Статика и кинематика / Кинематика
.pdf
2.8.Естественный координатный трехгранник
иестественные координатные оси
|
|
|
o |
|
|
|
|
no |
|
|
|
|
o |
|
|
|
o |
10 |
|
b |
||||
|
0 |
|||
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
lim |
|
|
|
= |
d |
= k |
|
|
|||||
|
s |
|
ds |
|||
s→0 |
|
|
|
|
k = dds = Rdd = R1
k = dds = 1
= 1k
2.9. Разложение ускорения по естественным осям координат. Касательное и нормальное ускорения и их анализ
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v =v |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
||
o |
1 |
|
|
|
dv |
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
d |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
o |
a = |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
+v |
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
dt |
|
dt |
|
|
dt |
|
|||||||||||||||||
r o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d o |
|
d o ds |
=v |
d o |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
dt |
|
|
|
ds dt |
|
ds |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
o |
|
d o |
|
|
|
d o |
|
|
d o |
|
no |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ds |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ds |
|
ds |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
o |
|
|
|
|
|
o |
|
|
sin |
2 |
|
|
|
sin 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
= |
2sin 2 , откуда |
|
|
= 2 |
|
|
= |
|
|
||||||||||
|
|
s |
s |
|
|
s |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2
|
|
d o |
|
|
d 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d o |
= |
|
n o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
, поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ds |
|
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d o |
|
=v |
|
d o |
|
= |
|
v |
no |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = |
|
dv |
|
|
o |
+ |
v2 |
|
n |
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
= |
dv |
|
o |
|
a = |
v2 |
n |
o |
|||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
a = |
v |
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a = 
(ddvt )2 +(v2 )2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a = a2 + an2 |
|
|
dv |
2 |
v2 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
a = |
( |
|
|
) |
+( |
|
) |
tg = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
d t |
|
|
an |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине, а нормальное ускорение − изменение скорости по направлению.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a v |
|
|
|
|
= |
|
xx + yy + zz |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
o = |
v |
|
|
a |
|
= |
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a o |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 + z2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
n |
|
= a = |
|
a o |
|
|
|
= |
|
|
a v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
a = |
(xy |
− yx) |
+ ( yz − zy) |
+ (zx |
− xz) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ y |
|
|
|
|
+ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.10. Некоторые частные случаи движения точки
Равномерное прямолинейное движение. Если во время движения точки ее ускорение равно нулю (a = 0), то такое движение называется равномерным и прямолинейным.
Прямолинейное переменное движение. Если во время движения точки ее нормальное ускорение равно нулю, то это движение прямолинейное.
Равномерное криволинейное движение. Если во время движения точки ее тангенциальное ускорение равно нулю (a =0), то проекция скорости на касательную не изменяется. В этом случае точка движется равномерно по кривой и ее полное ускорение равно нормальному(a = an).
Равнопеременное криволинейное движение.
Если во все время движения величина касательного ускорения точки постоянна, т.е. a = const, то криволинейное движение называется равнопеременным.
a |
|
|
|
|
|
v |
|
|
|||
v |
|||||
|
|
|
|||
a
an |
a |
an |
|
|
a
Найдем закон изменения скорости точки и ее закон движения по криволинейной траектории s = s(t), считая, что при t=0 s = so, а v = vo. Здесь so − начальное расстояние от начала отсчета; vo− начальная скорость точки.
a = |
dv |
|
|
v |
|
= |
ds |
|
dt |
|
dv = a dt |
v = vo+a t |
|
||||
|
dt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s = s |
+v |
t + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
v = R |
|
|
|
a |
= |
|
dv |
|
= |
|
d |
R = R |
|||||
|
|
|
|
dt |
|
|
dt |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a |
|
|
d |
|
|
|
d |
|
d |
|
|
|
|
||||
|
= |
|
= |
|
|
= |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
dt |
dt |
|
|
|
||||||
an = v 2 = 2RR2 = 2 R
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a = R |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
+ |
tg = |
|
a |
|
= |
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n
2.11. Примеры решения задач
Пример 2.1. На неподвижную проволочную окружность радиуса R=10 см надето колечко М. Через колечко проходит стержень ОА, вращающийся равномерно вокруг точки О, лежащей на той же окружности. Угловая скорость стержня такова, что он поворачивается на угол φ= за 5 с. Определить скорость и ускорение колечка.
2
x = R+Rcos 2φ, |
y = Rsin 2φ. |
|
|
|
|||||
|
φ = kt |
|
|
|
|||||
t =5 с, φ= |
|
|
|
, т.е. |
|
|
= k5, |
||
2 |
|
||||||||
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
откуда k= |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
10 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
= 10 t
x =10 |
|
+ cos |
|
|
, |
y =10 sin |
|
t. |
1 |
5 |
t |
5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
vx |
= −2 sin |
t, |
vy |
= 2 cos |
t. |
|
|
5 |
|
|
5 |
a |
|
= − |
2 |
|
2 |
cos |
|
t, |
a |
|
= − |
2 |
|
2 |
sin |
|
t. |
x |
|
|
|
y |
|
|
|
||||||||||
5 |
|
5 |
5 |
|
5 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 , |
|
|
|
|
|
= |
2 |
|
|
= 0, 4 |
. |
v = v |
|
+v |
|
a = a |
|
+ a |
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
x |
|
y |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|