1.5. Прямое (декартово) произведение множеств

Пусть А и В – два множества (возможно различной природы, т. е. принадлежащих различным основным множествам).

Прямым (декартовым) произведением АВ двух множеств называется множество упорядоченных пар (a, b): aA и bB, иначе:

АВ={(a, b)| aA и bB}.

Пример 1: Пусть А={1, 2, 3}; B={4, 5}. Тогда

АВ={(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)},

BA= {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}.

Две пары (a, b) и (х, у) считаются равными тогда и только тогда, когда а=х и b=y. Так, пары {1, 2} и {2, 1} равны.

Пример 2: (Шахматная доска). Рассмотрим два множества: A={a, b, c, d, e, f, g, h, } и B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Тогда множеству пар (x, y)  АВ соответствует множество клеток шахматной доски.

Если В=А, то - вторая степень множества А.

Замечание: Точка на плоскости может быть задана упорядоченной парой чисел (х, у) – её координат, т.е. .

П ример 3. Множество равно множеству {(x, y)| 0x1, 0y1}, которому соответствует множество точек на плоскости, имеющих неотрицательные координаты, не превосходящие единицы

(рис. 2).

Аналогично определяется декартово произведение n множеств :

{( )| }.

Другое обозначение: . Если , то n-я степень множества А определяется как - n одинаковых множителей.

По определению полагают, что A⁰ ={}.

1.6 Разбиения и покрытия

Пусть дано множество А и некоторое семейство его непустых подмножеств: : .

Опр. 1. Семейство E называется покрытием множества А, если каждый элемент множества А принадлежит хотя бы одному подмножеству :

или . /

Опр. 2. Семейство E называется разбиением множества А, если элементы этого семейства попарно не пересекаются, т. е. каждый элемент множества А принадлежит не более чем одному из множеств :

 при i  j.

Другими словами множество непустых подмножеств множества А является его разбиением, если каждый элемент хА принадлежит в точности одному из множеств , каждое из которых не является пустым, так что E разбивает A на различные «части».

Таким образом разбиение E множества А обладает двумя свойствами:

1.  при i  j ( попарно не пересекаются);

2. (все вместе исчерпывают А).

Пример: Пусть А={a, b, c, d, e, f}. Тогда

{{a, b, d}, {c, f}, {e}} – разбиение множества А,

{{a, b, d}, {c, e, f}, {e}} – покрытие множества А ,

{{a, b, d} {f}} – ни покрытие, ни разбиение.

1.7. Замечание о мощности некоторых множеств

1. Пусть даны два конечных множества А и В, причём и . Тогда количество элементов в объединении двух множеств А и В определяется по формуле:

.

В самом деле, есть число элементов, которые мы получим, перечислив все элементы А, а затем все элементы В. Но в этом случае общие элементы (их число равно будут перечислены дважды, т. е.

+N(AB)+N(AB) =

=N(A)+N(B)+2N(AB), откуда и следует приведенная формула.

Справедлива следующая теорема: если, - произвольные множества, то

(Доказывается методом математической индукции).

Метод подсчёта по этой формуле, состоящей в поочерёдном сложении и вычитании, называется методом включений и исключений.

2. Для любого разбиения конечного множества справедливо равенство:

,

которое называется правилом суммы.

3. Для любого покрытия конечного множества выполняется соотношение:

,

которое называется обобщённым правилом суммы.

4. Для любых конечных множеств, имеет место равенство

,

которое называется правилом произведения.

Если , то .

5. Если , то .