- •А. П. Бырдин, А. А. Сидоренко, О. А. Соколова
- •МАТЕМАТИКА
- •Практикум
- •А. П. Бырдин, А. А. Сидоренко, О. А. Соколова
- •Решение. Объем тела
- •Ответы
- •Формула
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы
- •5.1. Понятие числового ряда
- •Суммы конечного числа членов ряда
- •Возьмем какой-нибудь знакопеременный ряд
- •Таким образом, при любом х имеет место разложение
- •Запишем разложение в ряд Маклорена других функций.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы
- •6. СОБЫТИЕ И ВЕРОЯТНОСТЬ
- •Решение. Используя полученную в предыдущем примере таблицу, имеем
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы
- •Учебное издание
ем |
sin x |
=1 − |
x2 |
+ |
x4 |
− |
x6 |
+..., |
причем последний ряд сходит- |
|
x |
3! |
5! |
7! |
|||||||
|
|
|
|
|
|
ся при любом х. Интегрируя его почленно от 0 до а, имеем
a |
sin x |
|
a3 |
a5 |
a7 |
|||
∫ |
x |
dx = a − |
|
+ |
|
− |
|
+... |
3! 3 |
5! 5 |
7! 7 |
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
С помощью этого равенства можно при любом а с любой степенью точности вычислить данный интеграл.
Степенные ряды используются и в приближенных методах решений дифференциальных уравнений.
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 1-10 для каждого ряда: 1) найти сумму n первых членов ряда (sn ); 2) доказать сходимость ряда, пользуясь
непосредственно определением сходимости; 3) найти сумму ряда (s ).
1. |
|
1 |
|
+ |
|
1 |
|
|
+ + |
|
1 |
|
|
+ , |
|
|
|||||
|
|
|
|
2 3 |
|
n (n +1) |
|
|
|||||||||||||
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. |
|
1 |
|
+ |
|
1 |
|
|
+ + |
|
|
|
1 |
|
|
|
+ , |
||||
|
1 3 |
3 5 |
|
|
|
(2n −1) (2n +1) |
|
|
|||||||||||||
3. |
|
1 |
|
+ |
|
1 |
|
+ + |
|
|
|
1 |
|
|
+ , |
||||||
1 4 |
|
4 7 |
|
|
(3n − 2) (3n +1) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4. |
1 |
|
+ |
|
1 |
|
|
+ + |
1 |
|
+ , |
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 5 |
|
|
n (n +3) |
|
|
||||||||||||
|
1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. |
1 |
|
+ |
|
1 |
|
|
+ + |
|
|
|
1 |
|
|
+ , |
||||||
|
|
|
|
3 9 |
|
(2n −1) (2n +5) |
|||||||||||||||
|
1 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6. |
|
1 |
|
|
+ |
|
|
1 |
|
+ + |
|
|
1 |
|
|
+ , |
|||||
1 2 3 |
2 3 |
4 |
n(n +1) (n |
+ 2) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
97
7. |
5 |
+ |
13 |
+ + |
3n + 2n |
|
+ , |
|
|
|
||||||
6 |
36 |
|
6n |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8. |
3 |
+ |
5 |
+ + |
|
2n +1 |
|
|
+ , |
|
||||||
4 |
36 |
n2(n +1)2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9. |
1 |
+ |
2 |
|
|
+ + |
|
|
1 |
|
|
|
+ , |
|||
9 |
225 |
|
(2n −1)2(2n +1)2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
10. arctg |
1 |
|
+ arctg 1 + + arctg |
1 |
|
+ . |
||||||||||
2 |
2n2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
Исследовать сходимость числовых рядов.
|
∞ |
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
11. |
∑ |
|
|
|
|
, |
|
12. ∑ |
3 |
|
|
,13. |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|||||||||||||||||||||
n3 |
|
|
|
n2 |
2n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
+4 |
(2n − 3)2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
n |
= |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
∞ |
4n − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
3n +1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
14. |
∑ |
, |
15. |
|
|
∑ |
|
|
|
,16. ∑ |
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
7n |
|
|
|
|
|
n 3n |
|
|
|
n 2n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ n3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
17. |
∑ |
arcsin |
|
|
, |
18. ∑ |
|
|
|
|
|
|
,19. ∑ |
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n=2 n ln n |
|
|
|
|
n=12n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
2n − |
1 |
|
n / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n+1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
20. |
∑ |
|
, |
|
21. ∑ |
|
|
|
|
|
|
,22. ∑ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
3n + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 n3 |
ln n |
|
|
|
|
|
n=1 |
n! |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
n |
3 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
23. |
∑ |
|
|
|
, |
24. ∑ |
|
|
|
|
,25. |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n=1(2n)! |
|
|
|
|
n=1 4n |
|
|
|
|
|
n=1 ln n (1 + n) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
nn |
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 n + |
1 n2 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
26. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
,27. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,28. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3n n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n + 2)3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,
,
98
|
∞ 5n |
|
∞ |
|
n |
n |
||
|
|
|
|
|||||
29. |
∑ n! |
,30. |
∑ |
|
|
|
. |
|
2n +1 |
||||||||
|
|
|
|
|||||
|
n=1 |
|
n=1 |
|
|
|
Выяснить какие из заданных рядов сходятся абсолютно, какие не абсолютно, какие расходятся.
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||
31.∑(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 32.∑(−1)n+1 1 |
|
, |
|
33.∑(−1)n |
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(2n −1) |
2 |
|
n |
|
|
ln n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
34.∑(−1)n |
|
|
, |
|
35.∑(−1)n+1 n +1 |
, |
|
|
36.∑(− |
1)n |
|
|
|
, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
n+1 n3 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n+1 2n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
37.∑(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
38.∑(−1) |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Найти область сходимости функциональных рядов. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
39. 1 + x + + xn + , 40.ln x + ln2 x + + lnn x + , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
41.x + x4 + + xn2 |
|
+ , |
42.x + |
x2 |
|
+ + |
xn |
+ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
43.x |
+ |
x2 |
+ + |
|
xn |
|
|
+ , |
|
44. |
|
1 |
+ |
|
|
1 |
|
|
|
+ |
+ |
|
|
1 |
|
|
+ , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ xn |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
45.2x + 6x2 + + n(n +1)xn + , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
46. |
x |
+ |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
+ + |
|
|
|
|
xn |
+ , |
47. |
|
x |
|
|
+ |
|
|
|
x2 |
|
+ + |
|
xn |
|
|
|
|
|
+ . |
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1+ x4 |
|
|
|
|
2n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2+ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
+ n |
|
|
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
1+ x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Найти интервал сходимости степенного ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
48. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn , 49. ∑ |
|
|
|
xn , |
50. |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn , |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
n(n +1) |
|
|
|
3n − 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
=1 3 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
51. ∑ |
|
|
|
|
xn , |
52. ∑ |
|
|
|
xn , 53. ∑ |
|
|
|
xn , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∞ |
|
2n |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
54. ∑ |
|
+1 xn , 55. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn , |
56. |
∑ |
|
|
xn , |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
n! |
|
|
n=1 |
|
|
(2n −1) 3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
n |
2 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
57. ∑ |
|
|
|
|
|
xn , 58. ∑ |
|
|
|
|
|
xn , 59. ∑ |
|
|
|
|
xn |
, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
n +1 |
|
|
|
2 |
|
n |
(n +1)n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
n=1 n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∞ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
60. ∑ n |
|
|
|
|
xn , |
61. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
xn , 62. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
xn , |
|||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
(n + 3) 3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 (n +1)n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
10n |
|
|
|
|
∞ |
|
(n +1)2 |
xn , |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
63. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
xn , 64. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn , |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 2n |
|
|
|
||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n +1 |
||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
7n |
|
xn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
66. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n=1 5 |
+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пользуясь соответствующими рядами, вычислить. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
67.cos100 |
с точностью 0.0001. |
|
|
68.sin10 |
|
с точностью 0.0001. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
69.sin180 |
|
|
с точностью 0.0001. 70.sin |
π |
с точностью 0.0001. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
71.arctg 1 |
|
|
|
с точностью |
0.0001. |
|
72.ln 5 |
|
с |
точностью 0.001. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
73.arcsin1 |
|
|
с точностью |
0.0001. |
|
74. |
|
|
|
|
с точностью |
|
0.0001. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
e |
|
75.cos1 с точностью 0.00001.
Пользуясь разложением функций в ряд Тейлора, вычислить пределы.
100
76. |
lim |
x −arctg x |
, 77. |
lim |
1 −cos x |
, 78. |
lim sin x −arctg x |
, |
|
|
x→0 |
x3 |
|
x→0 ex −1 − x |
|
x→0 |
x3 |
|
79. lim |
|
x + ln( |
1 + x2 |
|
− x) |
|
80. lim |
2(tgx −sin x)− x2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
x5 |
|
, |
|
|||||
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|||||
81. lim |
|
ln(1 + x + x2)+ ln(1 − x + x2) |
, 82. lim |
1 |
− |
ctg x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
x(ex |
−1) |
|
|
|
|
x |
|||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 x2 |
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
2+ cos x |
|
3 |
|
|
|
|
|||||
83. lim |
|
|
−ctg |
|
x . |
84. lim |
|
|
− |
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|||||||||||||
x→0 x2 |
|
|
|
|
|
x→0 x3 sin x |
|
|
|
|
|
|||||||||
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0.001, |
разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно.
|
0.1 |
|
e |
−x |
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|||||
85. |
∫ |
|
|
dx , 86. |
∫ |
1 − cos xdx , 87.∫ cos |
|
|
|
|
dx , |
|
||||||||||||||||||||
|
0.01 x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
arctg xdx , 90. |
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
88. |
∫ |
sin x2dx , 89. ∫ |
∫ |
1 + x3dx , |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
0.5 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 x −arctg x |
|
|
0.5 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
91. |
∫ln(1 + |
|
|
x)dx , 92. ∫ |
|
|
|
|
|
dx , 93. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx , |
||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
+1 |
|||||||||
|
0.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.1 e−x −1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
94. |
∫arctg |
|
x |
dx , |
95. |
∫ |
|
|
|
|
dx |
, 96.∫ |
|
|
x |
|
sin x dx , |
|||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
ln(1+ x) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
sin x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
97. |
∫ |
dx , 98.∫ cos 3 |
|
dx , 99. ∫ |
|
dx , |
|
|||||||||||||||||||||||||
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
101