y, z, t), то состояние называется нестационарным.

Следовательно, уравнение Шредингера для нестационарных состояний имеет вид: (– ħ2/2m)∆ψ + U(x, y, z, t)ψ = iħ(∂ψ/∂t).

Ответ: вариант 3.

Тест 7-17

Волновая функция частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками шириной L имеет вид: ψ = A sin (nπx/L).

Величина импульса этой частицы в основном состоянии равна...

Варианты ответов:

1) 2πħ/3L; 2) πħ/2L; 3) πħ/L; 4) 3πħ/2L.

Решение

Общее решение уравнения Шредингера для частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками имеет вид: Ψ(х) = А sin k x, где k = 2π/λ – волновое число. Сопоставив формулу общего решения для волновой функции

Тест 7-18

Вероятность обнаружить электрон на участке (а, b) одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по

b

формуле W = ∫ ω dx, где ω – плотность вероятности,

a

определяемая ψ-функцией.

Если ψ-функция имеет вид, указанный на рис. 129, то вероятность обнаружить электрон на участке

L/6 < х < 5L/6 равна…

Варианты ответов:

1) 5/6; 2) 1/2; 3) 1/3; 4) 2/3.

Решение

Плотность вероятности равна квадрату модуля волновой функции: ω = |Ψ|2. График функции |Ψ|2 будет представлять собой три положительных полупериода синусоиды (рис. 130). Эта функция должна удовлетворять условию нормировки, т. е. площадь, ограниченная графиком и осью абсцисс, равна единице. Это означает, что вероятность обнаружения частицы в интервале 0 < x < L равна W = 1. Тогда вероятность обнаружения частицы в интервале, равном одному полупериоду из трёх (например, на участке L/3 < x < 2L/3 или на участке 0 < x < L/3), равна

W = 1/3. Вероятность обнаружить электрон на участке, равном половине полупериода, например 0 < x < L/6 или на участке 5L/6 < x < L равна W = 1/6. Соответственно, вероятность обнаружить электрон на участке L/6 < x < 5L/6 равна

W = 1 – 1/6 – 1/6 = 4/6 = 2/3.

Ответ: вариант 4.

Задание С7-12 для самостоятельного решения

Используя текст теста 7-18, определите вероятность обнаружить электрон на участке L/3 < х < 5L/6.

Варианты ответов те же, что в тесте 7-18.

Задание С7-13 для самостоятельного решения

Используя текст теста 7-18, определите вероятность обнаружить электрон на участке L/6 < х < L.

Варианты ответов те же, что в тесте 7-18.

Задание С7-14 для самостоятельного решения

Используя текст теста 7-18, определите вероятность обнаружить электрон на участке L/6 < х < L/2.

Варианты ответов те же, что в тесте 7-18.

Тест 7-19

Вероятность обнаружить электрон на участке (а, b) одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле

a

определяемая ψ-функцией. Если ψ-функция имеет вид, указанный на рис. 131, то вероятность обнаружить электрон на участке 3L/8 < х < L равна…

Варианты ответов:

Рис. 131

Решение

Плотность вероятности равна квадрату модуля волновой функции: ω = |Ψ|2. График функции |Ψ|2 будет представлять собой четыре положительных полупериода синусоиды. Эта функция удовлетворяет условию нормировки, т. е. площадь, ограниченная графиком и осью абсцисс, должна быть численно равна единице. Это означает, что вероятность обнаружения частицы в интервале 0 < x < L равна W = 1. Тогда вероятность обнаружения частицы в интервале, равном половине полупериода (например, на участке 0 < x < L/8), равна W = 1/8. Соответственно, вероятность обнаружить электрон на участке 0 < x < 3L/8 равна W = 3/8. Тогда вероятность обнаружить электрон на участке 3L/8 < x < L соответственно равна: W = 1 – 3/8 = 5/8.

Ответ: вариант 3.

Задание С7-15 для самостоятельного решения

Используя текст теста 7-19, определите вероятность обнаружить электрон на участке L/8 < х < L/2.

Варианты ответов те же, что в тесте 7-19.

Тест 7-20

На рис. 132 изображены стационарные орбиты атома водорода согласно модели Бора, а также условно изображены переходы электрона с одной стационарной орбиты на другую, сопровождающиеся излучением кванта энергии. В ультрафиолетовой области спектра эти переходы дают серию Лаймана, в видимой – серию Бальмера, в инфракрасной – серию Пашена. Наибольшей частоте кванта в серии Лаймана соответствует переход...

Варианты ответов:

1) n = 2 → m = 1; 2) n = 3 → m = 2; 3) n = 5 → m = 1; 4) n = 4 → m = 1.

Решение

Частота кванта энергии, излучаемая атомом водорода при переходе электрона с одной орбиты (обозначенной

буквой n) на другую (обозначенную буквой m), описывается обобщённой формулой

рис. 132, число n = 5. Поэтому наибольшей

частоте кванта в серии Лаймана соответствует переход n = 5 → m = 1. Ответ: вариант 3.

Задание С7-16 для самостоятельного решения

Используя условие задания теста 7-20, определите, какой переход соответствует наименьшей частоте кванта в серии Лаймана.

Варианты ответов:

Задание С7-17 для самостоятельного решения

Используя условие задания теста 7-20, определите, какой переход соответствует наименьшей частоте кванта в серии Бальмера.

Варианты ответов:

Задание С7-18 для самостоятельного решения

Используя условие задания теста 7-20, определите, какой переход соответствует наибольшей частоте кванта в серии Пашена.

Варианты ответов:

электрона в атоме с одного уровня на другой закон сохранения момента импульса накладывает определенные ограничения (правило отбора). В энергетическом спектре атома водорода (рис. 133) запрещенным переходом является...

Варианты ответов:

1) 4s – 3 p; 2) 4f – 3 d; 3) 3s – 2 s; 4) 3p – 2 s.

Решение

Число возможных переходов электронов в атоме, связанных с испусканием или поглощением кванта энергии, ограничено правилом отбора, согласно которому при разрешенном переходе орбитальное квантовое число l изменяется на единицу: l = ±1. Число l может принимать значения: l = 0, 1, 2, … ( n – 1), где n = 1, 2, 3, … – главное квантовое число. В

квантовой физике, по аналогии со спектроскопией, приняты следующие обозначения: состояние электрона, характеризующееся квантовым числом l = 0, называют s-состоянием; l = 1 называют p-состоянием; l = 2 – d-состоянием; l = 3

– f-состоянием и т. д. Согласно правилу отбора, переходы из s-состояния в p- состояние и обратно p → s, а также переход f → d являются разрешенными, так как при этих переходах орбитальное квантовое число изменяется на единицу. При переходе 3s → 2s l = 0, поэтому такой переход запрещен.

Ответ: вариант 3.

Тест 7-22

При переходах электрона в атоме с одного уровня на другой закон сохранения момента импульса накладывает определенные ограничения (правило отбора). В энергетическом спектре атома водорода (рис. 134) запрещенным переходом является...

характеризующееся квантовым числом l = 0, называют s-состоянием; состояние, характеризующееся числом l = 1, называют p-состоянием; l = 2 – d-состоянием; l = 3 – f-состоянием и т. д. Согласно правилу отбора, переходы из s-состояния в p-состояние и обратно p → s, а также переход f → d являются разрешенными, так как при этих переходах орбитальное квантовое число изменяется на единицу.

При переходе 4s – 3 d l = –2, поэтому такой переход запрещен.

Задание С7-20 для самостоятельного решения

При переходах электрона в атоме с одного уровня на другой закон сохранения момента импульса накладывает определенные ограничения (правило отбора). В энергетическом спектре атома водорода (рис. 136) запрещенным переходом является...

Варианты ответов:

1) 4p – 3 d; 2) 3s – 2 p; 3) 2p – 1 s; 4) 4f – 2 p.

Тест 7-23

На рис. 137 приведена одна из возможных ориентаций момента импульса электрона в р- состоянии. Какие еще значения может принимать проекция момента импульса на направление Z внешнего магнитного поля?

Варианты ответов:

1) – ħ; 2) ħ; 3) –2 ħ; 4) 2ħ.

Решение

В квантовой физике, по аналогии со спектроскопией, приняты следующие обозначения: состояние электрона, характеризующееся орбитальным квантовым числом l = 0, называют s-состоянием; состояние, характеризующееся числом l = 1, называют p-состоянием; l = 2 – d-состоянием; l = 3 – f-состоянием и т. д. По условию задачи электрон находится в p-состоянии.

Следовательно, квантовое число l = 1.

Проекции момента импульса электрона на заданное направление внешнего магнитного поля Lz могут принимать дискретные значения, кратные ħ: где ml – магнитное квантовое число, которое при заданном l может принимать значения ml = 0, ±1, ±2, …, ± l. Поскольку l = 1, проекция момента импульса Lz может принимать три значения: Lz = 0; Lz = ћ; Lz = – ћ. Первая из возможных ориентаций момента импульса электрона, соответствующая значению Lz = 0, показана на рис. 137. Следовательно, проекция момента импульса на направление Z внешнего магнитного поля может принимать ещё два значения: ћ и – ћ.

Ответ: варианты 1 и 2.