Сила тока соответственно при размыкании и замыкании цепи

I = I0e−t / τ и I = I0 (1−e−t / τ) ,

где τ = L / R – время релаксации (L – индуктивность; R – сопротивление). ЭДС взаимной индукции (ЭДС, индуцируемая изменением силы тока

в соседнем контуре)

εi = −L12 dIdt ,

где L12 – взаимная индуктивность контуров.

Взаимная индуктивность двух катушек (с числом витков N1 и N2), намотанных на общий тороидальный сердечник,

L12 = L21 = µ0µ N1lN2 S ,

где µ – магнитная проницаемость сердечника; l – длина сердечника по средней линии; S – площадь сердечника.

Коэффициент трансформации

K = N2 = ε2 = I1 ,

N1 ε1 I2

где N, ε, I – соответственно число витков, ЭДС и сила тока в обмотках трансформатора.

Энергия магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре, по которому течет ток I,

W = LI22 .

Объемная плотность энергии однородного магнитного поля длинного соленоида

А – амплитуда колебаний; ω = 2π/T = 2πν – круговая (циклическая) частота;

25

v = 1/Т – частота; Т – период колебаний; ϕ0 – начальная фаза; ω t + ϕ0 – фаза колебаний в момент t.

Круговая частота колебаний

ω= 2πν или ω= 2Тπ ,

где ν и Т – частота и период колебаний.

Скорость точки, совершающей гармонические колебания,

υ = dxdt = −Aωsin(ωt + ϕ0 ) = Aωcos(ωt + ϕ0 + π/ 2) .

Ускорение при гармоническом колебании

a = ddtυ = −Aω2 cos(ωt + ϕ0 ) = Aω2 cos(ωt + ϕ0 + π) .

Амплитуда А результирующего колебания, получающегося при сло-

жении двух гармонических колебаний одинакового направления и одина-

ковой частоты,

A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos(ϕ2 −ϕ1) .

Начальная фаза результирующего колебания:

tgϕ = A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 , A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2

где A1 и А2 – амплитуды двух складываемых колебаний; ϕ1 и ϕ2 – начальные фазы колебаний.

Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по значению частотами ν1 и ν2,

ν = ν1 −ν2 .

Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами A1 и А2 и начальными фазами ϕ1 и ϕ2,

26

Если начальные фазы ϕ1 и ϕ2 составляющих колебаний одинаковы, уравнение траектории примет вид:

x2 + y2 =1,

A12 А22

т.е. точкадвижетсяпоэллипсу.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки:

где m – масса точки; k – коэффициент квазиупругой силы ( k = mω2 ). Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические

колебания,

E =Wк +Wп = mA2ω2 = kA2 . 2 2

Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник),

T = 2π mk ,

где m – масса пружинного маятника; k – жесткость пружины.

Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняетсязаконГука(прималоймассепружинывсравнениисмассойтела).

Период колебаний математического маятника

T = 2π gl ,

где l – длина маятника; g – ускорение свободного падения.

Период колебаний физического маятника

T = 2π mgaJ = 2π Lg ,

где J – момент инерции маятника относительно оси колебаний; а – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника; L = J/(mа) – приведенная длина физического маятника.

27

Приведенные формулы являются точными для случая бесконечно малых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближенные результаты. При амплитудах ~ 3° погрешность в значении

периода не превышает 1 %.

Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити,

T = 2π Jk ,

где J – момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; k – жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающегопризакручиваниинити, куглу, накоторыйнитьзакручивается.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний:

той же колебательной системы; r – коэффициент сопротивления. Уравнение затухающих колебаний (решение дифференциального

уравнения):

x = A(t)cos(ω t + ϕ) ,

где А(t) – амплитуда затухающих колебаний в момент t; ω – их круговая частота.

Круговая частота затухающих колебаний

Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени

A(t) = A0e−δ t ,

где A0 – амплитуда колебаний в момент t = 0. Логарифмический декремент затухания

где δ – коэффициент затухания; Т – период затухающих колебаний; τ – время релаксации; Ne – число колебаний, совершаемых за время уменьше-

28