2.5. Элементы теории сопротивления жидкостей
Существует два метода исследования физических явлений — аналитический и экспериментальный. При аналитическом исследовании движения жидкости задача сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений при заданных условиях однозначности. Например, для вязкой несжимаемой жидкости имеем следующую систему дифференциальных уравнений:
; (2.107)
, (2.108)
где (2.105) —уравнение Навье — Стокса, а (2.106) — уравнение неразрывности записанные в векторной форме. Для которых должны быть заданы начальные и граничные условия и значения физических постоянных и .
В принципе, совокупностью системы основных дифференциальных уравнений и условий однозначности конкретное единичное явление определено вполне. Однако эти уравнения чрезвычайно сложны (являются уравнениями в частных производных) и решения найдены лишь для небольшого числа частных случаев, к тому же при весьма существенных упрощающих предпосылках.
Другим методом исследования является непосредственный эксперимент. При этом измеряются те величины, которые представляют прямой практический интерес, и находятся связи, допускающие непосредственное приложение. Однако данные, полученные из опыта, относятся только к тому частному случаю, который подвергался эксперименту. Необходимо найти пути обобщения данных опыта на другие родственные явления. Это позволило бы на основании немногих экспериментов судить о параметрах жидкости в многочисленных родственных явлениях. Задача нахождения научно обоснованного метода обобщения данных опыта решается теорией подобия, которая является учением о методах обобщения данных опыта.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ
Гидромеханическое подобие течений
Уравнение Навье – Стокса для реальной, т.е. вязкой, жидкости может быть проинтегрировано лишь в случае простейшего движения. Практическая неразрешимость уравнений движения для многих важных форм течения жидкостей привела к обширным экспериментальным поискам законов сопротивления. При этом оказалось, что результаты эксперимента не могут быть распространены на натурные объекты, если не соблюдены некоторые специальные условия, обеспечивающие гидромеханическое подобие модельной и натурной установок.
В частности, было установлено, что фактор геометрического подобия двух обтекаемых тел ещё не означает подобия механического.
Применительно к электромашиностроению можно пренебречь как силами сжимаемости, так и силами гравитации.
Следовательно, гидромеханическое подобие течений вокруг геометрически подобных тел будет соблюдено в тех случаях, когда отношение инерционных сил к силам трения в соответственных точках пространства будет одинаковым в любой момент времени.
Природа сопротивления жидкости. Пограничный слой
Природа сопротивления жидкости объясняется влиянием сил вязкости.
Во-первых, изменяется поле давлений, в особенности за обрекаемым телом. В нормовой части тела наблюдается отрыв линий тока, образование вихрей и зоны с меньшим давлением. Таким образом, возникает градиент давления, препятствующий движению, или сопротивление давления. Очевидно, сопротивление давления тел меньше, чем более обрекаемую форму имеет движущееся тело.
Во-вторых, на поверхности тела возникают силы трения, направленные по касательной к поверхности, результирующая которых даёт так называемое сопротивление трения.
Внутреннее трение в жидкости, обладающей вязкостью, изменяет поле давлений и приводит к появлению сопротивления давления или его возрастанию, когда сопротивление давления вызвано отрывом потока от стенок.
По причине вязкости жидкости на самой поверхности, обтекаемого тела, наблюдается прилипание к ней частиц жидкости. Таким образом, в тонком слое у поверхности скорость течения возрастает от нуля до своего полного значения во внешнем потоке, в котором жидкость можно рассматривать текущей без трения. Указанный тонкий слой называется пограничным слоем.
Режимы течения жидкостей
Различают два режима течения жидкостей: ламинарный и турбулентный.
Ламинарный режим течения – это течение без перемешивания частиц жидкости и без пульсации скорости. При таком течении линии тока определяются формой канала, по которому течёт жидкость.
Турбулентный режим течения – это течение, сопровождающееся интенсивным перемешиванием жидкости и пульсациями скоростей и давлений.
Существование двух отличных друг от друга режимов течения было установлено опытным путём английским физиком О. Рейнольдсом.
Условие возникновения турбулентного потока при разных диаметрах трубы и разных жидкостях характеризуется критическим числом Рейнольдса Reкр
, (2.109)
где w – средняя скорость, м/с; d – диаметр трубы (или в общем случае гидравлический диаметр р канала); ν – коэффициент кинематической вязкости, м2/с.
Рис. 2.17. Распределение скорости при ламинарном течении
в трубопроводе круглого сечения
Например, для круглых труб
Reкр =2300. (2.110)
На этом основании число Re можно взять в качестве параметра, характеризующего наиболее полно поток.
Экспериментальные исследования показывают, что непосредственно на стенке трубы скорость движения жидкости равна нулю, а по мере удаления от стенки и приближении к оси трубы скорости довольно резко возрастают. В круглой цилиндрической трубе (Рис. 6) при ламинарном течении скорость жидкости распределяется по параболическому закону
, (2.111)
где
– максимальная скорость жидкости в
трубе; R – радиус трубы;
r – текущее значение
радиуса.
Расход жидкости через живое сечение круглой трубы.
(2.112)
Средняя скорость
(2.113)
Среднеквадратическая скорость
(2.114)
Коэффициент Кориолиса для параболического профиля скоростей
. (2.115)
Распределение скоростей при турбулентном течении
При турбулентном режиме течения скорости в каждой данной точке подвержены более или менее быстрым изменениям во времени, т.е. пульсациям.
Несмотря на изменение значения и направления скорости в каждой данной точке направление поступательного движения всего потока сохраняется постоянным.
Измерения показывают, что скорость движения в точке хотя и пульсирует, но колеблется около некоторого постоянного, независимого от времени, называемого осреднённой скоростью (рис.2.18)
, (2.116)
где U0 – осреднённая скорость; U – мгновенная скорость в заданной точке пространства в определённый момент времени.
Рис. 2.18. Пульсации скорости при турбулентном течении
Следует различать осредненную скорость U0 и среднюю скорость w.
Рис. 2.19. Распределение скорости при турбулентном течении
в трубопроводе круглого сечения
Структура потока при турбулентном режиме течения сложна, поэтому делались попытки создать упрощённые схемы механизма турбулентного потока. При турбулентном режиме течения (рис.2.19) основная часть потока состоит из турбулентного ядра, в котором наблюдаются пульсации и происходит перемещение частиц с разными скоростями из одного слоя в другой в направлении, перпендикулярном направлению движения, поэтому частицы жидкости в пределах турбулентного ядра имеют практически одинаковую скорость.
При турбулентном течении имеется тонкий слой, непосредственно примыкающий к стенке, движение в котором близко к ламинарному. Этот пристенный слой называют пограничным слоем или ламинарной пленкой.
На стенке скорость движения равна нулю, а в пределах ламинарной пленки скорость увеличивается по линейному закону.
Отношение средней скорости к максимальной
при турбулентном режиме течения зависит
от числа Re
и изменяется от 0.75 до 0.9, коэффициент
Кориолиса
.
Распределение скоростей (рис.2.19) устанавливается в канале на некотором расстоянии от входа в канал, называемом начальным участком. На начальном участке профиль скоростей более неравномерный.
Сопротивление жидкости при ламинарном течении
Рассмотрим движение жидкости в трубе круглого сечения. Выделим в жидкости соосный с трубой цилиндр длиной l и радиусом y (рис.2.20).
С внешней стороны на поверхность цилиндра действует напряжение внутреннего трения (τ). Следовательно на всю поверхность цилиндра действует сила
. (2.117)
Рис. 2.20. Движение жидкого цилиндра
Поскольку течение стационарное, то эта сила уравновешивается разностью сил давления F1 и F2 на торцах цилиндра, т.е.
,
или (2.118)
(2.119)
(2.120)
,
или (2.121)
(2.122)
Учитывая граничное условие
при y = R, где
R – радиус трубы,
проинтегрируем правую часть уравнения
(2.122) от y до R,
а левую соответственно от 0 до
(2.123)
Таким образом, при ламинарном течении вязкой жидкости по сечению круглого трубопровода скорости распределены по закону параболы.
При y = 0 максимальная скорость в центре трубы
(2.124)
Расход жидкости равен объему параболоида, т.е.
(2.125)
Определим среднюю скорость
, (2.126)
откуда потери давления
. (2.127)
Следует заметить, что это один из немногих случаев, когда интегрирование уравнения движения вязкой жидкости возможно.
Преобразуем формулу (2.127)
(2.128)
где
. (2.129)
Следовательно
, (2.130)
где λ – коэффициент гидравлического трения.
При ламинарном течении в круглой трубе коэффициент гидравлического трения определяется по формуле Пуазейла:
. (2.131)