- •А. П. Бырдин, А. А. Сидоренко, О. А. Соколова
- •МАТЕМАТИКА
- •Практикум
- •А. П. Бырдин, А. А. Сидоренко, О. А. Соколова
- •Решение. Объем тела
- •Ответы
- •Формула
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы
- •5.1. Понятие числового ряда
- •Суммы конечного числа членов ряда
- •Возьмем какой-нибудь знакопеременный ряд
- •Таким образом, при любом х имеет место разложение
- •Запишем разложение в ряд Маклорена других функций.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы
- •6. СОБЫТИЕ И ВЕРОЯТНОСТЬ
- •Решение. Используя полученную в предыдущем примере таблицу, имеем
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы
- •Учебное издание
x = ±a, и y = ±a и вычислить работу при перемещении материальной точки по контуру квадрата.
33. Поле образованно силой F = {P,Q}, гдеP = x + y, Q = 2x.
Построить силу |
|
в начале каждой четверти окружности |
F |
||
x = a cos t, y = a sin t |
и вычислить работу при перемещении ма- |
териальной точки по окружности.
34.Вычислите криволинейные интегралы от векторного поля F по кривой С
1) |
|
|
|
|
|
= {x2 − 2xy;y2 − 2xy}; C : y = x2, −1 ≤ x ≤1. |
||
F |
||||||||
2) |
|
|
|
|
= {2− y;x}: С-циклоида: x = t −sin t , |
y = t −cost , |
||
|
F |
|||||||
0 ≤ t ≤ 2π . |
|
|||||||
3) |
|
|
|
|
= {y;x;z}: С – виток винтовой линии |
x = cost , |
||
|
|
F |
||||||
y = sin t , z = t , 0 ≤ t ≤ 2π . |
|
35. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный
интеграл |
∫ |
x |
dx + 2ln xdy по замкнутому контуру С, составлен- |
|
|||
|
C |
y |
|
|
|
|
|
ному из |
отрезка оси ОХ от A(1;0) до B(2;0) , отрезка прямой |
||
y = 4 − 2x и отрезка прямой x =1от А до C(1;2). |
36. Проверить, что интеграл ∫(6xy −5y)dx + (3x2 +5x)dy равен
C
нулю. Подтвердить это вычислениями по замкнутому контуру, ограниченномулиниями y = 0, x = 3, y = x .
Ответы
1.1/ 3(55 −1). 2.1/12(1717 −55). 3.3/ 3. 4. ln 3 52+ 7.
69
5. |
a2 |
(1 + 4π 2 )3/ 2 |
−1 . |
6.(2a)3/ 2π. |
7. 3+ 2 |
|
|
|
. 8. 1) 4; 2) 10/3; |
|||||||||||||||
|
|
5 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) 2. |
9. 1)8; |
2) 4. |
10. 8. 11. |
2. 12. 2. 13. −π .14. 8. |
15. 4/3. |
|||||||||||||||||||
16. |
2/3. |
17. |
3 |
e |
2 |
+ |
|
1 |
. |
18. |
1 |
+ |
a |
2 |
+ |
3(1 − a2 ) |
. |
19. 221/15. |
||||||
4 |
|
12 |
4 |
2 |
4 ln a |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
20. 1/2. 21.− R2. |
22.− |
1 ab2. |
|
23.− |
3 |
πa2. |
24.a3π(5− 2π ). |
|||||||||||||||||
|
16 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
25.2πR2. |
26.− 2πab. |
|
27.2a3 / 3. |
|
28.− 46 |
.29. |
2/3. 30. 0. |
|||||||||||||||||
31. 0. 32. 8a2 . |
|
33. πa2. |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4.1. Понятие поверхностного интеграла
Интегралы от функций, заданных на поверхности, называют поверхностными интегралами.
Различают поверхностные интегралы первого и второго рода. Прежде, чем приступить к рассмотрению поверхностного
интеграла, введем понятие стороны поверхности.
Пусть произвольная точка М лежит на гладкой поверхности S. Проведем через нее нормаль к поверхности (вектор n ). Будем перемещать точку М по замкнутому контуру поверхности S, при этом вектор нормали должен оставаться перпендикулярным к поверхности, однако направление его будет меняться. В начальное положение точка М вернется либо с тем же направлением нормали, либо с противоположным.
Если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S и не пересекающему ее границы, при возвращении в исходную точку не меняет направления нормали к поверхности, то поверхность называется двусторонней.
Примером двусторонней поверхности служит любая поверхность, заданная уравнением z = f (x, y), где f (x, y),
70
fx′(x, y)и f y′(x, y)− функции, непрерывные в некоторой обла-
сти G плоскости Оху.
Если же на поверхности S существует замкнутый контур, при обходе которого направление нормали меняется после возвращения в исходную точку на противоположное, то поверхность называется односторонней.
Будем рассматривать только двусторонние поверхности. Для двусторонней поверхности совокупность всех ее точек с выбранным в них направлением нормали, изменяющимся непрерывно при переходе от точки к точке, называется стороной поверхности, а выбор определенной ее стороны − ориентацией поверхности. Двустороннюю поверхность называют также ориентируемой.
Введем понятие поверхностного интеграла второго рода. Пусть S − гладкая поверхность, заданная уравнением z = f (x, y), и R(x, y, z) −ограниченная функция, определенная
в точках поверхности S. Выберем одну из двух сторон поверхности, то есть одно из двух возможных направлений нормали в точках поверхности. Если нормали составляют острые углы с осью Оz, то будем говорить, что выбрана верхняя сторона поверхности z = f(x, у), если тупые углы, то нижняя сторона поверхности. Разобьем поверхность S произвольно на п частей и обозначим через Gi проекцию i-й части поверхности на плос-
кость Оху (рис. 26). Выбрав на каждой частичной поверхности произвольную точку Mi (ξi ;ηi ;ςi ), составим сумму
n |
|
∑R(ξi ;ηi ;ςi )∆Si , |
(4.1) |
i=1
где ∆si , − площадь Gi , взятая со знаком плюс, если выбрана
верхняя сторона поверхности S, и со знаком минус, если в ы- брана нижняя сторона поверхности S. Сумма (4.1) называется
71
интегральной суммой для функцииR(M ) = R(x, y, z). Обозна-
чим через λ наибольший из диаметров частей поверхностиS.
Определение. Если интегральная сумма (4.1) приλ → 0 имеет предел, равный I, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода от функцииR(x, y, z) по
выбранной стороне поверхности S и обозначается одним из следующих символов:
I = ∫∫R(M )dx dy = ∫∫R(x, y, z)dx dy.
S S
В этом случае функция R(x, y, z) называется интегриру-
емой по поверхности S по переменным х и у.
Аналогично определяется поверхностный интеграл второго рода по выбранной стороне поверхности S по переменным у и z(z и х) от функции Р(х, у,z) (Q(x, у,z)), которая определена на поверхности S:
∫∫P(x, y, z)dy dz = ∫∫Q(x, y, z)dz dx .
SS
Сумму
∫∫P(x, y, z)dy dz + ∫∫Q(x, y, z)dz dx + ∫∫R(x, y, z)dx dy
S S S
называют общим поверхностным интегралом второго рода и
обозначают символом
∫∫P(x, y, z)dy dz +Q(x, y, z)dz dx + R(x, y, z)dx dy. |
(4.2) |
S
Стоит отметить, что при изменении стороны поверхности (переориентации) поверхностныйинтеграл второго родаменяетзнак.
72
4.2. Вычисление поверхностного интеграла второго рода
Вычисление поверхностных интегралов второго рода сводится к вычислению двойных интегралов.
Пусть ориентированная (выберем верхнюю сторону) гладкая поверхность S задана уравнением z = f (x, y), где
функция f (x, y)определена в замкнутой области G. Область Gявляется проекцией поверхности S на плоскость Оху, а R(x, y, z)− непрерывная функция на поверхностиS.
Формула, выражающая поверхностный интеграл второго рода по переменным х и у через двойной, имеет вид
∫∫R(x, y, z)dx dy = ∫∫R[x, y, f (x, y)]dx dy. |
(4.3) |
|
S |
G |
|
Если выбрать нижнюю сторону поверхности, то перед интегралом в правой части(4.3)появится знак минус. Аналогично
∫∫P(x, y, z)dy dz = ∫∫P[ f (y, z)y, z]dy dz, |
(4.4) |
|
S |
G1 |
|
∫∫Q(x, y, z)dz dx = ∫∫Q[x, f (x, z),z]dz dx, |
(4.5) |
|
S |
G2 |
|
где поверхность |
S задана соответственно уравнением |
x = f (y, z)и y = f (x, z), а G1 и G2 − проекции поверхности S соответственно на плоскости Оуz и Охz.
Для вычисления интеграла общего вида (4.2) используют
те же формулы (4.3) − (4.5), если поверхность S однозначно проектируется на все три координатные плоскости.
73
Пример. Вычислить интеграл ∫∫(y2 + z2)dx dy,
S
|
Рис. 26 |
|
|
Рис. 27 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, отсеченная |
|
|
|
|
|
|
|
||
где S − верхняя сторона поверхности z = |
|
1 − x2 |
|||||
плоскостями y = 0, y =1 (рис. 27). |
|
|
|
|
Решение. Проекцией G данной поверхности на плоскость
Оху является прямоугольник, определяемый |
неравенствами |
−1 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤1. По формуле (4.3) находим |
|
∫∫ |
|
|
|
|
|
|
∫∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(y2 + z2)dx dy |
|
|
y2 + ( |
|
|
|
|
)2 |
dx dy = |
|||||||||||
|
|
= |
|
1 |
− x2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
y3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
= |
∫ |
dx |
∫ |
(y2 +1 − x2)dy = |
∫ |
3 |
+ y − x2y |
|
dx = |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
−1 |
0 |
1 4 |
|
|
|
|
−1 |
x3 1 |
|
0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
= ∫ 3 |
− x2 |
dx |
= |
|
3 x − |
|
|
|
= 2. |
|
||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|||
Пример. Вычислить интеграл |
|
∫∫xdydz + ydzdx + zdxdy, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74
где S − верхняя сторона части плоскости x + z −1 = 0, отсеченная плоскостями y = 0, y = 4 и лежа-
щая в первом октанте(рис.28). Решение. По определению,
Рис. 28
∫∫xdydz + ydzdx + zdxdy =
S
= ∫∫x(y, z)dydz + ∫∫ydzdx + ∫∫z(x, y)dxdy.
G1 |
S |
G2 |
|
|
Здесь G1 |
и G2 − проекции поверхности S на плоскости |
|||
Оуz и Оху, а ∫∫ydzdx = 0, |
так как плоскость S параллельна оси |
|||
S |
|
|
|
|
Оу. По формулам (4.3) и (4.4) соответственно находим |
||||
|
|
4 |
1 |
|
∫∫zdxdy = ∫∫(1 − x)dxdy = ∫dy∫(1 − x)dx = 2, |
||||
S |
G2 |
0 |
0 |
|
∫∫xdydz = ∫∫(1 − z)dydz = ∫4 dy∫1 |
(1 − z)dz = 2. |
|||
S |
G2 |
0 |
0 |
|
Следовательно, ∫∫xdydz + ydzdx + zdxdy = 2 + 0 + 2 = 4.
S
4.3. Формула Остроградского
Поверхностный интеграл по замкнутой поверхности и тройной интеграл по пространственной области, ограниченной этой поверхностью связаны между собой. Эту связь устанавливаетформула Остроградского.
Теорема 3. Пусть V − простая замкнутая область, ограниченная поверхностью S и пусть функции Р(х,у,z), Q(х,у,z) и
75
R(х,у,z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в данной области. Тогда имеет место следующая формула:
|
∂x |
∂y |
∂z |
|
∫∫ |
|
∫∫∫ |
|
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy, (4.6) |
||||
|
∂P |
+ ∂Q |
+ ∂R |
dxdydz = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
S |
|
называемая формулой Остроградского.
З а м е ч а н и е. Формула Остроградского верна для любой замкнутой пространственной области V, которую можно разбить на конечное число простых областей.
С помощью формулы Остроградского удобно вычислять поверхностные интегралы по замкнутым поверхностям.
Пример. Вычислить интеграл∫∫xdydz + ydzdx + zdxdy,
S
где S− внешняя сторона пирамиды, ограниченной плоскостями x + y + z =1 , x = 0, y= 0, z= 0.
Решение. Применяя формулу Остроградского, имеем
∫∫xdydz + ydzdx + zdxdy = ∫∫∫(1 +1 +1)dxdydz = 3∫∫∫dxdydz =
S |
|
|
V |
|
V |
1 |
1−x 1−x−y |
1 |
1−x |
||
= 3∫dx ∫dy ∫dz = 3∫dx ∫[z]10−x−ydy = |
|||||
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
|
y2 |
1−x |
|
= 3 |
∫ |
y − xy − |
|
dx = |
|
2 |
||||
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
1 |
|
(1 |
− x)2 |
1 |
|
1 |
|
|
= 3 |
|
1 − x − x(1 − x) − |
|
|
dx = 3 |
|
= |
|
. |
|
|
2 |
6 |
2 |
|||||
|
∫ |
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить интеграл
∫∫x3dydz + y3dzdx + z3dxdy,
S
76
где S − внешняя сторона сферы x2 + y2 + z2 = R2.
Решение. Используя формулу Остроградского, получаем
∫∫x3dydz + y3dzdx + z3dxdy = 3∫∫∫(x2 + y2 + z2)dxdydz,
|
S |
V |
|
|
|
|
и перейдя к сферическим координатам |
R |
|
|
|||
|
2π |
π |
12 |
|
||
3∫∫∫(x2 + y2 + z2)dxdydz = 3∫dϕ∫sin |
θ dθ∫ρ4dρ = |
πR5. |
||||
5 |
||||||
V |
0 |
0 |
0 |
|
|
Из формулы Остроградского получается выражение для объема области в виде поверхностного интеграла по замкнутой
поверхности S − границе этой области. |
|
||||||||
|
|
|
Подобрав |
функции Р, Q и R |
так, чтобы |
||||
|
∂P |
+ |
|
∂Q |
+ |
∂R |
=1, |
получим |
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
||||
|
|
|
|
∂z |
|
|
|||
|
|
|
|
v = ∫∫∫dxdydz = ∫∫Pdydz + Qdzdx + Rdxdy, |
|||||
|
|
|
|
|
|
V |
S |
|
|
где v − объем, ограниченный поверхностью S. |
|
4.4. Формула Стокса
Формула Стокса устанавливает связь между поверхностным и криволинейным интегралами.
Пусть S − поверхность, заданная уравнением z = z(х, у),
|
где функции |
z(x, y), z′x (x, y), |
|
|
z′y (x, y) непрерывны в замкну- |
||
|
той области G − проекций S на |
||
|
плоскость Оху; L− контур, огра- |
||
|
ничивающий S, а l − его проек- |
||
|
ция на плоскость Оху, являюща- |
||
|
яся контуром, ограничиваю- |
||
Рис. 29 |
|||
щим область |
G. Выберем верх- |
||
|
77
нюю сторону поверхности S (рис. 29). Тогда при сделанных предположениях справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Если функция Р(х, у, z) непрерывна вместе со своими частными производными первого порядка на поверхности S, то имеет место следующая формула:
|
P(x, y, z)dx = |
|
∂P cos β − |
|
|
(4.7) |
∫ |
|
∂P cosγ dS, |
||||
|
∫∫ |
∂z |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
S |
|
|
|
|
где cos β, cosγ − направляющие косинусы нормали к поверхности
S,а контурL пробегается в положительном направлении.
Аналогично доказывается при соответствующих условиях справедливость следующих двух формул:
∫Q(x,
L
∫R(x,
L
y, z)dy = |
∫∫S |
|
∂Q |
cosγ − |
∂Q |
|
|
∂x |
∂z |
|
|||
|
|
|
|
cosα dS, |
||
|
|
∂R |
|
∂R |
|
|
y, z)dz = |
∫∫ |
∂y |
cosα − |
∂x |
|
|
|
|
|
|
cos β dS. |
S
(4.8)
(4.9)
Складывая равенства (4.7), (4.8), (4.9), получаем формулу
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
∂Q |
|
∂P |
|
|||
Pdx + Qdy + Rdz = |
∫∫ |
∂x |
|
− |
∂y |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cosγ + |
|||||||
L |
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂R |
|
∂Q |
∂P |
|
∂R |
dS, |
||||||
+ |
|
− |
|
cosα + |
|
|
− |
|
|
|
cos β |
|||
∂y |
|
|
∂z |
|
∂x |
|||||||||
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
которая называется формулой Стокса.
С помощью формулы, связывающей поверхностные интегралы (4.8), формулу Стокса можно переписать в следующем виде:
∫Pdx + Qdy + Rdz =
L
|
∂Q |
|
∂P |
∂R |
|
∂Q |
|
= |
∫∫ ∂x |
− |
∂y |
|
∂y |
− |
∂z |
|
dxdy + |
|
dydz |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S
+∂P
∂z
− ∂R dzdx. (4.10)
∂x
Формула Стокса переходит в формулу Грина в случае,
78