тельно небольшой случайной выборке выносят суждение, касающееся всей совокупности исследуемых объектов.
Из теоремы Чебышева (частный случай) следует теорема, называемая теоремой Бернулли, являющаяся простейшей формой закона больших чисел.
Теорема Бернулли. Пусть т − число наступлений события А в п независимых испытаниях и р есть вероятность наступления события А в каждом из испытаний. Тогда, каково бы ни было положительное число ε ,
|
|
m |
− p |
|
|
(6.32) |
|
|
|||||
lim P |
|
|
|
< ε =1. |
||
|
|
n |
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Практический смысл теоремы Бернулли следующий: при постоянстве вероятности случайного события А во всех испытаниях, при неограниченном возрастании числа испытаний можно с вероятностью, как угодно близкой к единице (то есть как угодно близкой к достоверности), утверждать, что наблюдаемая относительная частота случайного события будет как угодно мало отклоняться от его вероятности.
Задачи для самостоятельного решения
1.В ящике имеется 100 яиц, из них 5 некачественных. Наудачу вынимают одно яйцо. Найдите вероятность того, что вынутое яйцо некачественное.
2.Брошена игральная кость. Найдите вероятность того,
что выпадет четное число очков.
3. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найдите вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.
4. В сосуд емкостью 10 л попала ровно одна болезнетворная бактерия. Какова вероятность зачерпнуть ее при наборе из этого сосуда стакана воды (200 см3)?
147
5.В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?
6.При транспортировке из 1000 дынь испортилось 5. Че-
му равна относительная частота испорченных дынь?
7.При стрельбе по мишени вероятность сделать отличный выстрел равна 0.3, а вероятность выстрела на оценку «хорошо» равна 0.4. Какова вероятность получить за сделанный выстрел оценку не ниже «хорошо»?
8.Вероятность того, что человек умрет на 71-м году жизни, равна 0.04. Какова вероятность того, что онне умрет на 71-м году?
9.Бросается один раз игральная кость. Определите вероятность выпадения 3 или 5 очков.
10.В урне 30 шаров: 15 белых, 10 красных и 5 синих. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар?
11.В денежно-вещевой лотерее на серию в 1000 билетов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого-либо выигрыша на один лотерейный билет?
12.В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найдите вероятность появления белого шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечен черный шар.
13.В колоде 36 карт. Наудачу вынимают из колоды 2 карты. Определите вероятность того, что вторым вынут туз, если первым тоже вынут туз.
14.В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найдите вероятность того, что оба шара белые.
15.Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут вынуты подряд два туза?
16.Два стрелка стреляют по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8, вто-
рым стрелком − 0.7. Найти вероятность поражения цели двумя пулями в одном залпе.
17. Найдите вероятность одновременного появления герба при одном бросании двух монет.
148
18.Имеется два ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найдите вероятность того, что все две вынутые детали окажутся стандартными.
19.В семье двое детей. Принимая события, состоящие в рождении мальчика и девочки равновероятными, найдите вероятность того, что в семье: а) все девочки; б) дети одногопола.
20.Пусть всхожесть семян оценивается вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что из двух посеянных семян взойдет какое-либо одно?
21.Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна. Какова вероятность того, что будет вынута пика или туз?
22.Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет четное или кратное трем число очков.
23.Имеется два набора деталей. Вероятность того, что
деталь первого набора стандартна, равна 0.8, а второго − 0.9. Найдите вероятность того, что взятая наудачу деталь (из
наудачу взятого набора) − стандартная.
24.В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке − 10 ламп, из них 9 ста н- дартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найдите вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.
25.Студент М может заболеть гриппом (событие А) только в результате либо переохлаждения (событие В), либо контакта с другим больным (событие С). Требуется найти
Р(А),если Р(В) = 0.5, Р(С) = 0.5, РВ(А) = 0.3, РС(А)= 0.1 при условии несовместимости В и С.
26.В коробке находятся 6 новых и 2 израсходованные батарейки для карманного фонарика. Какова вероятность того, что две вынутые из коробки наудачубатарейки окажутся новыми?
27.На трех карточках написаны буквы У, К, Ж. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово «ЖУК»?
149
28.Слово «керамит» составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами перемешиваются, и из них извлекаются по очереди четыре карточки. Какова вероятность, что эти четыре карточки в порядке выхода составят слово «река»?
29.Пусть случайная величина Х− число очков, выпавших при подбрасывании игральной кости. Найдите закон распределения случайной величины X.
30.В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается 1 выигрыш в 5000 р. и 10 выигрышей по 100 р. Найдите закон распределения случайного выигрыша Х для владельца одного лотерейного билета.
31.Закон распределения случайной величины X задан
таблицей
Х |
1 |
2 |
3 |
р |
0.3 |
0.2 |
0.5 |
Найдите математическое ожидание X.
32. Найдите математическое ожидание выигрыша X в задаче 2.
33. Найдите математическое ожидание случайной величины X,зная закон ее распределения:
X |
2 |
3 |
5 |
р |
0.3 |
0.1 |
0.6 |
34. Производятся два выстрела с вероятностями попадания в цель, равными р1 = 0.4, р2 = 0.3. Найдите математическое ожидание общего числа попаданий.
35. Найдите математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.
36. Найдите математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.
150
37. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:
|
Х |
|
2 |
|
4 |
|
5 |
||||
и |
р |
|
0.1 |
|
0.3 |
|
0.6 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
7 |
|
9 |
|
|||
|
|
р |
|
|
0.8 |
|
0.2 |
|
|||
Найдите математическое ожидание случайной величины XY. 38. Найдите дисперсию случайной величины X,которая
задана следующим законом распределения:
Х |
1 |
2 |
5 |
р |
0.3 |
0.5 |
0.2 |
39. Известны дисперсии двух независимых случайных величин X,Y:D(X) = 4, D(Y) = 3. Найдите дисперсию суммы этих величин.
40. Дисперсия случайной величины Xравна 5. Найдите дисперсию следующих величин: а) X− 1; б) −2Х; в) 3X + 6.
Найдите математические ожидания и дисперсии случайных величин.
41.
|
Х |
|
−2 |
|
−1 |
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
p |
0.1 |
0.2 |
|
0.3 |
0.3 |
|
0.1 |
|||
|
42. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х |
1 |
3 |
|
4 |
|
6 |
|
7 |
||
|
P |
0.1 |
0.1 |
|
0.3 |
0.4 |
|
0.1 |
|||
|
43. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х |
|
5 |
|
|
7 |
|
10 |
|
15 |
|
|
р |
|
0.2 |
|
|
0.5 |
|
0.2 |
|
0.1 |
|
44. К случайной величине прибавили постояннуюа.Как при этомизменятся ее а) математическое ожидание; б)дисперсия?
151
45. Случайную величину умножили на а. Как при этом изменятся а) математическое ожидание; б) дисперсия?
46. Случайная величина Xпринимает только два значения: 1 и −1. Каждое с вероятностью 0.5. Найдите дисперсию D(X)и среднее квадратическое отклонение s(Х).
47.Дисперсия случайной величины D(X)=6.25.Найдите среднее квадратическое отклонение s(Х).
48.Пусть закон распределения случайной величины X задан таблицей
Х |
4 |
10 |
20 |
р |
1 |
1 |
1 |
|
4 |
2 |
4 |
Определите математическое ожидание М(Х),дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение s(Х).
49. Дискретная случайная величина X задана законом распределения
Х |
3 |
5 |
р |
0.2 |
0.8 |
Найдите начальные моменты первого и второго порядков.
50.Дискретная случайная величина X задана законом распределения, приведенным в предыдущем примере. Найдите центральный момент второго порядка.
51.Случайная величинаXзадана функцией распределения
0 |
|
|
при |
x ≤ −1, |
||
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|||
F(x) = |
|
+ |
|
при |
−1< x ≤ 2, |
|
3 |
3 |
|||||
|
|
при |
x > 2. |
|||
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Найдите вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (0; 1).
152
52. Случайная величинаX задана функцией распределения
0 |
|
при |
x ≤ 2, |
||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
F(x) = |
|
−1 |
при |
2 < x ≤ 4, |
|
2 |
|||||
|
|
при |
x > 4. |
||
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Найдите вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (2; 3).
53. Случайная величинаX заданаплотностьювероятности
0 |
|
при |
x < 0, |
||
|
3 |
|
|
|
|
|
(4x − x2) |
|
|
||
f (x) = |
|
при |
0 ≤ x ≤ 4, |
||
32 |
|||||
|
|
при |
x > 4. |
||
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Найдите вероятность попадания случайной величины X на отрезок [−2; 3].
54. Плотность вероятности случайной величины X задана
формулой f (x) = |
1 |
(−∞ < x < +∞). Найдите вероят- |
|
π(1 + x2) |
|||
|
|
ность того, что величина X попадет на интервал (−1; 1).
55. Случайная величина задана плотностью вероятности
|
при |
x < − |
π |
, |
|
|
|||
0 |
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
при |
− |
≤ x ≤ |
, |
|||||
f (x) = a cosx |
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
||
|
при |
x > |
|
. |
|
|
|
||
0 |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найдите коэффициент а.
56. Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины X:
153
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
x ≤ 0, |
|
|
|
|
0 |
|
π |
|
|||
|
при |
0 < x ≤ |
, |
|||
f (x) = cosx |
2 |
|||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
при |
x > |
. |
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Найдите интегральную функцию распределения F(x). 57. Дана плотность вероятности непрерывной случайной
величины X:
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
x ≤ 0, |
|
|
|
|
0 |
|
π |
|
|||
|
при |
0 < x |
≤ |
, |
||
f (x) = sin x |
2 |
|||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
при |
x > |
. |
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Найдите интегральную функцию распределения F(x). 58. Функция f (x) = ex 24+ e−x (−∞ < x < +∞)является плот-
ностью вероятности случайной величины X.Найдите коэффициент А и функцию распределения F(x).
59. Найдите математическое ожидание случайной величины X,заданной плотностью вероятности
0 |
при |
x ≤ 0, |
|
|
1 |
|
|
|
при |
0 < x ≤ 4, |
|
f (x) = |
4 |
||
|
при |
x > 4. |
|
0 |
|||
|
|
|
|
60. Случайная величинаX задана плотностью вероятности
0 |
при |
x ≤ 0, |
|
при |
0 < x ≤1, |
f (x) = 1 |
||
|
при |
x >1. |
0 |
154
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
61.В хлопке 75 % длинных волокон. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу трех волокон окажутся два длинных волокна?
62.При некоторых условиях стрельбы вероятность попа-
дания в цель равна 13 . Производится 6 выстрелов. Какова ве-
роятность ровно двух попаданий?
63. Игральная кость бросается 5 раз. Найдите вероятность того, что два раза появится число очков, кратное трем.
64. Монета подбрасывается 5 раз. Какова вероятность того, что герб появится не менее двух раз?
65. Пусть всхожесть семян данного растения составляет 80 %. Найдите вероятность того, что из 3 посеянных семян взойдут а) два; б) не менее двух.
66. В семье 5 детей. Найдите вероятность того, что среди этих детей два мальчика. Вероятность рождения мальчика принять равной 0.51.
67. По мишени производится 3 выстрела, причем вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.8. Рассматривается случайная величина X − число попаданий в мишень. Найдите закон ее распределения.
68.Принимая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, найдите вероятность того, что среди четырех новорожденных два мальчика.
69.Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия
р= 0.6. Найдите математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.
70.Найдите математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по одному билету равна 0.3.
155
71.Найдите дисперсию случайной величиныX − числа появлений события А в 100 независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события А равна 0.7.
72.Найдите а) математическое ожидание и б) дисперсию числа бракованных изделий в партии из 5000 изделий, если каждое изделие может оказатьсябракованным с вероятностью 0.02.
73.Производится 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0.6.
Найдите дисперсию случайной величины X− числа появлений события А в этих испытаниях.
74.Найдите дисперсию случайной величины X − числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если
М(Х) = 0.8.
75.Рост взрослой женщины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами:
а= 164 см, s = 5.5 см. Найдите плотность вероятности.
76.Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 0 и 2. Найдите вероятность того, что X примет значение, принадле-
жащее интервалу (−2; 3).
77.Случайная величина Xраспределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 6 и 2. Найдите вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (4; 8).
78.Пусть вес пойманной рыбы подчиняется нормально-
му закону с параметрами а = 375 г, s = 25 г. Найдите вероятность того, что вес пойманной рыбы будет от 300 до 425 г.
79. Диаметр детали, изготовленной цехом, является случайной величиной, распределенной понормальномузакону. Дисперсия ее равна 0.0001, а математическое ожидание− 2.5 см. Найдите гра-
156